2025-2026学年上海市虹口区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市虹口区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）.1．下列各式中，是不等式的是（）A． B． C． D．2．在、、0、2、4中，能使不等式成立的的值有几个（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．如图，下列条件中，能判定的是（）A． B． C． D．4．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、5．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（）A． B．， C．， D．6．下列命题中，真命题的个数是（）①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行；④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果且，那么（填“”、“”或“”．8．不等式的解集是．9．不等式组的解集是．10．写出一个关于的一元一次不等式，使其解集在数轴上的表示如图所示．11．某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出个杯子．12．已知直线、、在同一平面内，如果，，那么直线、的位置关系是．13．如图，直线、被直线所截，如果，，那么的度数为．14．如图，平分，且，如果，那么的度数为．15．如图，在△中，是的平分线，是边上的高，如果，，那么的度数为．16．如图，4块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸．已知积木的长度均为，在不倾倒的前提下，积木①②③组合的最大延伸长度为．17．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入午间锻炼时间，小丽把它抽象成如图的数学问题：已知，，，那么的度数为．18．如图①，已知长方形纸片，，，，点、分别在边、上，．将纸片先沿折叠成图②，再沿折叠成图③，那么图③中的度数为．三、简答题（本大题共7题，第19题6分，第20题7分，第21题6分，第22题6分，第23题6分，第24题7分，第25题8分，满分46分）19．解不等式：．20．解不等式：，并在图中的数轴上表示出它的解集．21．解不等式组：，并求出这个不等式组的整数解．22．如图，点是的边上的一点．（1）过点画的平行线；（2）过点画的垂线，交于点；（3）点到直线的距离是线段的长度．23．阅读并填空：如图，，直线分别交直线、于点、，点在上，连接，，，试证明：．证明：（已知），．，．，且，．．24．阅读并填空：如图①，已知，求证：．证明：如图②，，（已作），．（已知），即，．．．25．如图，，平分，平分，．试说明：．四、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题9分，满分18分）26．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．（1）不等式的“和谐不等式”（填“是”或“不是”；（2）如果关于的不等式不是的“和谐不等式”，求的取值范围；（3）当时，关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求的取值范围．27．如图①所示，某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，已知，，且．灯发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．（1）填空：．（2）如图②，如果灯光束先转动30秒，灯光束才开始转动，在转动过程中，灯光束与交于点，灯光束与交于点，设灯转动秒．①当时，则，（用含的式子表示）；②当灯转动秒时，两灯发出的光束第一次互相平行；当灯转动秒时，两灯发出的光束第二次互相平行．（3）已知点在直线上且在点右侧，连接．如果两灯同时转动，在灯光束到达之前，两灯光束交于点，恰好是与的角平分线交点，求的度数．

参考答案一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.]1．下列各式中，是不等式的是（）A． B． C． D．解：根据不等式是用不等号，，，，连接，表示不等关系的式子判断如下：、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误；、是代数式，不表示不等关系，故此选项错误；、是等式，不符合不等式定义，故此选项错误；、是用不等号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义，故此选项正确．故选：．2．在、、0、2、4中，能使不等式成立的的值有几个（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：移项得，，合并同类项得，，在，，0，2，4中，满足的数为，0，2，4，共4个．故选：．3．如图，下列条件中，能判定的是（）A． B． C． D．解：，（内错角相等，两直线平行），故符合题意；，（内错角相等，两直线平行），故不符合题意；由，不能判定，故不符合题意；由，不能判定，故不符合题意；故选：．4．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、解：、最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意；、最长边为，，能做成三角形框架，符合题意；、最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意；、最长边为，，不能做成三角形框架，不符合题意．故选：．5．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（）A． B．， C．， D．解：根据真假命题的判定、平行线的判定与性质逐项分析判断如下：、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故不符合题意；、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故符合题意；、，，，不满足条件，不能作为反例，故不符合题意；、，不满足条件，不能作为反例，故不符合题意．故选：．6．下列命题中，真命题的个数是（）①钝角大于直角；②对顶角相等；③同位角相等，两直线平行；④如果两条直线被第三条直线所截，那么一对同旁内角的平分线互相垂直．