高等数学基础

宁夏职业技术学院高等数学基础职业素养教学部数学教研室

教材及参考资料教材:刘玉玲亢岫《高等数学基础》大连理工大学出版社2018.8主要参考材料：[1]晏锐,刘玉玲,亢岫《高等数学》及《高等数学练习册》大连理工大学出版社2010.7[2]侯风波《高等数学》高等教育出版社2010.5[3]郭连英,郭志军,于烊《高等应用数学》上海交通大学出版社2017.8[4]邢春平,李平《应用数学基础》高等教育出版社2008.6[5]王振吉,谷俊刚《微积分应用基础》化学工业出版社2010.9第2章极限与连续第3章导数与微分第4章导数的应用第5章不定积分高等数学基础第1章函数第6章定积分学的应用第7章常微分方程函数的概念及性质1.1复合函数与初等函数1.2

建立函数模型1.3Mathematica简介1.4第1章函数学习目标1.理解函数的基本概念,学会判断简单的函数性态;2.熟练掌握基本初等函数的性质和图像,理解函数建模的基本思想;3.掌握复合函数的复合和分解过程,了解初等函数的概念;4.了解数学软件Mathematica的安装使用,学习使用数学软件的简单计算和绘图功能．学习目标函数的概念一分段函数二

反函数三函数的简单性态四1.1函数的概念及性质一、函数概念例1

在自由落体运动中,设物体的下落时间为t,下落位移为s,牛顿通过研究得出:位移s与时间的平方成正比,即1.1函数的概念及性质t(0,+)例2

国际上常用恩格尔系数(食品支出总额占消费支出总额的比重)反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.据国家统计局数据显示,从2008年至2017年,近十年来我国城市居民家庭恩格尔系数(%)如下表所示.时间(年)2008200920102011201220132014201520162017城市居民家庭恩格尔系数(%)38.236.337.937.036.235.035.630.630.129.3表格中的每一个时间(年),对应当年的恩格尔系数.因此,上述表格给出了恩格尔系数与一段时间的对应关系.例3某气象站温度自动记录仪,记录了某一天中温度T与时间t的变化曲线如图1-1.由图中可以看出这一天的温度与时间的对应,上午温度上升至下午14:00时,达到最高温度30ºC.这一天的每一个时刻,都可以对应一个相应的温度.1.1函数的概念及性质上述几例,有着共同的特点,处在同一变化过程中的两个变量,当一个变量在其变化范围内每取一个确定的数值时,另一个变量相应地也有一个确定的数值与之对应,这种对应关系,就是函数.定义设x

和y

是两个变量,D

为一个非空数集,如果对于集合D中的每一个x,按照某种确定的对应关系f,都有唯一确定的数值y与之对应,则称y

为x

的函数,记作y=f(x),x

D.其中,x叫做自变量,y叫做因变量,x的取值范围D叫做函数的定义域.当x取数值x0

D时,对应的y值叫做函数f(x)在x=x0处的函数值,记作y0=f(x0).所有函数值组成的集合W={y|y=f(x),x

D}称为函数y=f(x)的值域.1.1函数的概念及性质由以上例1、例2、例3可以看到函数有解析法、列表法、图象法三种表示方法.一般当函数由解析式给出时,其定义域就是使该解析式有意义的自变量取值范围.1.1函数的概念及性质例4已知函数

(3)当a>3时,求f(a),f(a

1)的值.解

(1)若要函数有意义,必须满足x+1

0且x

2

0,(2)(3)因为a>3时,函数有意义,所以即x

1且x1

2,所以函数的定义域为[

1,2)∪(2,+).

由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.当定义域和对应关系确定了,值域也就随之确定了.因此,我们称定义域和对应关系是函数的两要素.即只要定义域和对应关系都相同,那么这两个函数就是相同的一个函数.1.1函数的概念及性质例5下列哪个函数与y=x是相同的函数？

(1)(2)(3)(4)解

(1),这个函数与函数y=x(x

R)虽然对应关系相同,但是定义域不同.所以,这个函数与函数y=x不相同.

(2),这个函数与函数y=x(x

R)不仅对应关系相同,而且定义域也相同.所以,这个函数与函数y=x相同.1.1函数的概念及性质

(3),这个函数与函数y=x(x

R)的定义域都是实数集R,但是当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同.所以,这个函数与函数y=x不相同.

(4)的定义域是{x|x

0},与函数y=x(x

R)的对应关系相同但定义域不相同.所以,这个函数与函数y=x不相同.例6求函数的定义域.解要使函数有意义,应满足即也即所以因此函数的定义域为(

4,4).在实际问题得到的函数中,变量有其所指的意义,这时函数的定义域则由问题的具体条件来确定.函数的定义域为D=(-

,+

).函数的值域为W=[0,+

).-----分段函数如绝对值函数如图1-2所示.又如二、分段函数分段定义的函数,称为分段函数.在实际问题中,通常会碰到这样的分段函数,有几个不同的解析式,合起来表示一个函数.1.1函数的概念及性质例7旅客乘长途汽车可免费携带不超过20公斤的物品.如果规定超过20公斤而不超过40公斤的部分每公斤交运费0.5元,超过40公斤不超过50公斤的部分每公斤交运费1.5元,最多携带的物品不能超过50公斤．试建立总运费与携带物品重量的函数关系．

解设携带的物品重量为x公斤,应交运费y元.由题意,应分三种情况考虑.建立函数关系为:函数的定义域为[0,50]．1.1函数的概念及性质例8

,做出函数图像,并求

及函数的定义域.

