北京某中学2025-2026学年高一年级下册期中练习数学试卷（含答案）

北京交通大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试卷

一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。

1.cos72°cos120+sin72°sin12°=(

A.--B.\V.------D也

2222

2.已知角。的终边经过点尸贝Usina-cosa=（）

D.正

A.-1B.1

55

3.已知扇形的弧长为1,面积为2,则该扇形的圆心角(正角)的弧度为()

A.iB.!C.2D.4

42

4.已知向量满足口=。|=2,4不=-2,则的夹角0=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.为了得到函数y=8s(3x-1)的图像，只需将y二sin3x的图像()

A.向右平移占个单位长度B.向右平移工个单位长度

1818

C.向左平移2个单位长度D.向左平移工个单位长度

1818

6.已知平面向量方=(举一现了二(1.2)，若7i\L了，贝“下一了卜()

A.2B.2\/2C.3D.^/10

7T7T

7.“c不，―人€Z”是“tiiiia—c)”的()

h3

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知函数/打)=泗而(5+°)+从/>0,0>0,悯<外的部分图象如图所示，则下列结论正确的有()

z)

第1页，共10页

①/（X）关于点噂，3对称;

16J

②’（力关于直线x=g对称；

③/⑺在区间［，到上单调递减;

④/（x）在区间［L）上的值域为（1,3）,

A.I个B.2个C.3个D.4个

9.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合

音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）

A.y=sinx+—sin2x+-sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

2323

1rle1rle

C.y=sinx+-coszx+-cos3xD.y=cosx+—coszx+-cos3x

23

10.如图,在等腰直角三角形/BC中,斜边/C=2，A/为线段48上的动点（包含端点），。为力。的

中点.将线段力。绕着点。旋转得到线段斯，则斯.指的最小值为（）

C.-1D.一一

2

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2sina-3cosa

11.已知tana=3,则

4sina-9cosa

第2页，共10页

12.已知向量2g,d在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则（3+分）七=.

13.函数丁=\/3sinx-2cos2x的定义域为-

14.已知函数/（X）=\/5sina）x,g（x）=0cos0x,其中①>0,A,B,C是这两个函数图象的交点，且不

共线.

①当（o=l时，△XB。面积的最小值为；

②若存在△48C是等腰直角三角形，则s的最小值为.

15.已知函数/（口=孚匕，给出下列四个结论：

x-3x

①/（x）存在无数个零点；

②区间（去2）是/（x）的单调区间；

③/（x）在（3,欣）上无最大值；

④若“2025）=。，则/（-2022）二〃

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题10分）

已知圆O是单位圆，锐角。的终边与圆O相交于点,将射线O尸绕点。按逆时针方向旋转。后与

单位圆相交于点儿

⑴求利的值;

(2)求cos(-a兀-a）的值;

\f7\

（3）记点〃的横坐标为/（。），若，求sin0--71+cos。+三的值.

I3jJI6J

17.（本小题15分）

已知函数/(x)=^sin2x-^cos2x

第3页，共10页

⑴用“五点法”画函数/(X)在一个周期内的图象，其中7>7n

66

⑵求/(X)的单调递减区间;

(3)当xe定时，求函数/(x)的最值及取得最值时x的值.

18.(本小题15分)

已知函数/(x)=sin(<yx+0)L>O,闸，工=当是函数/(x)H勺对称轴，且/(x)在区间上单调.

12/6\o37

(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得/(%)的解析式存在，并求出其解折式；

条件①：函数/(x)的图象经过点力(0,g

条件②：停，°)是/(x)的对称中心；

条件③:信，。卜小)的对称中心.

(2)根据(1)中确定/(x),若函数/(x)在［0,向上有唯一零点，求加的取值范围.

19.(本小题15分)

在天文学中，变星是指亮度会随时间变化的恒星，天文学家常用“视星等”来描述恒星的亮度.造父变星是

一类“视星等”随时间/呈周期性连续变化的变星，其“视星等”小(/)随时间，的变化可近似地用函数

〃W)儿行〃(申/I6+〃来表示，其中/为振幅，7为光变周期,8为平均“视星等”，(p为初相且

一个天文学团队于每晚20：00记录某颗造父变星的“视星等”，设第一次记录时间为-0.下表为连续10

次的记录数据：

观测时间/0123456789

“视星等”m⑺4.55()4.53.53.()3.54.55.04.53.5

根据该天文学团队的记录数据，回答下列问题：

(1)求该造父变星的光变周期7和平均“视星等”B；

(2)求片3.5时该造父变星的“视星等”；

(3)已知“视星等”数值越小，凫度越大.若变星在具一个光变周期内“视星等”不高于3.2的时间能够达

第4页，共10页

到该光变周期的6及以匕则该天文学团队便将这颗变星的亮度视为“合格”，据此判断该造父变星的亮

度是否“合格”，并说明理由.

20.(本小题20分)

对于定义在A上的函数/(1)和正实数了若对任意工€〃，有〃N+T)-/(Z)=T,则/(I)为T-阶梯函数.

(1)分别判断下列函数是否为1一阶梯函数(直接写出结论)：

①f(1)=x2；

②f(z)=N+1.

