高中数学 推理导学

§2.1.1合情推理一、课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】结合已学过的数学实例和生活中的实例了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会认识合情推理在数学发现中的作用.【目标分解】1、了解合情推理的含义.2、使学生能利用归纳和类比进行简单的推理，作出猜想.二、课程导学自主探究，提高能力1、体会认识哥德巴赫猜想的过程：①哥德巴赫猜想内容为：_________

的偶数都等于.②猜想的过程遵循到一般，部分到的数学思维方式.2、归纳推理：这种由某些事物对象具有某些特征，推出该类事物对象具有这些特征的推理，或者由概括出的推理，称为归纳推理。例如，由此可猜想得.3、仿生学的许多发明的最初构想都是生物机制得到的.例如：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的.4、体会认识类比推理的过程，填写下表：圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心5、类比推理：这种由对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有的推理，称为类比推理.比如：（均为实数），请推测==.强化认识：①类比推理是由到的推理.②类比推理在数学中应用广泛，我们可以已解决的问题和已经获得的知识出发通过类比而提出新问题和作出新发现.③类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.④数学中常用类比，如：圆与球，向量与数，无限与有限，不等与相等等类比.6、类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征.⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.⑶检验猜想.即观察、比较观察、比较联想、类推猜想新结论7、合情推理：推理和推理都是根据，经过、、、，再进行、，然后提出的推理，统称为合情推理.①推理过程分解为基本的四步：，，，②数学研究中得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前它能为我们提供证明的方向和思路.

③费马猜想告诉我们由合情推理获得的结论.比如：等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=bÞa+c=b+c(1)a＞bÞa+c＞b+c(2)a=bÞac=bc(2)a＞bÞac＞bc(3)a=bÞa2=b2等等(3)a＞bÞa2＞b2等等.问：这样猜想出的结论是否一定正确？三、典例探究领悟解题思想，体会解题规范【例1】等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn,有如下性质：通项an=am+(n-m)d若m+n=p+s,m、n、p、s∈N*，则am+an=ap+as若m+n=2r,m、n、r∈N*,则am+an=2arSn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列类比上述性质，得出等比数列的有关性质.【分析】比较等比数列与等差数列的定义可知，等差数列中的差类比为等比数列的商，由此猜想，和类比为积，倍数类比为乘方.解：数列{an}为等比数列，公比为q，前n项和为、、、、,则⑴an=amqn-m⑵若m+n=r+s则aman=aras⑶若m+n=2r则aman=ar2⑷Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列【点评】类比推理首先要找出两类事物间的类比性质，然后用一类事物的性质推测另一类事物的性质.【变式训练】在△ABC中，射影定理可以表示为a=bcosC+ccosB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边，类比上述定理，给出四面体性质的猜想.【方法归纳】合情推理即借助具体实例，进行观察、分析、比较、联想等，通过归纳、类比手段猜想出新结论.【例2】计算：解：点评：本小题充分利用两数位数的倍数关系巧妙分解，进而达到化难为易解决问题的目的.四、实战演练一丝不苟，一步到位【基础卷】一、选择题：1、下面使用的类比推理中恰当的是（）Ａ．“若，则”类比得出“若，则”Ｂ．“”类比得出“”Ｃ．“”类比得出“”Ｄ．“”类比得出“”2、在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．3、下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形4、正整数按下表的规律排列1 2 5 10 171 2 5 10 174 3 6 11 189 8 7 12 1916 15 14 13 2025 24 23 22 21则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5、设是定义在R上的函数且，且，则()A.B.C.D.6、观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题：1、若等差数列的前项和公式为，则=_______，首项=_______，公差=_______.2、设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值是________________.3、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图： 设第个图有个树枝，则与之间的关系是.4、如图（1）有面积关系，则图（2）有体积关系_______________.三、解答题：1、已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．2、已知：通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明.【提高卷】一、选择题：1、观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2、图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（）Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．1203、如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．4、设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．5、定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6、计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字0～9和字母A～F共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：十六进制01234567十进制01234567十六进制89ABCDEF十进制89101112131415例如:用十六进制表示,则（）A．B．C．D．二、填空题：1、在等差数列中,若，则有等式成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{}中，若=1,则有等式成立.2、已知，则中共有项．3、中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径____________．4、若，则=_____________.三、解答题：1、设，（其中，且）．（1）请你推测能否用来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．2、请先阅读：在等式的两边对x求导=.由求导法则得，化简后得等式sin2x=2sinxcosx.(1)利用上述想法（或者其他方法），试由等式=(x∈R，整数n≥2),证明：.(2)对于整数n≥2,求证：.§2.1.2演绎推理一、课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.【目标分解】1、了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.2、用归纳和类比进行推理，做出猜想；了解合情推理和演绎推理间的联系和差异.二、课程导学自主探究，提高能力1、演绎推理：从的原理出发，推出某个情况下的结论，把这种推理称为演绎推理.①演绎推理是由到的推理.②合情推理和演绎推理间的联系和差异。2、三段论是演绎推理的一般模式。包括：(1)大前提--------.(2)小前提--------.(3)结论----------.3、“三段论”的表示：大前提：M是P小前提：S是M结论：S是P注：利用集合知识说明“三段论”：若M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也具有性质P.三、典例探究领悟解题思想，体会解题规范【例1】如图:在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.解：(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,——大前提在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提所以△ABD是直角三角形——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提因为DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提所以DM=AB——结论同理EM=AB所以DM=EM.【例2】已知数列，，…，，其中，，…，是首项为，公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列．（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？解：（1），，；（2），当时，；（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，，是公差为的等差数列．研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．研究的问题可以是：由，依次类推可得当时，的取值范围为．四、实战演练一丝不苟，一步到位一、选择题：1．下面说法正确的有（）①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（）Ａ．小前提错 Ｂ．结论错Ｃ．正确 Ｄ．大前提错3．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且，的下确界是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是（）Ａ．各正三角形内的任一点 Ｂ．各正三角形的中心Ｃ．各正三角形边上的任一点 Ｄ．各正三角形的某中线的中点5．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（）Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②6.命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.以上都不是二、填空题：1．写出用三段论证明为奇函数的步骤是．2.如下图，命题：点P、Q是线段AB的三等分点，则有，把此命题推广，设点是AB的n等分点（n≥3且n∈N*）,则有.3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式．4.长方形的对角线与边和的夹角分别为和，则有，此结论推广到空间可得 ．三、解答题：1.用三段论证明：满足前n项和的数列，是等差数列.2．用三段论方法证明：．§2.2.1综合法和分析法一、课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法---综合法和分析法.了解两种方法的思考进程、特点.【目标分解】重点：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法---综合法和分析法。了解两种方法的思考进程、特点.难点：根据问题的特点，结合的思考过程、特点，选择适当的证明方法或不同的证明方法结合使用.二、课程导学自主探究，提高能力1、综合法：一般地，利用等，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P=>Q₁---->Q₁=>Q2---->Q2=>Q3---->、、、---->Qn=>Q2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.①分析法又叫做逆推法或执果索因法.②用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q<=P₁------->P₁<=P2------->P2<=P3------->、、、------->得到一个明显成立的条件三、典例探究领悟解题思想，体会解题规范【例1】设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(分析法)