解函数图像如图所示.函数的定义域为(

1,1].1.1函数的概念及性质三、反函数例函数y=f(x)=3x

1中,x是自变量,y是因变量,y是x的函数.

由上式,可得——此函数变量x与

y的关系相反.(y是自变量,x是因变量,x是y的函数),称此函数为y=f(x)=3x

1的反函数,习惯记为(1)先从y=f(x)中解出x的表达式；(2)将式子中的x,y互换,反函数通常表示为.求函数y=f(x)反函数的一般步骤:1.1函数的概念及性质例9求函数的反函数.解由函数变形为y(1+x)=x，再整理得x(1

y)=x

,解得,则所求反函数为两个函数之间的反函数关系是相互的.具有如下特性:(1)定义域与值域的关系:函数的定义域是其反函数的值域,函数的值域是其反函数的定义域.(2)图象的关系:函数与其反函数的图像是关于y=x轴对称.0xyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)结论:单调连续函数一定存在反函数.1.1函数的概念及性质四、函数的简单性态1.奇偶性设函数的定义域D关于原点对称若对任意的x

D,有f(

x)=f(x),则称f(x)是偶函数；若对任意的x

D,有f(

x)=

f(x),则称f(x)是奇函数.结论奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于y轴对称.如下图所示.-101x

-22yy=x30xy-xxf(-x)=f(x)y=x21.1函数的概念及性质

例10判断下列函数的奇偶性:(1)y=x3(2)y=x2+1(3)y=x2sinx(4)y=xcosx+1解

(1)、(3)都是奇函数，因为有：f(

x)=

f(x).(2)为偶函数,(4)非奇非偶.结论奇函数

奇函数=奇函数；偶函数

偶函数=偶函数;奇函数×偶函数=奇函数;

奇函数×奇函数=偶函数×偶函数=偶函数.再如、均为奇函数，而、均为偶函数.1.1函数的概念及性质2.周期性若存在常数T>0,满足f(x+T)=f(x),称f(x)为周期函数,T为函数f(x)的周期.通常说周期函数的周期是指其最小正周期.例如y=sinx是以2

为最小正周期的周期函数.yx0T2T-2T-Ty=f(x)y=Asin(

x+

),y=Acos(

x+

)的周期为.

1.1函数的概念及性质3.单调性设函数的定义域为D,区间I

D.若对于任意的x1<x2

I,有f(x1)<f(x2),则称f(x)在区间I上单调递增；若对于任意的x1<x2

I,有f(x1)>f(x2),则称f(x)在区间I上单调递减.x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)1.1函数的概念及性质如图1-4,y=x2在[0,+∞)内是单调递增的,在(

∞,0]内是单调递减的,在(

∞,+∞)内不是单调的；如图1-5,y=x3在(

∞,+∞)内单调递增的.Oxyy=x2图1-4-101x

-22yy=x3图1-51.1函数的概念及性质4.

有界性若总存在正数M,使得对任意的x

D,有|f(x)|≤M,则称函数f(x)在D上是有界的.如果这样的M不存在,则称函数f(x)在D上是无界的,就是说对任何M,总存在x

D,使|f(x)|>M.Oxyy=f(x)y=-My=M有界函数的图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=

M和y=M的之间,如右图.1.1函数的概念及性质

f(x)=

sinx在(-

,+

)上是有界的：|sinx|

1.y-11xO-2p-pp2py=sin

x1.1函数的概念及性质解

函数在开区间(1,+

)内是有界的,而在开区间(0,+

)内是无界的.0xy12y=1/x例11说明(x>0)的有界性．因函数y=sinx和y=cosx在其定义域(

,+

)上是有界的,所以我们通常说y=sinx和y=cosx是有界函数.小结:函数的概念，函数定义域的求法，反函数，函数的性质.作业：P6

习题1-11.1函数的概念及性质基本初等函数一复合函数二

初等函数三1.2复合函数与初等函数一、基本初等函数1.

常值函数：y=c,如图1-7.2.幂函数：y=x

(是任意实数),如图1-8.定义域：D=(,+)值域：W={c},是偶函数,且有界．

常见的y=x,x2,x3,x-1,x1/2,…定义域和奇偶性有所不同,但所有幂函数都过(1,1)点．1.2复合函数与初等函数3.

