上海市松江区2025-2026学年高三总复习阶段模拟数学练习（试卷+解析）

松江区2025学年高三总复习阶段模拟练习

高二数学

（满分150分，完卷时间120分钟）

2026.04

学生注意：

1.本练习设练习卷和答题纸两部分，练习卷包括题目与答题要求，所有答题必须涂（选择

题）或写（非选择题）在答题纸上，做在练习卷上一律不得分.

2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和学生编号.

3.答题纸与练习卷在题目编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）

1,己知集合”={小网，B={-l,0,l,2},则ACB等于.

2.不等式|3一.<1的解集为.

3.已知复数z满足（1+I）N=1T（其中i虚数单位），则zS=.

4.已知抛物线V=2»（P>°）的准线恰好平分圆（X+2）〜+（3'+1）,T的周长，则该抛物线的焦点坐标

为.

5.若。、人都是单位向量，ab=4,则向量〃与。一力的夹角大小为.

6.已知等比数列{"/前〃项和为3,且生=3必=81若S〃=40,则〃=

3'-a,x>0

/W=,flYn

7.已知函数13J为奇函数，则。+〃的值为.

26

8若。一2x）6=a0+a}x+a2x+…+a6x则ax+2a2+3%++6%=

9.已知函数y=l°g"（x+2）+l（">°旦awl）的图像过定点（s，。，正熨数切、〃满足八一3=1,则

13

—+一

机〃的最小值为.

10.在四棱柱“BS—AMGR中，底面A8C。为平行四边形，1*4卜2,异面直线A4与B。的夹角为

2__一一一

arccos—,AD-DC-AB-BC=4\BD\

5ii,则I'I

11.如图，某公园划出一块平整的三角形草地4BC,在边BC上设置一个观景点D,点。到顶点C的距离

为2百米，AO平分N3AC,边,48和A。的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地A8C的边安装一圈灯

带，则该灯带的长度为百米.

时记号max{〃,"表示久〃中取较大数,如max{l，2}=2在平面直角坐标系中，定义

d（A5）=max{kf|,回一必|}为两点从（再,升）、Ww，%）的“切比雪夫距离”.已知点。为坐标原

点，点c在圆（xT）2+（y-D2=l上，点A在直线3x+4）-10=0上，则d（C,A）+d（C,。）的最小值

为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13・14题每题4分，第15・16题每题5分）每题

有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.若实数久。满足/>〃，则下列不等式恒成立的是（）

A.a>b>0B.a>O>h

C.a>\b\D.同>网

14.一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄、蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一

次取到红球”为事件4,“第二次取到黄球”为事件。，则（）

A.A,8相互独立B.P⑻二;

C.P（A\B）=^D.尸（•）二（

15.在平面直角坐标系中，如果将函数y=/（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转。弧度后，所得曲线仍然

是某个函数的图象，那么称函数y=/（x）为旋转函数”.若函数y=为“彳旋转函数”，则〃的值

为（）

A.-1B.0C.1D.2

17

16.已知数列也}满足《川=2。；-1（〃为正整数），关于数列{叫有以下两个命题：①若

8

;②若则J的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.两个都是真命题D.两个都是假命题

三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.在如图所示的多面体中，已知四边形ABC。是菱形，ZA3C=60,E4_L平面A5CZ),ED_L平面

48。。,48=幺=2瓦＞=2,点6为线段人户的中点.

(1)求证：平面用X；〃平面C£F；

(2)求直线与平面BZX；所成角正弦值.

18.已知函数y=的表达式为〃力=^sin2x+cos2x.

(1)若将函数)，=/(x)的图像向右平移。(。＞0)个单位长度，得到函数y=g(x)的图像关于直线

7T

工二一对称，求。的最小值；

6

/\

(2)若函数y=/(x)在区间一V上恰有2个极值点和2个零点，求实数〃?的取值范围.

