2026版高考数学复习专题突破：3.1 导数几何意义及运算（精练）（题组版）（解析版）

3.1导数几何意义及运算（精练题组版）

题组一导数的运算

1.（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（）

A．(sina)cosa(a为常数)B．(sin2x)2cos2x

2

xx

C．(3)3log3eD．(x1)

x1

【答案】B

【解析】A：因为a为常数，所以(sina)0，故A错误；

B：(sin2x)cos2x(2x)2cos2x，故B正确；

C：(3x)3xln3，故C错误；

11

11

D：(x1)[(x1)2](x1)2(x1)，故D错误.

22x1

故选：B

2.（24-25安徽蚌埠）（多选）下列命题正确的有（）

A．2025xx2025x1

1

B．已知的数f(x)ln(2x1)，若fx1，则x

002

cosxxsinxcosx

C．

xx2

9

D．设函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)x23xf(2)lnx，则f(2)

4

【答案】BD

【解析】2025x2025xln2025，故A错误．

21

12

对于B,因为f(x)(2x1)，若fx01则1，即x0，故B正确．

2x12x12x012

cosx(cosx)xcosx(x)xsinxcosx

对于C,因为，故C错误．

xx2x2

119

对于D,因为f(x)2x3f(2)，故f(2)43f(2)，故f(2)，D正确．

x24

故选：BD

3.（2024山东菏泽·阶段练习）求下列函数的导数：

x222x1

(1)yex1；(2)ycos3x1ln2x1；(3)ysin2xcosx；(4)y．

x

xxln(1x)

(5)yexsinxcosx(6)ytanxln(x)(7)yxsincos(8)y

22ex

x22π1x

【答案】(1)ye1x(2)y3sin3x1；(3)y22sin2x；(4)y．

2x14x22x1

1111(1x)ln(1x)

(5)yex(sinxcosx)sinx；(6)y；(7)y1cosx；(8)y.

cos2xx2(1x)ex

2

【解析】（1）yexx1ex2x1ex1x2．

22

（2）y3sin3x13sin3x1．

2x12x1

π

（3）y2cos2x2cosxsinx2cos2x2sin2x22sin2x．

4

2

x2x1

（4）x2x11x

y22x1

x2x22x1x22x1

（5）y(exsinx)(cosx)exsinxex(sinx)sinxex(sinxcosx)sinx.

sinxcos2xsinx(sinx)111

（6）yln(x)，则y(x).

cosxcos2xxcos2xx

11

（7）yxsinx，则y1cosx.

22

11

(1x)'exln1xexln1x

（）11xln1x

8y1x1x.

(ex)2ex1xex

题组二导数值

2

1.（2024·上海黄浦）已知函数fx2f3xx2lnx，则f1．

9

【答案】16

9

241

【解析】因为fx2f3xx2lnx，所以fx2f3x，

99x

41

则f32f3，解得：f31，

33

2216

所以fx2xx2lnx，则f12ln1.

999

16

故答案为：.

9

2.（2025·河北）已知函数（fx）的导函数为f（x），且满足（fx）2xf（1）lnx，则f（1）

【答案】-1

1

【解析】由（fx）2xf（1）lnx，可得f（x）2f（1），所以f（1）2f（1）1，则f（1）1.

x

21

3.（2024·江苏）已知fx，且fm，则m的值等于

x2

【答案】2

221

【解析】fx，fm，解得m2

x2m22

4.（2024海南）如图，函数yfx的图像在点P处的切线方程是yx9，则f5f5

【答案】3

【解析】因为函数yfx的图像在点P处的切线方程是yx9，

所以f5594,f51，所以f5f5413。

题组三导数定义及几何意义

f2xf2

1.（2024广东江门）已知直线l：yx1，且与曲线yfx切于点A2,3，则lim的值为（）

x0x

A．－2B．－1C．1D．2

【答案】C

【解析】由直线l:yx1与曲线yf(x)切于点A(2,3)，知f(2)1.由导数的定义知，

f(2x)f(2)

limf(2)1.

x0x

故选：C

2.（24-25广东东莞）曲线yx33x2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）

33

,+

A．,B．C．3,D．3,

33

【答案】D

【解析】因为yx33x2，则y3x233，当且仅当x0时，等号成立，

3

因此，曲线yx3x2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是3,.