要证a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立.(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立.

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.

(综合法)

证明：∵a≠b，∴a-b≠0，∴，即

亦即由题设条件知，a+b＞0，∴即，由此命题得证.注：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.【例2】若实数，求证：证明：采用差值比较法：====∴∴注：分析法和综合法的思考过程、特点.“变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.四、实战演练一丝不苟，一步到位【基础卷】一、选择题：1．分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（）Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法3．要使成立，则应满足的条件是（）Ａ．且 Ｂ．且Ｃ．且 Ｄ．且或且4．在中，，则一定是（）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定5．已知，且，则（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．6．函数在下列哪个区间内是增函数（）A．B．C．D．二、填空题：1.若，则.2.设(是两两不等的常数),则的值是______________.3.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是.4.直角三角形的三边满足，分别以三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为，则它们的大小为.三、解答题：1．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．求证：（1）平面；（2）．2．判断命题“若且，则”是真命题还是假命题，并证明你的结论．【提高卷】一、选择题：1．已知，，，则以下结论正确的是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定2.设为奇函数，，，则（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3.条件甲：“”是条件乙：“”的（）Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．必要不充分条件4.如果函数是偶函数，那么函数的图像的一条对称轴是直线（）A.B.C.D.5.若，且，则的最大值为（）Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．176.．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（）Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗二、填空题：1.在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在”）．2.如果，则、应满足条件是.3.的值为.4.若正数、满足，则的取值范围是__________________.三、解答题：1．证明：对于任意实数都有．2.（用分析法证明）求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．§2.2.2反证法一、课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法------反证法;了解反证法的思考过程、特点.【目标分解】重点：了解间接证明的一种基本方法------反证法难点：根据问题的特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的方法结合使用.二、课程导学自主探究，提高能力1、反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.①反证法的应用需要逆向思维，应用证明问题的原理是.②反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.2、反证法的证明步骤：“一反设；二归谬；三结论”反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.3、反证法适用的两种情形：①要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.三、典例探究领悟解题思想，体会解题规范【例1】设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立.【例2】设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则.(1)另一方面，由绝对值不等式的性质，有(2)（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？四、实战演练一丝不苟，一步到位一、选择题：1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解2．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（）Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线3．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（）Ａ．与的假设都错误Ｂ．与的假设都正确Ｃ．的假设正确；的假设错误Ｄ．的假设错误；的假设正确4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）Ａ．假设都是偶数Ｂ．假设都不是偶数Ｃ．假设至多有一个是偶数Ｄ．假设至多有两个是偶数5．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角6.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A都是奇数B都是偶数C中至少有两个偶数D都是奇数或至少有两个偶数二、填空题：1.命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定是.2、在求证三角形三个内角中至少有一个内角小于或等于60°中，用反证法证明时应假设.3、用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为.4、用反证法证明“对于a、b∈R,若,则a=b=0”,假设的内容是.三、解答题：1．已知，且，，求证：中至少有一个是负数．2.已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0§2.3数学归纳法一、课标解读知己知彼，百战百胜【课标表述】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【目标分解】重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法.难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.二、课程导学自主探究，提高能力1、了解多米诺骨牌游戏，明确使所有多米诺骨牌倒下的条件：(1)第一块骨牌;(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.2、数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题.可按以下步骤进行：（1）(归纳奠基)证明当取第一个值n0时命题成立.（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n0,k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立.只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数N都成立，上述证明方法叫做数学归纳法.3、数学归纳法的框图表示：验证n=n0时命题成立若n=k(k>n0)时命题成立证明n=k+1时命题也成立命题对从n0开始所有的正整数n都成立.三、典例探究领悟解题思想，体会解题规范【例1】若n为大于1的自然数，求证证明(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即注：等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?（注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系）.变式训练:用数学归纳法证明.【例2】求证：对于整数n≥0时，l1n+2＋122n+1能被133整除．证明：①当n=0时，112＋12=133能被133整除②假设n=k，11k+2＋122k+1能被133整除那么n=k+1时11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1=11(11k+2＋122k+1)＋133·122k+1∵11(11k+2+122k+1)与133·122k+1均能被133整除∴11(11k+2+122k+1)＋133·122k+1能被133整除∴n=k+1命题成立变式训练：用数学归纳法证明：能被9整除。法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑.说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键.②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化.四、实战演练一丝不苟，一步到位【基础卷】选择题：在验证n=1成立时，左边所得的项为（）