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：根据真假命题及平行线性质、钝角、对顶角性质逐项分析判断如下：①钝角是大于且小于的角，直角为，钝角大于直角，①是真命题．②对顶角相等是对顶角的性质，②是真命题．③同位角相等，两直线平行是平行线的判定定理，③是真命题．④只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角互补，同旁内角的平分线才互相垂直，命题未说明被截的两条直线平行，④是假命题．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果且，那么（填“”、“”或“”．解：，，．故答案为：．8．不等式的解集是．解：移项得：，解得：，故答案为：9．不等式组的解集是．解：根据题意可知，不等式组的解集为：．故答案为：．10．写出一个关于的一元一次不等式（答案不唯一），使其解集在数轴上的表示如图所示．解：由数轴可知，不等式的解集为，解集是的一元一次不等式可以为（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．11．某商家以每个8元的进价购入50个杯子，并以每个12元的价格销售．一段时间后，售出杯子的销售款超过这批杯子的进货款，这时至少已售出34个杯子．解：设这时已售出个杯子，这批杯子的总进货款为元，根据题意列一元一次不等式得，，解得，为正整数，的最小值为34，故答案为：34．12．已知直线、、在同一平面内，如果，，那么直线、的位置关系是．解：，，．故答案为：．13．如图，直线、被直线所截，如果，，那么的度数为65．解：如图，，（两直线平行，同位角相等），，，故答案为：65．14．如图，平分，且，如果，那么的度数为30．解：，．，．平分，（角平分线的定义）．，．，故答案为：30．15．如图，在△中，是的平分线，是边上的高，如果，，那么的度数为15．解：，，，平分，，，，，．故答案为：15．16．如图，4块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们一块一块向上叠放并向外延伸．已知积木的长度均为，在不倾倒的前提下，积木①②③组合的最大延伸长度为22．解：根据题意，设积木长度为，①放在②上：需要满足①的重心刚好落在②右边缘，则①伸出②的最大长度为：；①②整体放在③上：需要满足①②的总重心刚好落在③右边缘，可得②伸出③的最大长度为：；①②③整体放在最下方的④上：需要满足①②③总重心刚好落在④右边缘，可得③伸出④的最大长度为：；综上所述，①②③组合的最大延伸长度为：．故答案为：22．17．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入午间锻炼时间，小丽把它抽象成如图的数学问题：已知，，，那么的度数为25．解：如图，过点作，，，，，（两直线平行，同旁内角互补），，，，故答案为：25．18．如图①，已知长方形纸片，，，，点、分别在边、上，．将纸片先沿折叠成图②，再沿折叠成图③，那么图③中的度数为120．解：图①中，，，，，图②中，由折叠可知，；图③中，由折叠可知，故答案为：120．三、简答题（本大题共7题，第19题6分，第20题7分，第21题6分，第22题6分，第23题6分，第24题7分，第25题8分，满分46分）19．解不等式：．解：，，，，．20．解不等式：，并在图中的数轴上表示出它的解集．解：由题意得，，，，，在数轴上表示如下图所示：．21．解不等式组：，并求出这个不等式组的整数解．解：，解不等式①，得，解不等式②，得，故原不等式组的解集为，所以这个不等式组的整数解为0，1．22．如图，点是的边上的一点．（1）过点画的平行线；（2）过点画的垂线，交于点；（3）点到直线的距离是线段的长度．解：（1）的平行线如图所示．（2）的垂线如图所示．（3）点到直线的距离是线段的长度．故答案为．23．阅读并填空：如图，，直线分别交直线、于点、，点在上，连接，，，试证明：．证明：（已知），．，．，且，．．【解答】证明：（已知），（两直线平行，内错角相等）（已知），．，且，．（垂线的定义），故答案为：，两直线平行，内错角相等，，2，，90，垂线的定义．24．阅读并填空：如图①，已知，求证：．证明：如图②，过点作，（已作），．（已知），即，．．．【解答】证明：如图，过点作，（已作），（两直线平行，同旁内角互补）．（已知），即．．（同旁内角互补，两直线平行）．（平行于同一条直线的两条直线平行），故答案为：过点作；两直线平行，同旁内角互补；，；180；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．25．如图，，平分，平分，．试说明：．解：平分，，平分，，，，，，．四、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题9分，满分18分）26．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．（1）不等式不是的“和谐不等式”（填“是”或“不是”；（2）如果关于的不等式不是的“和谐不等式”，求的取值范围；（3）当时，关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求的取值范围．解：（1）根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解，不等式不是的“和谐不等式”，故答案为：不是；（2）解不等式可得，解不等式得，两个不等式的公共解集中没有整数；因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数，；（3）解不等式得，解不等式得，①当，即时，则，此时两个不等式总有公共整数解，时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式”②当，即时，，不等式与不等式互为“和谐不等式”，，解得，，综上，的取值范围为：或．27．如图①所示，某江两岸的主道路、上安装了两座可旋转射灯、，已知，，且．灯发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，灯发出的光束从开始顺时针旋转至便立即回转，已知灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．（1）填空：60．（2）如图②，如果灯光束先转动30秒，灯光束才开始转动，在转动过程中，灯光束与交于点，灯光束与交于点，设灯转动秒．①当时，则，（用含的式子表示）；②当灯转动秒时，两灯发出的光束第一次互相平行；当灯转动秒时，两灯发出的光束第二次互相平行．（3）已知点在直线上且在点右侧，连接．如果两灯同时转动，在灯光束到达之前，两