指数函数：y=ax(a是常数,a>0且a≠1),如图1-9.定义域：D=(,+)值域：W=(0,+)曲线均过(0,1)点.单调性：若a>1,则指数函数单调增加；若0<a<1,则指数函数单调减少．1.2复合函数与初等函数常见的指数函数有y=ex,y=e2x,y=10x,以及1.2复合函数与初等函数(1)aras=ar+s

(a>0,r,s

R)

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s

R)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r

R)

规定：a0=1(a

0),(a

0),(a为偶数时,必须am

0).运算性质：例1

把下列各式表示成分数指数幂(其中a>0):(1)(2)(3)解

(1)

(2)

(3)1.2复合函数与初等函数例2比较下列值的大小：

(1)1.52.2,1.53

(2)0.61.3,0.61.7(3)1.80.5,0.43.6

解

(1)1.52.2,1.53可看做指数函数y=1.5x的两个函数值.由于底数a=1.5>1,函数y=1.5x在R上是增函数,所以1.52.2<1.53

.

(2)0.61.3,0.61.7可看做指数函数y=0.6x的两个函数值.由于底数a=0.6<1,函数y=0.6x在R上是减函数,所以0.61.3<0.61.7.

(3)1.80.2,0.45.6不能看做同一个指数函数的两个函数值.我们可以首先在这两个数值中间找一个数值,将这一个数值与原来两个数值分别比较大小,然后确定原来两个数值的大小关系.由指数函数的性质知:1.80.5>1.80=1,

所以1.80.5>0.43.6而0.43.6<0.40=1

1.2复合函数与初等函数同学们一定听说过一个有关国际象棋与麦粒的故事,这个故事最终说明指数函数如果增加的话是所有函数中增速最快的函数,它的增速超乎想象．从下表中对应值可以看到,两个函数y=2x与y=x2增长的情况：x012345678910…2x12481632641282565121024…x2

0149162536496481100…4.对数函数：y=logax(a是常数,a>0且a≠1),如图1-10.常见的对数函数有:y=lnx

(a=e),称为自然对数函数;

y=lgx(a=10),称为常用对数函数.定义域：D=(0,+)值域：W=(,+)曲线均过(1,0)点.单调性：若a>1,则对数函数单调增加；若0<a<1,则对数函数单调减少．1.2复合函数与初等函数图1-10例3求函数y=lg(x2

x6)的定义域.解要使函数有意义,应满足x2

x6>0,即(x+2)(x3)>0

,所以x<2或

x>3,因此函数的定义域为(,2)∪(3,+

)

.5.

三角函数正弦函数

y=sinx余弦函数

y=cosxy=sinx是奇函数,图形过原点y=cosx是偶函数,图形不过原点1.2复合函数与初等函数x∈(

∞,+∞)y∈[

1,+1]T=2

y=tanx的图形过原点,一个周期内递增,y=cotx的图形不过原点,一个周期内递减,正割函数：余割函数:1.2复合函数与初等函数正切函数余切函数y∈(

∞,+∞)T=

都是奇函数6*.反三角函数反正弦函数y=arcsinxx∈[

1,+1]y∈[/2,/2]反余弦函数y=arccosxx∈[

1,+1]y∈[0,

]yx0py=Arccosxy=arccosx-11-11y=Arcsinxy=arcsinxyx0

p2p21.2复合函数与初等函数反正切函数y=arctanx反余切函数y=arccotx

基本初等函数或基本初等函数的有限次四则运算得到的函数称为简单函数.x∈(

∞,+∞)y∈(/2,/2)x∈(

∞,+∞)y∈(0,

)1.2复合函数与初等函数二、复合函数引例设y=f(u)=sinu,u=

(x)=2x+1

y=f(

(x))=sin(2x+1)称y=f(

(x))=sin(2x+1)为由简单函数y=f(u)=sinu和u=

(x)=2x+1复合而成的复合函数.定义设y=f(u),u=

(x),当x

D,u

E,如果对于D中的每一个x所对应的u,都能使y=f(u)有定义,那么y最终是x的函数,

记为y=f(

(x)),这个函数就叫做是由函数y=f(u)和u=

(x)复合而成的复合函数.x:自变量；u:中间变量；y:因变量注意:

不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,如y=arcsinu,u=2+x2就不能复合成y是x的函数.1.2复合函数与初等函数例4写出下列简单函数复合后的复合函数.(1)y=f(u)=u2,u=(x)=sinx(2)y=f(u)=,u=4+x2(3)y=eu,u=cosv,v=x2+1解

(1)复合后的函数为y=f(

(x))=sin2x...(3)复合后的函数为1.2复合函数与初等函数.(2)复合后的函数为例5下列复合函数可看成哪些简单函数复合而成.

(1)y=(2x

3)8(2)y=ln(cosx)(3)

(2)

y=ln(cosx)可看成由y=lnu

与u=cosx复合而成的复合函数.(3)可看成由y=sinu,u=ev

与v=1

2x复合而成的复合函数.1.2复合函数与初等函数解

(1)

y=(2x

3)8可看成由y=u8与u=(2x

3)

复合而成的复合函数.三、初等函数

初等函数是指基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的,并能够用一个式子表示的函数.例6下面两个函数是不是初等函数：

分析第一个不能用一个式子表示,不是初等函数;第二个是基本初等函数无限次四则运算,不是初等函数.(1)1.2复合函数与初等函数小结:六类基本初等函数，复合函数，初等函数.作业：P12

习题1-21.3函数建模1.分析实际问题中哪些是变量,哪些是常量,分别用字母表示；2.根据问题所给出的条件,运用数学及其他相关知识,确定等量关系；3.具体写出函数解析式y=f(x),并指明定义域.