A．1B．1+aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a32．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”第二步归纳假设应写成（

）A．假设n=2k+1(k∈N)正确，再推n=2k+3正确B．假设n=2k-1(k∈N)正确，再推n=2k＋1正确C．假设n=k(k∈N)正确，再推n=k＋1正确D．假设n=k(k≥1)正确，再推n=k＋2正确3．当时，比较与的大小并猜想得（）Ａ．时， Ｂ．时，Ｃ．时， Ｄ．时，4．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数5．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空题1．猜想：1=1，1-4=-(1＋2)，1-4+9=1＋2＋3，……第n个式为.2．如图（1）、（2）、（3）、…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第个图形中的花盆数____________________.（1）（2）（3）3．记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和.4．已知，用数学归纳法证明时，等于．三、解答题1．求证：对于整数n≥0时，l1n+2＋122n+1能被133整除．2．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【提高卷】一、选择题：1．设是自然数，则的值（）A．一定是零B.不一定是整数C.一定是偶数D.是整数但不一定是偶数2．对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，则时，，∴当时，不等式成立．由①②可知，对任意，不等式成立．（）Ａ．过程全部正确 Ｂ．验证得不正确Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从到的推理不正确3．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立5.数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= （） A． B． C． D．1－6.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得() A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立二、填空题：1．图中由火柴杆拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成：通过观察可以发现：第四个图形中，火柴杆有 根；第个图形中，火柴杆有根2、用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数时，当n=1时原式为______，从k到k＋1时需增添的项是________．3、已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出4、设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则=；当ｎ＞４时，＝（用含n的数学表达式表示）.解答题：1．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．2．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．答案§2.1.1合情推理【基础卷】一、选择题：1、C2、B3、C4、D5、A6、B二、填空题：1、；，其常数项为，即，2、3、4、三、解答题：1、解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．证明如下：设等差数列的公差为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．2、解：一般性的命题为证明：左边所以左边等于右边【提高卷】一、选择题：1、C2、C3、C4、D5、D6、A二、填空题：1、b1b2b3…bn=b1b2b3…b17-n(n<17,n∈N*)2、3、4、500三、解答题：1、解：（1）由，，因此．（2）由，即，于是推测．证明：因为，（大前提）．所以，，，（小前提及结论）所以．2、（1）解：在已知等式两边对x求导得，由求导法则得，整理得，即。（2）证明：由（1）知，令x=-1，得，两端同乘以-1得。§2.1.2演绎推理一、选择题：1、C2、C3、A4、D5、B6、A二、填空题：1、满足的函数是奇函数，大前提，小前提所以是奇函数．结论2、解析：，,同理可得：,,…,，答案：.3、当时，有4、长方体的对角线与棱、、所成的角分别为，则有三、解答题：1、证明：证法一在数列中与的关系满足当n=1时，；当时，（大前提），而满足，则，，满足表达式（小前提），∴（结论）.证法二满足（为常数）的数列是等差数列（大前提），而在数列中，由，可得（小前提），因此数列是等差数列（结论）.2、证明：因为，所以（此处省略了大前提），所以（两次省略了大前提，小前提），同理，，，三式相加得．（省略了大前提，小前提）§2.2.1综合法和分析法【基础卷】选择题:1、A2、B3、D4、C5、B6、B令，由选项知填空题：1、