故选：D.

3（.2025·四川）若曲线yx1在点(0,1)处的切线与曲线ylnx在点

P处的切线垂直，则点

P的坐标为（）

1

A．e,1B．1,0C．2,ln2D．,ln2

2

【答案】D

11

【解析】yx1的导数为y，所以曲线yx1在点(0,1)处的切线的斜率为k.

2x112

因为曲线yx1在点(0,1)处的切线与曲线y=lnx在点P处的切线垂直，

所以曲线y=lnx在点P处的切线的斜率k22.

111

而y=lnx的导数y，所以切点的横坐标为，所以切点P(,ln2).

x22

故选：D

4.（2025·广东）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2x33ax2f(1)x，则函数f(x)的图

象在点(2，f(2))处的切线的斜率为（）

A．-21B．-27C．-24D．-25

【答案】A

【解析】f(x)是奇函数，

f(x)2x33ax2f(1)xf(x)2x33ax2f(1)x恒成立，所以a0，

f(x)2x3f(1)x，f(x)6x2f(1)，

所以f(1)6f(1)，f(1)3，即f(x)6x23，

f(2)6(2)2321．

故答案为：A．

1

5（2024·福建福州）已知函数f(x)x3x2f(1)2，且其图象在点x3处的切线的倾斜角为，则

3

π3π

sincos的值为（）

22

3393

A．B．C．D．

1010104

【答案】B

1

【解析】因为f(x)x3x2f(1)2，所以f(x)x22f(1)x所以f(1)122f(1)1，解得f(1)1，

3

所以f(x)x22x由题意可知，ktanf332233，

π3πcossintan33

所以sincoscossin.

22sin2cos2tan2132110

故选：B.

6（24-25高三上·上海松江·期中）已知fxx2x，则曲线yfx在点0,f0处切线的倾斜角

是.

π

【答案】

4

【解析】因为fxx2x，所以fx2x1，则f01

ππ

所以曲线yfx在点0,f0处的切线斜率为1，所以斜线的倾斜角为：.故答案为：

44

题组四在型切线

3

1.（23-24内蒙古）曲线fxx2在点1,f1处的切线方程为（）

x

A．5xy30B．5xy70

C．xy10D．xy10

【答案】B

3

【解析】fxx2，f1132，则所求切线切点坐标为1,2，

x

3

fx2x，有f1235，则所求切线斜率为5，

x2

所求的切线方程为y25x1，即5xy70.

故选：B

m

2.（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数fxm1x2是奇函数，则曲线fx在x1处的切线的方程为

x

（）

A．xy20B．xy20

C．xy20D．xy20

【答案】B

m

【解析】由函数fxm1x2的定义域为xx0，且f(x)是奇函数，

x

mm

则f(-x)+f(x)=0，即(m1)x2(m1)x20，解得m1，

xx

11

于是f(x)，求导得f(x)，则f(1)1，而f11，

xx2

所以曲线f(x)在x1处的切线的方程为：y1x1，即xy20.

故选：B

3.（24-25高三上·湖南·开学考试）已知定义在R上的函数fx满足2fxfx3ex，则曲线yfx在点

0,f0处的切线方程为

A．y3x3B．y3x3

C．y=x+3D．yx3

【答案】C

【解析】因为2fxfx3ex，所以2fxfx3ex，

联立可解得fxex2ex，所以f03，所以fxex2ex,f01.

所以曲线yfx在点0,f0处的切线方程为y3x，故所求的切线方程为y=x+3.故选：C.

4（2025·重庆·模拟预测）已知函数fxex13x，则曲线yfx在点1,f1处的切线方程为.

【答案】2xy0

【解析】因为f(x)ex13x，所以f(1)e032，所以f(x)ex13，则f(1)2，从而曲线yf(x)在

点(1,2)处的切线方程为y22(x1)，整理得2xy0.

5.（2024江苏盐城·阶段练习）曲线C：yxex在点M（1，e）处的切线方程为．

【答案】y2exe

【解析】因为yexxex，所以切线斜率为2e，切线方程为ye2e(x1)，y2exe

6.（2026安徽合肥·期中）函数fxlnx1的图象在点1,f1处的切线方程为.