IIN/

19.质监部门从某超市销佻的甲、乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如

(I)写出频率分布直方图(甲)中。值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为

s)s3试比较“与魔的大小(只要求写出结果)；

(2)在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40

的概率;

(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(〃,/).其中〃近似为样

本平均教元。2近似为样本方差§2,现从乙种食用油中随机抽取io桶，设X表示质量指标值位于

(26.50,38.45)的桶数，求X的数学期望.(结果保留两位小数)

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若Z〜则

-cr<Z<p+cr)=0.6826,-2cr<Z<//+2b)=0.9545.

22

20.已知椭圆「：：+5=l(a>0)的左焦点为/(一1,0),过点Q(~4,0)作斜率不为0的直线/与椭圆「

交于M,N两点.

(1)求椭圆「的肉心率；

(2)设直线MF、N”的斜率分别为勺,白，求仁+网的值；

(3)若点七满足|&0|=|觊|日即|,点。在椭圆上，MDlx轴，探究直线E尸与直线。。的斜率之枳

是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.

21.若函数)，=用(力、)，="(可在区间/上满足/(“归"(工)，则称函数丁="(工)为旷="(工)在区

间/上的绝对值上界函数.设定义在R上的函数y=/(%)、y=g(x)的导数为y=r(x)、y=g'(x).

(1)判断函数丁=X是不是函数y=sinx在区间［0,可上的绝对值上界函数，并说明理由：

⑵若函数y=g'(x)为y=/'(x)在R上的绝对值上界函数，求证：对任意人>0,都有

"(x+.)-〃x)Hg(x+.)-g(x)；

⑶若函数)，=g'(x)为)，=r(x)在R卜的绝对值卜界函数，实数满足

g(x)min=g(a)=〃a)，g(x)3=g(b)=f(b)，确定/(%)，g(%)在％eR时的大小关系

(名(力刀、g⑸皿分别表示函数y=g(x)的最小值和最大值)

松江区2025学年高三总复习阶段模拟练习

高二数学

（满分150分，完卷时间120分钟）

2026.04

学生注意：

1.本练习设练习卷和答题纸两部分，练习卷包括题目与答题要求，所有答题必须涂（选择

题）或写（非选择题）在答题纸上，做在练习卷上一律不得分.

2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和学生编号.

3.答题纸与练习卷在题目编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）

1,己知集合”={小网，B={-l,0,l,2},则ACB等于.

【答案】{1,2}

【解析】

【详解】试题分析:AnB={x|x>0}n{-l,0,l,2}={l,2}

考点：集合运算

【方法点睛】

1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数

集、点集还是其他的集合.

2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解.

3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用

Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

2.不等式|3-鹏<1的解集为.

【答案】（2,4）

【解析】

【详解】|3-^|<1<=>-1<3-%<1,解得2Vx<4,

所以不等式|3-戈|<1的解集为（2,4）.

3.已知好数z满足（l+i>z=l-i（其中i为虚数单位），则z0=________.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得z=—i，得到W=i，进而得到答案.

【详解】由复数Z满足(l+i)・z=l-i,可得z=B=(1:1)=a=—i,

\7l+i(l+i)(l-i)2

则z=i,所以z•z=—i•i=—i2=1

4.己知抛物线V=2px(〃>0)的准线恰好平分圆(x+2)2+(y+l)2=1的周长，则该抛物线的焦点坐标

为.

【答案】(2,0)

【解析】

【分析】根据抛物线的准线经过圆心求出〃值，进而求出抛物线的焦点坐标.

【详解】因为抛物线)a=2px(p>0)的准线恰好平分圆*+2f+(y+1)2二1的周长，

即直线x=经过圆心(-2,-1),所以—2二—

解得〃=4,所以抛物线方程为V=8二

所以该抛物线的焦点坐标为(2,0).

5.若以〃都是单位向量，6/•/?=(),则向量〃与的夹角大小为.

【答案】毛

4

U针斤】

【详解】。力都是单位向量，故问=网=1,且a)=O，

设夹角为。，<9e[O,7i],

b--b^=ab-b=0-1?=-1,

J-/?|=^-/?|2-2d-b+\l^=Jl-0+1=0，

b\d-b]_7_6

cos0—।,|।r-7=-z-»

lxV22

37r

又8e[(),7t],故。二:.