1.3函数建模一般建立函数模型的基本步骤为：

函数关系是一种变量相依关系的数学模型,函数建模方法是科学处理实际问题的一种常用方法.函数建模是针对所考察问题构造出相应的函数模型——函数关系,通过对函数模型的研究,使问题得以解决的一种数学方法.例1(造价问题)

拟建造一个容积为V的圆形无盖蓄水池,如果池底所用材料单位面积的造价是池壁单位面积造价的2倍,求总造价与底面半径的函数模型.解设蓄水池底面半径为R,高为h

,总造价为y元,池壁单位面积造价为a,则池底单位面积造价为2a.由V=

R2h,得总造价

y=2aR2+2a

Rh

1.3函数建模1.3函数建模例2(人口增长问题)

截止2004年底,我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少？(精确到亿)解设今后我国人口年平均增长率为1%,那么经过x年后,我国人口为y亿.2004年底,我国人口约13亿，经过1年以后,人口数为13+13

1%=13

(1+1%)(亿);经过2年以后,人口数为经过3年以后,人口数为......所以,经过x年以后,人口数为13+13

1%+(13+13

1%)

1%=13

(1+1%)2(亿);13

(1+1%)2+13

(1+1%)2

1%=13

(1+1%)3(亿);y=13

(1+1%)x=13

1.01x(亿);当

x=20时,y=13

1.0120

16(亿).例3(房屋出租问题)某房地产公司有100套公寓要出租.当租金定为800元/套·月时,公寓可全部租出;当租金提高20元/套·月时,就有一套公寓租不出去;已租出去的公寓整修维护费用为40元/套·月.试建立房地产公司的月收入与月租金的函数关系.总收入1.3函数建模租出公寓套数为解设租金为x元/套·月,月收入为R(x),由题设x800,此时未租出的公寓为在实际问题中,经常会遇到类似上例的指数增长模型:设原有量为N,每次增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则y=N(1+p)x.形如y=kax(k

R,且k0;a>0且a1)的函数是一个指数型函数,这是一种非常有用的函数模型.

例4(个人纳税问题)

根据中华人民共和国个人所得税法规定:公民全月收入所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累积计算:1.3函数建模若某人的月收入所得不超过一万元,试列出他应缴纳的税款y与其收入x之间的对应关系．级数全月应纳所得额税率(％)1不超过1500元的部分32超过1500元至4500元的部分103超过4500元不超过9000元的部分204超过9000元至35000元的部分25解当月收入x≤3500元时,不必纳税,这时y=0:当3500≤

x≤5000时,纳税部分为x

3500,税率3%,1.3函数建模因此当5000≤

x≤8000时,纳税部分中1500元的税率3%,即

再多部分x

5000,按10%纳税,因此因此当8000≤

x≤12500时,纳税部分中1500元的税率3%,即

3000元按税率10%计算,即再多部分x

8000,按20%纳税,合起来可建立下述函数关系:当月收入x=8600元时,代入求得纳税1.3函数建模定义域x

[1,10000]

当月收入x=6000元时,纳税建立了税款y与x之间的函数关系后,很容易计算个人应缴纳款.1.3函数建模小结:函数建模，一般建立函数模型的基本步骤.作业：P14

习题1-3《中华人民共和国个人所得税法》规定:公民全月收入所得不超过3500元的部分不必纳税,超过3500元的部分为全月应纳税所得额.税率表如上述例4,若某人一月份应缴纳此项税款为303元,那么他当月的总收入是多少？练一练第1章

函数小结一、基本概念的理解1.函数:函数的本质是变量与变量之间的一种对应关系,

y=f(x),x

D.2.复合函数:是由简单函数复合而成的一种复杂函数.3.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的,只用一个式子表示的函数.二、重点内容掌握1.基本初等函数的性质(图像、定义域、值域、奇偶性、单调性);1)常值函数y=C

2)幂函数y=x

(

是常数)3)指数函数y=ax

(a是常数,a>0且a

1),特别地当a=e时,即是y=ex4)对数函数y=logax

(a是常数,a>0且a

1),特别地,当时,即是y=lnx

第1章

函数小结2.复合函数的合成与分解;3.建立函数模型的基本步骤:1)设出变量;2)找出等量关系;3)写出函数y=f(x)及定义域.三、相关内容了解1.函数的反函数;2.Mathematica的安装及简单数值计算和绘图功能.5)三角函数正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,

正切函数y=tanx,余切函数y=cotx

宁夏职业技术学院高等数学基础第2章

极限与连续函数的极限2.1无穷小量与无穷大量2.2极限的运算2.3两个极限公式2.4第2章极限与连续函数的连续性及性质2.5学习目标1.理解函数极限、数列极限及无穷小量的概念,学会推断一些简单函数的极限;2.掌握求函数极限值的基本方法,学会运用两个极限公式计算函数极限;3.了解函数的连续性,学会确定简单函数的间断点和连续区间;4.学习用数学软件Mathematica求函数极限．学习目标当x