11

【答案】yxln2

22

11

【解析】因为fxlnx1，得fx，则f1ln2,f1，

x12

111

所以切线的方程为yln2x1，即yxln2.

222

11

故答案为：yxln2.

22

21

7．（23-24高三上·山东·期中）已知函数fxx2fxlnx，则fx在点1,f1处切线方程为．

2

【答案】3xy20

11111

【解析】对fx求导可得fx2x2f，则f12f2，解得f3，

2x222

1

fxx26xlnx,f15，fx2x6,f13，

x

切线方程为y53x1，整理得3xy20.故答案为：3xy20.

题组五过型切线

1．（2024·江西景德镇·一模）过点A(0,1)且与曲线f(x)x32x1相切的直线方程是（）

A．y5x1B．y2x1

C．yx1D．y2x1

【答案】A

【解析】fx3x22，点A不在曲线上，

x32x11

3200

设切点为(x0,x02x01)，则fx03x02，

x0

解得：x01，得切点1,4，则kf(1)5

切线方程为：y5x1，

故选：A．

2（2024·新疆·二模）过点1,4且与曲线fxx3x2相切的直线方程为（）

A．4xy0B．7x4y90

C．4xy0或7x4y90D．4xy0或4x7y240

【答案】C

2

【解析】设过点1,4的曲线yfx的切线为：l:yy03x01xx0，

2

3x011x04y0

有,

3

y0x0x02

1

x0

x012

解得或,

y49

0y

08

代入l可得4xy0或7x4y90.

故选：C

3.（2025·辽宁）过点0,1作曲线fxlnxx0的切线，则切点坐标为.

1

【答案】e,1/e2,1

【解析】由fxlnxx0，得fxlnx2，x0，化简得fx2lnx，x0，

2

则fx，设切点为x,2lnx，显然0,1不在曲线上，

x00

2lnx12

则0，解得，则切点坐标为

x0ee,1.

x0x0

故答案为：e,1

4.（24-25广西）过点P(1,3)且与曲线y=x2相切的直线的方程为．

【答案】2xy10或6xy90

2

【解析】设切点坐标为x0,y0，则有y0x0．

y(xx)2x2

因为ylimlim2x，所以切线方程为yy02x0xx0，

x0xx0x

22

将点(1,3)的坐标代入，得3x02x02x0，

2

所以x02x030，解得x01或x03．

当x01时，y01，故切线方程为2xy10；

当x03时，y09，故切线方程为6xy90．

所以所求直线的方程为2xy10或6xy90．

故答案为：2xy10或6xy90．

48

5.（2024湖南）曲线C:fxx过点A,0的切线方程为.

2x3

【答案】3x4y80或3xy80

44

xxx

44

【解析】xxx，

f(x)limlim112

x0xx0x(xx)x

8

因为点A,0不在曲线上，

3

4

所以设切线的切点是(x0,y0)，则切线的斜率kf(x0)12，

x0

8

又切线过点(x0,y0)和,0，

3

y3y

k00

所以83x8，

x0

03

4

3(x0)2

所以43y0x03x012，

122

x03x083x083x08x0

32

化简得x03x04x00，

因为x00，所以x04或x01.

434

所以k1，或k13，

(4)2412

388

所以所求切线方程是y(x)或y3(x)，

433

即3x4y80或3xy80.

故答案为：3x4y80或3xy80.

6.（2024高三·全国·专题练习）过点0,2作曲线fxlnx2的切线，则切线方程为.

1

【答案】yx2

e

1

【解析】设切点为x,lnx2，由fxlnx2得fx，

00x

1

则切点处的切线l:ylnx02xx0，

x0

因为切线过点0,2，所以lnx01，解得x0e，

11

所以切线方程为y1xe即yx2.

ee

1

故答案为：yx2

e

题组六切线求参数

b1

1.（2025·新疆·模拟预测）已知函数fxax图象过点1,且在该点处的切线的斜率为1，则a2b=（）

x2

315

A．1B．C．D．

424

【答案】D

b11

【解析】依题意有fxa，f1ab1，又f1，即ab，

x222

315

a，b，a2b.故选：D.

