数列与概率综合问题、数列与圆锥曲线综合问题-2026届高三数学专项训练（学生版）

题型一数列与概率综合问题

1.（2026•陕西咸阳•一模）某无人机执行飞行挑战任务，规则如二：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任

务都执行失败，则挑战结束:每一个阶段系统随机分配一个诋空任务或高空任务,分配到低空任务的概

率为4，分配到高空任务的概率为T.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为兴和

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4•，旦各阶段任务完成情况相互独立.

（1）求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率；

（2）记£为该无人机在执行完第九个阶段任务后,整个挑战还未结束的概率.

①求E，R；

②证明：数列｛£｝单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第71个阶段任务后，当时，系

统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务？

2.(2026•河北•模拟预测)篮球是以手为中心的身体对抗性体育运动，篮球控球能力对球员的场上表现有直

接影响.某教练4指导三名学员进行篮球控球训练，训练开始时篮球在教练H手里，由教练

力进行控球示范，1分钟后等可能地传给学员B,C,。其中一人,学员控球训练1分钟后，将球传出，传

给教练A的概率为:，传给另外两名学员的概率均为暂，篮球在四人之间传递.

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(1)若四人进行了3次传球，求教练A控球2次的概率.

(2)设4,着分别表示第九次传球后由A,8控球的概率.

(i)求4的表达式及其最大值；

⑹若数列卜・卜一竽|｝的前几项和为Tn,求Tn.

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3.(2026•湖北•模拟预测)某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现己知刘翔同学每

次投篮投中的概率为弓，投不中的概率为十.为激励学生运动的积极性，规定:投中一次得2分,投不中

得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分.

⑴若投篮2次，最终得分为X,求随机变量X的分布列和期望；

(2)设最终得分为"的概率为证明：数列｛R+LR｝为等比数列，并求数列｛R｝的通项公式.

4.(2026•广东茂名•一模)已知甲、乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作:从这两个盒子

中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第九次操作后甲盒中白球的个数记为Xn,a.=

尸(Xn=l),bn=P(X0=2).

⑴求Q”bi；

⑵证明：｛4一《■｝是等比数列；

(3)求X，的数学期望.

5.（2025•云南•一模）大模型训练热潮推动了人工智能技术的快速发展，使其在自然语言处理、计算机视觉、

语音识别等多个领域取得了显著的成果，并在经济、法律、社会等众多领域展现出了巨大的应用潜力.

某人工智能研发团队的甲、乙、丙三个小组分别对同一模型开展检测，各小组检测按多个阶段依次进行

测试:第一阶段测试通过的概率为4•，从第二阶段开始，若前一阶段测试通过，则当前阶段测试通过的概

率为p（其中4V0V1，体现模型经优化后测试通过率的提升趋势）；若前一阶段测试未通过，则当前阶

段测试通过的概率仍为义•（视为小组调整参数后归基础测试水平）.4表示“第k阶段测试通过”.

⑴若P=S，求P（4）,P（4）：

（2）若各组检测结果相互独立，且仅对第一、二阶段进行检测，求甲、乙、丙三个小组检测后，恰有两个小

组检测通过了1个阶段测试的概率：

⑶设册=尸（4），证明：对任意正整数九，均有如一马厂《

3-2p2（3-2p）n

G.(25-26高三上•云南昭通•月考)某工厂一台自动加工机器有两种状态:正常和故障.每小时初检查机器

状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修.机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时

后故障的概率为0.2,故障时有两种检修方案:方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9,费用为9元/

小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6,费用为6元/小时.若1小时内无法修复，则下1小

时继续采用同样的检修方案.机器正常工作1小时可收益10元.各小时机器状态是否正常相互独立.

(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；

(2)假设机器初始状态为故隙,并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益X的分布列和数学期望；

(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修,记九小时后(九＞1)机器正常的概率为2,求£并

十算n个小时的累计期望收益E(Y).

7.(24-25高二下♦湖北省直辖县级单位♦期末)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性,某中学需要了

解性别因素是杳对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：

锻炼

性别

不经常经常

女生4060

男生2080

⑴依据。=0.010的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

⑵为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活

力的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和

丙的概率分别为J和春，乙传给甲和丙的概率分别为;和;，丙传给甲和乙的概率分别为弓和

334433

求第九次传球后球在乙手中的暇率；

⑶记第i次传球时，乙接到球的次数为匕，则匕服从两点分布，且P(K=1)=P“匕)==1,

2、…，力，设前九次传球后，乙接到球的总次数为匕且石(丫)&?+加总成立，求实数mH勺最小值.