时,函数的极限一当x

x0时,函数的极限二

数列的极限三2.1函数的极限

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,体现了我国古代早期的极限思想.其含义就是:一尺长的一根木棒,第一天截取它的一半,剩下尺,第二天取剩下的一半,还剩尺,第三天再取剩下的一半,还剩尺,……,第n天再取剩下的一半,还剩尺.当越来越大时,取剩下的木棒的长度就会越来越小,但永远取之不尽.其中包含着无限的思想.2.1函数的极限函数f(x)的极限,讨论的是当自变量x有一个变化趋势时,函数y的变化趋向.根据自变量的变化分下述两种情形:x趋于无穷大(x

)和x趋于定常数(x

x0).公元263年间,我国古代数学家刘徽在《九章算术》中,介绍割圆术计算圆周率

时,就有叙述“割之弥细,所失弥少.割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣.”这句话就蕴涵着早期的极限思想．例1函数当|x|无限增大)时,函数变化趋势如下表所示：

2.1函数的极限一、当x

时,函数的极限x±100±1000±10000±100000±1000000…→∞y±0.01±0.001±0.0001±0.00001±0.000001…→0从表中对应值的变化情况可以看到,当x

时,即|x|无限增大时,函数值的绝对值变得越来越小,趋向于零.

在x

时,以0为极限.这样就说函数记作xoy

(函数在这两种方向下的极限不一定相同)下面给出x

时,函数极限的一般描述性定义：定义１对于函数y=f(x),如果当|x|无限增大时,y的值无限接近于一个确定的常数A,则称此时函数y=f(x)的极限存在,A就是函数f(x)在x

时的极限.记作实际上,x

分为两种情形:x+和x.

2.1函数的极限例3观察极限的值考虑:,所以(极限不存在)(此时称极限不存在)xoy12.1函数的极限例3通过图像观察,

的值．同理有:

另外,

从反正切函数的图像可以观察到如果函数f(x)

,则称函数极限不存在,因为“

”不是一个确定的常数.x…0.90.990.999…1.0011.011.1…y…1.91.991.999…2.0012.012.1…例4

观察函数y=f(x)=x+1,在x

1时的变化趋势：可以看到,当x无限接近于1时,即x

1时,函数y=x+1的值变得越来越靠近2;从函数图像2-1变化中,同样能看到,当x

1时,函数y=x+12,因此称函数y=x+1在x

1时的极限为2,表示为二、当x

x0函数的极限图2-112oxy2.1函数的极限x1.11.011.0011.00011.00001…y2.12.012.0012.00012.00001…例5再来观察函数,在时的变化趋势：x0.90.990.9990.99990.99999…y1.91.991.9991.99991.99999…

我们看到,不论x是大于1越来越接近1,还是小于1越来越接近1,函数的值都无限地靠近2;从函数f(x)的图像2-2中也能看出,当x

1时,函数f(x)以2为极限,因此可表示为图2-212oxyo2.1函数的极限注明:1)

函数y=x+1与只是在一点x=1处的定义不同,但是它们在x

1时的极限相同,说明了极限值和函数值是不同的两个概念.2)

x=1与x

1的意义是完全不同的,前者x是在静止状态下取一个值,而后者x是在变动状态下取无数个值.

定义2

对于函数y=f(x),如果当x无限接近x0时,y的值无限接近于一个确定的常数A,则称函数f(x)在点x0处的极限存在,A是函数f(x)在x

x0时的极限,记作

2.1函数的极限例6

观察极限的值．xoy1例8

观察极限的值．y-11xO-2p-pp2py=sin

x2.1函数的极限称为x0处的左极限和右极限,统称为x0的单侧极限．

此时的极限分别x

x0的极限过程分为两种情形,x可以从两个方向x<x0和x>x0向x0趋近,通常记为和例3

讨论函数,在x

0时的左右极限.解

此时极限不存在.1yxoy=x+1y=x2-1例9

讨论函数,在x

0时的左右极限.解

所以1yxo-1y=x+1y=1

x2结论极限的充要条件是：2.1函数的极限例10

设，求解

所以不存在.1y2oy=f(x)x2.1函数的极限练一练

试求函数在x=0和x=1处的极限.

三、数列的极限

数列是指一列数按照一定规则排成的序列一个数列可以看作是一个自变量为n的函数，简记为{un},其中un称为该数列的第n项或一般项或通项．2.1函数的极限

（2）

（3）

（4）

（1）

总是取1或

1

（1）

（2）

（3）

（4）

因此数列(1),(4)是有极限,是收敛的;数列(2),(3)不存在极限,是发散的．通常数列{un}的极限存在,也称数列{un}收敛;否则,称数列{un}发散．2.1函数的极限数列的项un的变化情况：)时,观察下面数列的项越来越往后,即n越来越大(练一练

观察数列的极限情况:2.1函数的极限1.

2.

3.

4.