6.己知等比数列｛q｝的前〃项和为S”，且6=3,%=81.若S”=40,贝ij〃=

【答案】4

【解析】

【分析】由题意列方程求出等比数列｛《,｝的公比，再根据前〃项和求解，即得答案.

【详解】设等比数列｛q｝的公比为小由%=3，%=81，得。闻=3,〃“4=81,

则q'=27,:.q=3,则4=1,

由s”=40得1x(1-3")=40,解得〃=4,

1-3

故答案为：4

r-ayx>0

7.已知函数/(x)=,fn为奇函数,则a+b的值为.

,x<0

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，得到/(0)=0,求得〃=1,再由/(-1)二一/(1),求得〃=1,即可求解.

3v-a,x>0

【详解】由函数/")=,f为奇函数，可得/(0)=0,即3°-〃=0,解得々=1，

"一尻，九<0

又由/(-1)二一/(1)，可得人一(］尸二一(3「1),即8—3=-2.解得〃=1,

3T-l,x>0

当〃=11=1时，函数/(x)=<1Y，

-,x<0

3j

当工>0时，r<0,/(—x)=l—3'=—(3'—1)=—/(x),

当工<0时，-x>0,/(-x)=3A-1=-(l-3')=-/(x),且/(0)=0,

所以函数y=/(x)为奇函数，符合题意，所以。+〃=1+1=2.

626

8.若(3-2.v)=a(}+a}x+a2x++a6x,则q+2a2+36++6a6=

【答案】-12

【解析】

【详解】将原式左右两侧同时求导，得一12(3-2工)'=4+2。2工+3+6〃6/，

令上=1,则4+2/+3。3+—+6。6=-12.

9.已知函数y=log”(x+2)+l(〃>0且。*1)的图像过定点(sj),正实数小、〃满足〃，一/3=1,则

13

一十二的最小值为.

tnn

【答案】4+2月

【解析】

【分析】由对数函数性质确定s=-l,/=1,进而得到加+〃=1,再结合基本不等式即可求解.

【详解】当x+2=l时，y=l,所以函数y=log〃(x+2)+l的图象过定点(一1,1),

所以5=—1,r=1,代入“一"75=1得机+〃=1.

所以工+3=(m+〃)(工+3]=1+2+如+324+2、^^=4+26，

mn\mn)mn、mn

当且仅当二=网时等号成立，即〃2=正1,〃=三叵时等号成立.

mn22

10.在四棱柱ABCO-A/iGQ中，底面A8CQ为平行四边形，|明卜2,异面直线AA与B。的夹角为

2__________.---

arccos-.ADDQ-ABBQ=4,则叫=.

【答案】a

【解析】

【分析】利用向量的运算法则将已知条件进行转化，进而求出|B"|.

【详解】在四棱柱ABCO-AKGR中，DC,=DC+CQ=AB+A4,,BQ=BC+CC,=AD+A4,.

则AZ>DC,-ABBC\=AI>^AB+AA^-AB^AD+AA^.

根据向量乘法分配律展开可得：

AD-AB+AD-AA,-ABAD-ABAA,=M>AA,-ABAA,=卜。-48}照.

因为AD-AB=BD，所以(AD-AB}AA|=B7>M.

已知A/>OG—A83G=4,即B7>A4]=4.

又已知异面直线441与的夹角为arccos',且%A=2,

2

设8。与夹角为。，贝i」cose=《・

根据向量点积公式。力=同忖8§6,可得8DA4=|BD||AA|cos6>,

9.

即4=BDx2x-,解得BD=5.

因为BD】=BD+DR=BD+A4,,根据向量模长公式可得

幽*=(80+A41y=5+2BD1AA.+AA^.

将==|A4(|=代入上式可得忸£>『=5?+2x4+2?=25+8+4=37.

11.如图，某公园划出一块平整的三角形草地48C,在边8C上设置一个观景点。，点。到顶点C的距离

为2百米，A。平分N7MC,边AB和A。的长度都为3百米.现需要沿着三角形草地48C的边安装一圈灯

带，则该灯带的长度为__________百米.