444

2（2025·贵州安顺·模拟预测）已知直线y2x与曲线yex1ax相切，则a的值为（）

A．3B．2C．1D．1

【答案】A

【解析】设切点坐标为x0,y0.

x01①

y0eax0

∵yex1ax，∴yex1a，则ex01a2②，

③

y02x0

x0-1x01x01

由②得，a=-2-e，代入①得，2x0e2ex0，

x01=--=-

整理得e1x00，解得x01，故a213.故选：A.

a

3.（2025·山东济宁·一模）曲线y(a0)与ylnx和yex分别交于A,B两点，设曲线ylnx在A处的切线斜

x

x5

率为k,ye在B处的切线斜率为k，若kk，则a（）

12122

A．2ln2B．2ln3C．3ln2D．3ln3

【答案】A

【解析】因为ylnx和yex互为反函数，其图象关于直线yx对称，

a

且反比例函数y(a0)的图象也关于直线yx对称，

x

可知点A,B关于直线yx对称，设Ax0,lnx0,x01，则Blnx0,x0，

1

设fxlnx,gxex，则fx,gxex，

x

1lnx151

0x2

由题意可得：k1k2ex0，解得0或x0（舍去），

x0x022

a

可得A2,ln2，则ln2，所以a2ln2.

2

故选：A.

4.（2025·广东佛山·一模）若直线yxa与曲线ylnxb相切，则a2b2的最小值为（）

13

A．B．1C．D．2

22

【答案】A

【解析】设直线yxa与曲线yln(xb)的切点为(x0,y0).

11

对yln(xb)求导，根据(lnu)u，可得y.

uxb

因为直线yxa的斜率为1，由导数的几何意义可知，

1

在切点处1，即x01b.

x0b

又因为切点(x0,y0)既在直线上又在曲线上，

所以y0x0a且y0ln(x0b)，即ln(x0b)x0a.

将x01b代入ln(x0b)x0a可得：ln(1bb)1ba，即ab1.

将ab1代入a2b2可得：

2

2222211

ab(b1)b2b2b12b，

22

111

所以当b，a时，a2b2取得最小值为.

222

故选：A

5.（2025·四川成都·二模）设函数f(x)2x3ax2bx，若f(x)的图象过点P(1,3)，且曲线yf(x)在(0,0)处的

切线也过点P，则a.

【答案】2

【解析】函数f(x)2x3ax2bx，求导得f(x)6x22axb，则f(0)b，而f(0)0，

因此曲线yf(x)在(0,0)处的切线方程为ybx，

b3

依题意，，所以a2.

2ab3

故答案为：2

6．（2024·四川宜宾·一模）设曲线ye2ax在0,1处的切线与直线x2y20垂直，则a

【答案】1

1

【解析】直线x2y20的斜率k，

12

1

∵切线与直线x2y20垂直，∴切线的斜率k22，

k1

2ax0

y2ae，当x0时，k22ae2，∴a1，

故答案为：1.

1

7.（2024·广东佛山·一模）若直线ykx与曲线ylnx相切，则k．

2x

1

【答案】/0.5

2

1

【解析】设直线ykx与曲线ylnx相切于点Px,y，

2x00

11112x01

求导可得，因此切线斜率k，

y222

x2xx02x02x0

1

lnx00

又切线过原点O0,0，可得2x02x01，化简可得x0lnx0x010，

kPO2

x002x0

令gxxlnxx1，则gxlnx11lnx，

当x0,1时，gx0，即gx在0,1上单调递减，

当x1,时，gx0，即gx在1,上单调递增，

所以gx在x1处取得极小值，也是最小值，g10，即可得gxxlnxx10，

2x11

0

因此可得x01，即可得k2.

2x02

故答案为：1

2

8.（24-25高三上·上海·期中）若直线y3xa与曲线ylnx2x相切，则实数a的值为.

【答案】1

1

【解析】设切点坐标为t,lnt2t，由ylnx2x得y2，

x

1

所以切线的斜率为：k2，

t

1

所以曲线在t,lnt2t处的切线方程为：y2xtlnt2t，

t

1

即y2xlnt1，

t

1

所以23，所以t1，所以alnt11.

t

故答案为：1.

21

9.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）已知a0,b0，直线yx2a与曲线yex1b1相切，则的最

ab

小值为.