小结:

x

和x

x0时函数的极限，单侧极限，数列的极限.作业：P27

习题2-1无穷小量一无穷大量二无穷小量的比较三函数极限与无穷小量的关系四2.2无穷小量与无穷大量一、无穷小量如上以零为极限的变量称为无穷小量,简称无穷小．可以表述为f(x)=x2是x

0时的无穷小量；

是x

时的无穷小量等.无穷小量不能理解为是一个很小的量,它是一个趋向于零的变量．零是唯一可作为无穷小的常数.例如1.无穷小量的含义2.2无穷小量与无穷大量例１自变量x在怎样的变化过程下,下列函数为无穷小量：(1)

(2)

(3)

(4)

练一练

观察下列变量在给定的变化过程中是否为无穷小？1）

2）

3）

4）

2.2无穷小量与无穷大量(4)因为即当x

时,y=3x为无穷小.解

(1)因为

所以当x

0时,y=2x为无穷小；(2)因为即当x

时,为无穷小；(3)因为即当x4时,为无穷小；性质1

有限个无穷小的代数和是无穷小．性质2

无穷小与有界量的积仍是无穷小．性质3

有限个无穷小的积仍是无穷小．推论

常数与无穷小的积仍是无穷小．例2

求解因为所以x2是x

0时的无穷小量,又因为即为有界函数，因此仍是x

0时的无穷小量,故2.无穷小量的性质2.2无穷小量与无穷大量

二、无穷大量可以表述:是x

1时的无穷大量等.是x

0时的无穷大量,表示为,例如如上函数的极限都是无穷大,即|f(x)|无限增大,称此类函数f(x)为无穷大量

,简称无穷大

.

1.无穷大量的含义2.2无穷小量与无穷大量定理

无穷大量的倒数是无穷小量；非零无穷小量的倒数是无穷大量．如当x→1时,x

1是无穷小量,

是无穷大量.

如当x→

时,是无穷大量,

是无穷小量.其倒数

2.无穷大量与无穷小量的关系2.2无穷小量与无穷大量三、无穷小量的比较两个无穷小量之比，不一定是无穷小.

例如x

0时，

=x,

=x2和

=2x都是无穷小，

但是，，两个无穷小量之比的极限不同,反映了无穷小趋于零的速度的差异.下表中可以明显地比较出它们趋于零的快慢．

x…-0.1-0.01-0.001…0.0010.010.1…2x…-0.2-0.02-0.002…0.0020.020.2…x2…0.010.00010.000001…0.0000010.00010.01…x2趋于零的速度最快,x与2x趋于零的速度相当.2.2无穷小量与无穷大量给出无穷小量阶的比较方法：定义设某一极限过程中,

与

都是无穷小量,特别是,当C=1时,则称

和

是等价的无穷小量,记作

.(1)如果则称

是比

较高阶的无穷小量；(2)如果则称

是比

较低阶的无穷小量；(3)如果则称

和

是同阶的无穷小量，2.2无穷小量与无穷大量例3

指出下列无穷小量是同阶无穷小量、等价无穷小量还是高阶无穷小量？解(1)当x→1时，因为2.2无穷小量与无穷大量(1)当x→1时，x2

1与x

1;

(2)当x→0时，xsinx与3x.故x2

1与x

1是同阶无穷小量；(2)当x→0时，因为故xsinx是比3x高阶的无穷小量.

四、函数极限与无穷小量的关系结论

函数f(x)以常数A为极限的充分必要条件是函数f(x)与常数A的差是一个无穷小量

,即2.2无穷小量与无穷大量小结:

无穷小量，无穷小量的性质，无穷大量，无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量阶的比较.作业：P30

习题2-22.3极限的运算2.3极限的运算设在x的同一变化过程中，法则1

法则3

法则2若

(其中C为常数),则简述为:若f(x),g(x)的极限存在,则它们和差的极限等于极限的和差；乘积的极限等于极限的乘积；商的极限等于极限的商(分母的极限不为0).

极限四则运算法则：注意:一定是在函数f(x),g(x)极限都存在的情况下,才能使用上述运算法则.例1求解原式=解原式例2求例3求例5求解由于则原式=

例4求解原式=解

2.3极限的运算练习求下列极限：(1)(2)2.3极限的运算(2)原式=例6求下列极限:

解

(1)原式=(1)(2)综合例5、例6，一般此类极限的结果,只有三种:例7

求下列函数极限:（1）（2）解(1)原式=(2)原式=2.3极限的运算作业：P32

习题2-3

第一个极限公式一第二个极限公式二2.4两个极限公式当x任取趋于零的一系列数值时,计算得到的对应值:x

1

0.7

0.5

0.3

0.1

0.01…00.841470.920310.958850.985070.998330.9998…1可以看出,当x无限趋近于零时,的值无限趋近于常数1,即第一个极限公式:xxsin2.4两个极限公式一、第一个极限公式

1型2.3极限的运算例1求解原式=例2求解原式=例4求解原式=例3求解原式=2.4两个极限公式例5x

0时,比较下列各对无穷小量的阶：(1)sinx与x(2)1

cos2x与x(3)sin2x与x(4)x3

1与3x

3(1)由于则称x

0时,sinx是与x等价的无穷小量;解(2)由于

则称x

0时,sin2x是与x同阶的无穷小量.(3)由于几个常见的等阶无穷小:~~~(x

0)(x

0)(x

0)(4)由于则称x

0时,x3

1是与3x

3等价的无穷小量.2.4两个极限公式则称x

0时,1

cosx与x是比高阶的无穷小量;