附.y2n(ad—bc)"

•(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0100.0050.001

Ra6.6357.87910.828

q..................

8.(24-25高二下•安徽合肥•月考)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈・马尔

科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第九+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第九一

l:n-2,n-3,…次的状态无关，即P(X0+」…,X吁2,XnT,X/=P(Xn+JX,J.已知甲、乙两个盒子中都

装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个

盒子中，重复九5EN・)次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为X”，甲盒中恰有2个黑球的概率为

P.，甲盒中恰有3个黑球的概率为qn.

⑴求Pi，彷；

(2)证明：WnEN”,都有p“+2册=1；

(3)求X,的数学期望.

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意型二数列与u俸曲线球台问题

9.（25-26高二上•宁夏中卫•期末）已知点A（O,1）和3（李，字）是椭圆C,+，=1（。>04>0）上

的两个点.

（1）求。的方程；

（2）过点（0,n）（n^6,nEN*）作C的切线，切点为，求数列｛yn｝的通项公式.

10.（25—26高二上・湖南永州・期末）抛物线。：婿=2*（0>0）上有一系列点尸"孙幼）,2（如他），…反包,

%），…，对于所有正整数九，以点耳为圆心的圆R与U轴相切，且圆2与圆2+i又彼此外切.已知幼=

2,点R到C的准线的距离为2,0<yn+1<防，记圆Pn的面积为Sn.

（1）求。的方程；

（2）证明:数列｛十｝是等差数列：

（3）设%=小标-1）图+1,判断数列｛%｝中是否存在互不相同的三项构成等比数列，请说明理由.

11.(25-26高二上•广西南宁•期末)已知双曲线。％2一才=1,直线/是。的斜率为正数的渐近线，A为c

的右顶点，过为作2轴的垂线，交，于点5,再过场作U轴的垂线，交。的右支于点A,；过4作4轴的

雍线，交Z于点丹2,再过3作沙轴的垂线，交。的右支于点A?；依此类推，重复以上操作得到A,，A5,…，

4,…，记4”(4,协3

⑴求4,4,4的坐标；

(2)求证:数列｛元｝是等差数列；

⑶以A(i=L2,…)为切点作。的切线分别交。的两条渐近线于点M、N，记％=MN|，b,=

JQ:+4

［x］表示不超过实数2的最大整数,求［£几］.

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12.（25-26高三上•辽宁•期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在y轴上,它的虚轴长为2①漓

心率为《，直线I与双曲线交于46两点,与渐近线交于M,N两点（点4M在第一象限，点B,

N在第二象限）.

（1）求双曲线C的方程；

⑵若点M的横坐标为2,在线段AB上取一点Q,且满足|AM|.|QB|=|AQ|.|M8],判断点Q是否总

在某条定直线上，若定直线存在,求出直线方程，若不存在，说明理由；

（3）已知双曲线上点尸（疯,」一），0尸与，即f（0,3）,n・N+，在点P处作双曲线的切线交C的

渐近线于E,G两点，旦|0研+|06|2=3（"「勾），数列｛85%｝的前n项和为S”求证：普•

<S<ln[（n+l）!].

/On

13.(25-26高三上•云南昆明•月考)已知点4)(的,4)是抛物线C：y2=2PMp>0)上一点，点尸(0,-4),

|^40|=4A/5.

(1)求4的坐标和抛物线。的方程；

(2)连接4P交。于另一点5”令4为3。关于X轴的对称点,连接AXP交。于另一点B],令A2为8关

于2轴的对称点……，如此不断循环，即连接4P交。于另一点以，令为以关于c轴的对称点，得

到点列An和Bn，设4E，u”)，"=0,1,2….

⑴证明：数列1为等差数列；

8

(ii)记四边形44+1旦中瓦的面积为Sri,求S”并证明：V9.

n=0

............即

14.(25-26高二上•浙江嘉兴•期末)己知双曲线C：炉一=1,点R(l,O),k为常数且k>0.按照如下方

4

式依次构造点2m=2,3,…):过点Hl作斜率为k的直线与。的左支交于点Q-,令e为Qki关于沙

轴的对称点，记R的坐标为(4，%).

(1)求k的取值范围；

(2)若k=1,求数列｛20+拓｝的通项公式；

⑶记Mn为直线RK+2与直线Q,典+1的交点，M为直线PQn与直线Qn+iE+2的交点，上为直线MnNn

与直线上+&“+］的交点，证明：点R”在定直线上，并求出该定直线的方程.

15.(25—26高二上•山东荷泽•月考)若点力，石是曲线C上相异的两点，且直线AZ?的斜率为k,则称点A,

B是C(k)斜率相关的.已知抛物