【答案】9

ex011

x1x1

【解析】设切点为x0,y0，由yeb1得ye，由题意y0x02a，

x01

y0eb1

解得x01，所以12a2b，即2ab1，

21212b2a1

故(2ab)55249，当且仅当ab时，等号成立，

ababab3

故答案为：9

10（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线y2x为曲线yeaxb的一条切线，则ab的最大值为.

2

【答案】/2e2

e2

【解析】设fxeaxb，则fxaeaxb，

ax0bax0b

设切点为x0,e，则fx0ae，

ax0bax0bax0bax0b

则切线方程为yeaexx0，整理可得yaex1ax0e，

ax0b

1axe01

所以0，解得ax0b1b，

axbx0,aeae2

ae02a

22b

所以a，所以ab，

e1be1b

2x21x

设gx，则gx，

e1xe1x

当x,1时，gx0,gx单调递增，

当x(1,)时，gx0,gx单调递减，

2

所以当x1时，gx取得最大值g1，

e2

2

所以ab的最大值为.

e2

2

故答案为：

e2

题组七公切线

1

1.（2024·海南·模拟预测）若函数fx1x0与gxalnxa0的图象有且只有一条公切线，则实数a

x

的值为（）

1

A．B．1C．2D．4

2

【答案】B

1

【解析】设公切线与函数fx,gx的图象分别切于点Ax1,1,Bx2,alnx2，

x1

11

因为，所以fx，

fx212

xx1

11

所以公切线方程为，

y12xx1

x1x1

12

即y2x1，

x1x1

aa

因为gx，所以gx2，

xx2

a

所以公切线方程为yalnx2xx2，

x2

a

即yxaalnx2，

x2

因为函数fx与gx的图象有且只有一条公切线，

1a

2

x1x21a

所以，由得xax2,

2x2x21

1aalnx12

2

x1

2

代入1aalnx2，

x1

22

则1aalnax1aalna2alnx1，

x1

2

整理得12alnx1aalna，

x1

222ax

1

令y12alnx1，则y2，

x1x1

1

当0x时，y0，则函数y单调递增，

1a

1

当x时，y0，则函数y单调递减，

1a

1

所以x时，y12a2alna，

1amax

则当12a2alnaaalna时，

1

函数fx1x0与gxalnxa0的图象有且只有一条公切线，

x

即alnaa10，解得a1.

故选：B.

2（2024·辽宁·模拟预测）若至少存在一条直线与曲线fx2x23和gx3tlnxt0均相切，则t的取值

范围是（）

A．4e,0B．2e,

C．4e,00,D．4e,00,

【答案】D

t2

【解析】fx4x,gx，设公切线与曲线yfx相切于点x1,2x13，与曲线ygx相切于点

x

x2,3tlnx2x20，

t

2

则切线方程分别为y4x1x2x13，yxt3tlnx2，

x2

t①

4x1,

所以x2

2②

2x13t3tlnx2,

2

2t

由①得x12，

16x2

22

代入②得t8x2lnx28x2．

令hx8x2lnx8x2(x0)，

则hx8x2lnx1，

所以当0xe时，hx0，当xe时，hx0，

所以hx在区间0,e内单调递减，在区间e,内单调递增，

所以h(x)minhe4e，

又当x时，hx，

所以hx的值域为4e,，

所以t的取值范围是4e,00,．

故选：D．

3.（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线y=x2与ytext0恰有两条公切线，则t的取值范围为（）

4444

A．0,B．,C．,0,D．,0

e2e2e2e2

【答案】A

【解析】设曲线ytex切点为Mm,tem，y=x2的切点为Nn,n2，

则曲线ytex在点Mm,tem处的切线方程为ytemtemxm，即ytemxmtem，

同理，y=x2在点Nn,n2处的切线方程为y2nxn2，

根据ytex与y=x2有两条公切线，

2

tem2nm4m4

则，所以mmte，化简可得具有两个交点，

mm2temtetm

temten2e

4m44x484x

转化为t有两个解，构造函数fx，则fx，

emexex

当x2，fx0，fx单调递增；当x2，fx0，fx单调递减，

4

故fx在x2时有极大值即为最大值，故f2，

e2

当x时，fx，当x时，fx0，