数e=2.718281828459

是一个无理数,可以看出第二个极限公式:2.4两个极限公式二、第二个极限公式这个极限是一个“1

”型未定式,极限同样也是不容易确定.,考察当x

时,取值的变化,如下表所示：对于函数

110100100010000100000┄22.593742.704812.716922.718152.71827┄还可以列x

时的对应值,函数极限同样也等于e.所以例7求解原式=

2.4两个极限公式例6求例8求解原式=

上述极限结果可作为公式用.例9求解原式=

解原式=

2.4两个极限公式例11求解原式=例10求解令

,则当x0时,u,所以得(可直接作为公式用)极限和是同一个极限类型,都是“1

”型,只是表达形式不同,都可以作为公式用.作业：P36

习题2-4小结：两个极限公式及其运用.函数的连续性一函数的间断点二连续函数的运算性质三闭区间上连续函数的性质四2.5函数的连续性及性质

函数连续是指函数值的变化连贯,没有跳跃.从图形上看，就是函数图像可以一笔画出,没有断点.图(1)中,函数在x0处的值渐渐地变化,是一种连续的变化.

即当自变量在x0处变化不大,引起函数值的变化也很微小.图(2)中,函数在x0处断开,是一种间断地不连续地变化.自变量在x0附近即使变化很小,而函数的值却发生了跳跃性变化.观察下面两个函数的图像,在点x0的不同变化:

(图1)

(图2)

2.5两函数的连续性及性质函数增量也可以表示为:定义1如果自变量x从初值x0变化到终值x,对应的函数值由f(x0)变化到f(x),则称x

x0为自变量的增量,f(x)

f(x0)为函数的增量,分别记作

x,

y,即

x=x

x0,

y=f(x)

f(x0).2.5两函数的连续性及性质一、函数的连续性1.函数的增量注意:增量又称为改变量,不一定总是正的.当初值大于终值时,增量就是负的.2.函数的连续定义2如果函数y=f(x)在点x0及其附近有定义,且则称函数y=f(x)在点x0处连续.即

2.5两函数的连续性及性质图2-6中函数f(x)在点x0处连续,而图2-7中函数f(x)在点x0处不连续.因为y也可以写为y=f(x)

f(x0),所以在x0处连续也可写为.即函数在x=x0

处连续,必须满足以下三个条件:

定义3如果函数y=f(x)满足则称函数y=f(x)在点x0处连续.函数在一点处连续的定义也可叙述为：(1)函数y=f(x)在点x0及其附近有定义;(2)x0处的极限值存在；(3)x0处的极限值.2.5两函数的连续性及性质

例1

说明函数y=x2和在x=0处的连续性.

解函数y=x2,在x=0时,f(0)=0且因此,y=x2在x=0处连续；函数

在x=0时每意义,因此,

在x=0处不连续；函数在一点处单侧连续的定义:

若有或则分别称为函数y=f(x)在点x0处左连续或者右连续.

定义4

如果函数y=f(x)在(a,b)内每一点都连续,则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续.如果函数y=f(x)在(a,b)内连续,且在区间左端点x=a处右连续,右端点x=b处左连续,则称函数y=f(x)在闭区间[a,b]内连续.2.5两函数的连续性及性质结论函数y=f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数在点x0处左连续且右连续.例2说明函数在定义域内是连续的.解设x0

(

∞,+∞),因为有则函数在定义域内是连续的.例3

说明函数y=sinx在定义域内是连续的.解

则函数y=sinx在定义域内是连续的.类似可说明函数y=cosx在定义域内也是连续的.xoy1y-11xO-2p-pp2py=sin

x2.5两函数的连续性及性质设x0

(

∞,+∞),因为有二、函数的间断点解由于则由定义知f(x)在点x=0处是连续的.定义5若函数y=f(x)在点x0处不连续,则称函数y=f(x)在点x0处间断,点x0称为该函数的间断点.2.5两函数的连续性及性质例4讨论函数在点x=0处是连续的.

例5

说明函数的间断点.则点x=5是函数f(x)的间断点.解由于在x=5处,函数无定义,故在x=5处不连续,例6

设函数,讨论函数在点x=0处的连续性.解由于所以不存在则由定义知,在点x=0处f(x)是间断的.例7

设函数,讨论函数在点x=0处的连续性.解由于则函数f(x)在点

x=0处是间断的.1yxo-1oy=2xy=1

x22.5两函数的连续性及性质三、连续函数的运算性质性质2

设函数y=f(u)在点u0处连续,函数u=

(x)在点x0处连续,且u0=

(x0),则复合函数f(

(x))在点x0处连续.

性质1

设函数f(x)及g(x)在点x0处连续,则它们的和、差、积、商在点x0处也连续(对于商假定分母函数在点x0处不为0).

性质3

基本初等函数在其定义域上都是连续的.

在其定义域内都是连续的.

