2027届新高三数学热点复习 导数的概念、运算及几何意义

2027届新高三数学热点复习导数的概念、运算及几何意义

2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为______________________________________________________．剖析(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，具有唯一性．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝loga

x(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________0αxα-1cosx－sinxax

lnaex

f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．y′u·u′x【常用结论】1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．自主诊断1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(

)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(

)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)××√×2．(人教A版选修二P70练习T2)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(

)A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3)D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3)答案：A解析：由函数f(x)的图象可知，∵当x≥0时，f(x)单调递增，∴f′(1)，f′(2)，f′(3)＞0，∵随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，∴f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0.故选A.

答案：D

4．(人教A版选修二P81习题T4(2))函数f(x)＝xlnx在点(1，0)处的切线方程为____________________________________________________．x－y－1＝0解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以函数f(x)＝xlnx在点(1，0)处的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.

答案：C

答案：ACD

跟踪训练

(1)函数y＝x－cos(2x－1)的导数为(

)A．y′＝1－sin(2x－1)B．y′＝1＋sin(2x－1)C．y′＝1－2sin(2x－1)D．y′＝1＋2sin(2x－1)答案：D

解析：依题意，y′＝1＋sin(2x－1)·(2x－1)′＝1＋2sin(2x－1)．故选D.(2)若函数f(x)＝6x3－2f′(1)x，则f′(1)＝__________．6解析：f′(x)＝18x2－2f′(1)，则f′(1)＝18－2f′(1)，解得f′(1)＝6.命题点二导数的几何意义及应用考向1求切点坐标例2：已知直线y＝x是曲线f(x)＝lnx＋a的切线，则切点的坐标为(

)A．(－1，1) B．(1，1)C．(－2，1) D．(2，1)答案：B

学霸笔记：已知在某点处的切线方程(或斜率)求切点，先求导再让导数等于切线的斜率，求出切点的横坐标，再代入函数解析式求出切点的纵坐标．

答案：B

答案：A

(2)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．

学霸笔记：(1)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求过点P的切线方程的步骤．第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出在点P′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．

答案：B

(2)过点(1，6)且与曲线y＝2x3＋4相切的直线方程为(

)A．6x－y＝0B．9x－y－3＝0C．6x－y＝0或3x－2y＋9＝0D．9x－y－3＝0或3x＋2y－15＝0答案：C

考向3求参数的值或取值范围例4：(1)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________.4

(2)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_____________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)

真题探源

(源自人教A版选修二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值．

学霸笔记：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．

答案：B

答案：B

答案：C

答案：D

答案：D

答案：C

7．过点(0，－e)作函数f(x)＝xlnx的切线方程为(

)A．x－y－e＝0 B．x＋y＋e＝0C．2x－y－e＝0 D．x＋2y＋2e＝0答案：C解析：由f′(x)＝lnx＋1，设切点为(m，mlnm)，则f′(m)＝lnm＋1，所以切线方程为y－mlnm＝(1＋lnm)(x－m)，又切线过点(0，－e)，所以－e－mlnm＝(1＋lnm)(0－m)，整理得m＝e，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0.故选C.

答案：B

答案：AB

10．(2026·秦皇岛模拟)若直线y＝mx－3与曲线y＝x4＋x相切，则m的值可以为(

)A．－3 B．2C．4 D．5答案：AD

11．(2026·邯郸一模)已知函数f(x)＝x3－2x2－5x，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为________________．y＝2x＋4解析：f′(x)＝3x2－4x－5，所以切线的斜率为k＝f′(－1)＝3＋4－5＝2，f(－1)＝－1－2＋5＝2，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.12．(2026·泰安模拟)若直线y＝2x是曲线y＝ax－ln(x＋1)的切线，则a＝________．3

(2)求过点(0，0)的曲线y＝f(x)的切线方程．

14．(15分)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

15．(5分)(2026·广州模拟)过点P(t，－2t)作曲线y＝－2x3的切线，若切线有3条，则t的取值范围是(

)A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案：A

16．(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x2)＝f(x1x2)，且当x>0时，f(x)>0.若f(2)＝f′(2)＝3，则f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为___________．2x＋y＋1＝0解析：因为f(2)＝3，所以f(2)f(x)＝f(2x)，即3f(x)＝f(2x)．令x＝