(2)若/")=丁+sine为了一阶梯函数，求T的所有可能取值；

\T

(3)已知/(0为T-阶梯函数，满足：/(0在-,T上单调递减，且对任意ZW/L有

f(T-x)-f(x)=T-2c.若函数F(x)=f(x)-ax-b有无穷多个零点,记其中正的零点从小到大依次为

3,%%•••：若。=1时，证明：存在，£/?,使得FQ)在［0.2023T］上有4046个零点，且

=叫046-3045.

X2-Xi=X3-X2=--

第5页，共10页

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】1

12.【答案】-2

13.【答案】?+2亿§+2k7i,AwZ

66

7T

14.【答案】2兀；2

15.【答案】①©

16.【答案】解:(1)因为圆O是单位圆，锐角。的终边与圆。相交于点P号m,

所以cosa=

2

2

所以m=sina=Jl-cos2a=Jl-J

2=2

(2)原式=85。一石§桁。+3$山。=地一正+3=2

2222

(3)由(1)知，sincr=—,且a为锐角,

2

71

所以a=E,/(〃)COS〃/1十一二

6I6J3

所以sin6—47t1+cos^+—7TI|=sin^+—|+cos6+四n+兀

I3/I6JI62J6

71cn712

=-COS(/(J1+-l-cos(nJ+—=-2rcosIn(J+—=-

6J663

第6页，共io页

17.【答案】解：(1)因为/(x)=；sin2x-李CC兀,当xe二,3时，2》-屋［0,2兀］,

cos2x=sin2x——

3_66J3

jrjr5jr

令2x—2分别取o，2,兀，把，2m

322

当2x-四=0时，x=~,J=0：

36

“-7C7T.।57ci

12x—=一时r，x=—,y=\*

3212

当2x一工=兀时，x=­,y=0；

33

当2x-三=2兀时，x=—,y=0；

36

填表如下：

71兀2n兀

X51In7

6123126

_7Tn3兀

2x——0兀2n

32~2

y010-10

描点、连线，得图如下:

(2)由正弦函数的性质可知，当2%兀+142%-(42历［+与(AwZ)时，函数单调递减,

所以2碗+四+'42工42阮+至+工，解得加+型4x4加+业，

23231212

所以/(x)的单调递减区间为h得，痴+皆(％").

一、，「兀~\Ji「2兀5%

(3)因为xe—,71,所以2X-Q£—>

X*JJJ

.-71r,l2兀5兀

令7=2x——，则/€—，

3L33J

因为函数丁=3皿在区间半当上单调递减，在区间上单调递增，

乙乙乙乙

第7页，共10页

.3兀i

所以在区间J:^=sm—=-1

JJM

又当时，sin/=sin—=—：

332

当，=当时，sin/=sin—=;

332

所以正，即_1«/(力《走，

22

所以当2工一三二午时，即当x=1时，/(x)取得最大值日;

当"-色=与时，即当x=詈时，/(力取得最小值一1.

时，函数/(X)的最大值为日，此时K=］；最小值为一1，此时工=岩.

所以当y,7l

18.【答案】解：(1)因为/(x)在区间上单调，所以《之”一^二：

\63y2362

因为丁二而，且/＞0，解得0＜0«2；

又因为x=E是函数/(x)的对称轴，所以色X0+°=E+N(ZGZ)；

662

选条件①：因为函数/(x)的图象经过点力((),；)，所以sin0=；,

因为lelvL所以°二四，所以四X0+N=E+±(AGZ),即①=6A+2(AEZ),

26662

当上=0时，(0=2,满足题意，故/(x)=sin(2x+£.

选条件②：因为(三,0)是/(x)的对称中心，所以4xo+0=m(mEZ),

n.n

—xa)+(p=kit+—

62

所以＜0＜。＜2,(k,mwZ),此方程无解，故条件②无法解出满足题意的函数解析式.

71

—xa)+(/)=nrjt

选条件③：因为(称,o］是/(X)的对称中心，所以把X0+°=/M/€Z卜

n,n

—X(O+(p=KJt+~

71

(D=—T71l

所以0<a)<2,(k,teZ),解得•w6,所以/(x)=sin2x+：.

6J

5na)=2

—xa)+(p-tn

(2)由(1)知/(x)=sin2x+—,

I6J

第8页，共10页

兀n

rt]XG[O,/n],得2%+丁£6^+6'

6

要使函数/（X）在［0,加］上有唯一零点,

5兀II兀

则算V2加+色＜2兀，—<m<----,

61212

所以加的取值范围是当，坐.

［1212；

19.【答案】T=6,8=4迫+|合格

2

20.【答案】解：(1)〃工)=工2,则〃/+1)/")"+1)2/2/+1/I;

/(工)=工+1,则f(l+1)-f(T)=工+1-工=1,

故①否：②是.

(2)因为“X)为7'-阶梯函数，所以对仟意/£/?有：

/(n+T)—f(x)=[k+T+sin任+T)]—(/+sinn)=sin(ar4-T)-siiiJ+/.

所以，对任意『€R,sin(J•/isin./,

因为y>iiir是最小正周期为2兀的周期函数，

又因为7>(),所以T2"，k€AT，.

(3)函数F")/(/)J-b,则有：

F(r+T)=/(z+T)-(i+T)-fc=/(x)+T-(i+T)-b=f(r)-i-b=F(z),

F(r・/)/(T-/)-(T-jr)-6-f(x)+T--(T-JT)-6-/(J)-z-6/(/).

取!，/(苧)-苧，则有：

「(苧」(弁鲁…，呼…⑺])/苧。，