2.5两函数的连续性及性质

例8说明函数y=sin(1+x2)在定义域(

,+

)内是连续的.解由于y=sinu在(

,+

)内连续,而u=(1+x2)在(

,+

)内连续,

则由性质2可知,复合函数y=sin(1+x2)在定义域(

,+

)内连续.性质4

初等函数在其定义区间(指定义域内的一个区间)内是连续的.2.5两函数的连续性及性质反过来,将性质4用在极限运算上,会使计算很方便.即如果x0是初等函数F(x)定义区间内的点,那么当x

x0时,F(x)的极限就是F(x0).例8

求解

例9

求解

因为函数y=lnu在u=e处满足连续性,所以函数符号与极限符号可以交换.四、闭区间上的连续函数性质性质5

设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有界.性质6(最大值和最小值存在定理)

设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在区间[a,b]上至少存在两个点x1,x2,恒有f(x)

f(x1)和f(x)

f(x2),f(x1),f(x2)分别为函数y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,统称为最值.2.5两函数的连续性及性质如图2-8中,最大值在x=b处取得,为f(b)=B

,最小值就是f(x2)=A

.推论

设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)

f(b)<0，则在开区间(a,b)内至少存在一点x0,使f(x0)=0.2.5两函数的连续性及性质小结：函数连续性和间断点的概念，连续函数的运算性质，闭区间上连续函数的性质.作业：P39

习题2-5性质7(介值定理)设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,M和m分别为y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,则对于满足条件m≤C≤M

的任何实数C,在闭区间[a,b]上至少存在一点x0,使f(x0)=C.图2-9中,使得f(x0)=C的点有三个:x1,

x2,x3.一、基本概念理解第2章

极限与连续性小结1.函数的极限:函数y=f(x)的极限指的是,当自变量x有一个变化趋向时,函数值y的变化趋向.分为两种情形x

x0,x

.(1)无穷小量、无穷大量指的是变化中的量(特殊地,零是无穷小量)(2)无穷小量与无穷大量具有倒数关系(3)无穷小量的性质:②无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量2.无穷小量与无穷大量①有限个无穷小量的和(积)仍然是无穷小量3.函数的连续性:函数连续指的是函数值连续变化,反映在图形上,就是函数图形连贯,可以一笔画出,没有断点.函数y=f(x)在一点x0处连续性,必须同时满足以下三条:(1)函数值y=f(x0)存在;(2)极限值存在;

第2章

极限与连续性小结二、重点内容掌握1.求函数极限的常用方法：(1)利用极限的四则运算法则或函数连续性求极限；(3)利用无穷小的运算性质可以求极限；

(4)对分段函数分段点的极限,往往要分左右极限来求；(5)两个极限公式:三、相关内容了解1.无穷小量阶的比较(高阶、同阶、低阶、等价);2.闭区间上连续函数的性质;3.Mathematica的简单极限计算功能.第2章

极限与连续性小结宁夏职业技术学院高等数学基础第3章

导数与微分导数的概念3.1求导法则3.2隐函数与参数式函数的导数3.3微分及其简单应用3.4第3章导数与微分学习目标1.理解导数和微分的基本概念、导数的几何意义,会求曲线上一点处的切线方程;2.理解函数在一点处可导与连续、可导与可微的关系;3.熟记基本导数公式,掌握导数的四则运算及复合函数的求导方法,会求简单函数的二阶导数;4.了解微分法则,会求函数的微分;5.了解用Mathematica求函数的导数和微分.学习目标两个引例一导数的定义二导数的几何意义三导函数四3.1导数的概念可导与连续的关系五引例1

变速直线运动的瞬时速度若一物体做变速直线运动,其运动规律为s=s(t),求物体在任一时刻t0的瞬时速度v(t0).

由平均速度的含义:如图3-1,物体从时刻t0到时刻t时间内.当时间间隔t

t0很小时,显然的平均速度为

与在t0时刻的速度相近似.

3.1导数的概念一、两个引例设在时刻t0物体的位置为s(t0),当自变量从时刻t0到时刻t获得增量

t时(t=t0+

t),物体的位置函数s相应地也有增量

s=s(t0+

t)

s(t0)=s(t)

s(t0).3.1导数的概念显然,时间间隔|

t|越小,这小段内的平均速度就越接近物体在时刻t0的瞬时速度v(t0),由极限思想可得上式表明:物体在一点附近的平均速度的极限就是物体在该点处的瞬时速度.引例2平面曲线的切线斜率设曲线的方程为y=f(x)(图3-2).图3-2定义设点P0是曲线L上的一个定点,点P是曲线L上的动点,当点P沿曲线L趋向于点P0时,如果割线PP0的极限位置P0T存在,则称直线P0T为曲线L在点P0处的切线.3.1导数的概念图3-2中,割线P0P的的斜率为图3-2当点P沿曲线L移动并无限接近于P0点,即

x无限接近于0时,割线P0P也随之变化而无限接近于切线P0T.于是,当

x0即x

x0时,割线P0P的斜率tan

无限接近于切线P0T的斜率tan

,即

定义设函数y=f(x)在点x0