【解析】

【分析】设AC=x,8Z)=)，，由角平分线定理以及cosNAZ)8+cosNADC=0列方程组求解即可.

【详解】设AC=x,8O=>,

由角平分线定理得，空=空，即3==，得w=6,

ACCDx2

因为NAO3+Z4OC=7t,

心+。力2一4。2

所UK以I，IcosN/AcDnB+cos//AADC--------+--B--D--"--—--A--B--

2ADBD2ADCD

9+V—99+4-x2*=。

+-------

6y12

得13--+2>=0,则1_13工一12=0，则(x+l)(x+3)(x—4)=0,

出.3

得工=4,y=—,

2

则该灯带的长度为AB+AC+8C=3+X+)，+2=4.

2

12.记号max{〃,〃}表示《人中取较大的数，如max{l,2}=2.在平面直角坐标系中，定义

d（A0=max{k72|，|X72|}为两点A（X，X）、网苍,为）的“切比雪夫距离”.已知点。为坐标原

点，点。在圆（工一1）2+（），-1）2=1上，点A在直线力+4），-10二0上，则d（C,A）+d（C,。）的最小值

为.

.一、10

【答案】—

7

【解析】

【分析】先利用几何直观判断4（C,4）取最小值的情形，再结合d（C,O）构造出需要优化的目标函数，最

后通过分类讨论得到最小值.

【详解】设点C（x,y）,与点。的切比雪夫距离为R的点构成了一个以点C为中心，边长为2R的正方

形，

要让R最小，直线应经过正方形的右上角或左下角，即（大一兄旷一/?）或（戈+凡）'+/?）,

代入直线方程可得3（%一/?）+4（）―/?）-10=0或3（/+/?）+4（），+/?）—10=0,

于是有/Ln」3x+4yT0|,即d（c,A）的最小值为国十分-10],

3I/

由圆的圆心为（1,1）且半径为1可知圆在第一象限，所以有xN0,yN。，

则d（C,O）=max1|x-0|,|y-0|}=max{x,y},

3X+4＞，10

因此需要优化的目标函数为/（x,y）=l-l+max{x,v},下面分类讨论，

当3x+4y小。且x二y时，小,）,）二回3^），…[0+4尸）吟,

当3x+4yW10且xWy时，/（几）,）=1°-3一分+10+3（）-%）之3

八〃777

即当3x+4y410时/（x,y）>y,当且仅当％=7时取等号,

当工=丁时，联立工=丁和圆的方程得到（％-1『+（/-1）2=1,解得工=），二1±¥，

取较小的一组解x=y=l—也在行验算得3工+4），=7（1-*]<10,

符合前提条件;

22

当3x+4y>10时，xV与和与不可能同时成立（否则3/+4y<3、与+4乂9=10）,

因此必定有max{x,>'}>y,所以/（x,y）=标+?+max{x,y}>0+y=y

综上所述，/（乂y）的最小值也即〃（C4）+〃（CO）的最小值为y.

目标函数优化问题•定要注意计算出来的最值能否取得.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13・14题每题4分，第15・16题每题5分）每题

有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.

13.若实数久人满足/>〃，则下列不等式恒成立的是（）

A.a>b>0B.a>0>b

C.a>\b\D.同>同

【答案】D

【解析】

【详解】对于ABC,当。=-2/=-1时，满足〃2>/，此时4V〃<0,a<\b\,故A错误，B错误，C

错误；

对于D,因为/。时>网，故口正确.

14.一个袋中有大小与质地完全相同的红、黄、蓝三个球，从袋中依次随机不放回地摸出两个球，记“第一

次取到红球”为事件4,“第二次取到黄球”为事件则（）

A.A,8相互独立B.P（B）=；

C.P（A|B）=gD.P（A）=^

【答案】c

【解析】

【分析[根据给定条件，利用相互独立事件的定义判断A；利用条件概率公式，结合古典概率计算判断BCD.

【详解】对于A,P（A）=LP（B）=!，P（A8）=LP（AB）WP（A）P（3）,A,B不独立,A错误;

336

,、211

对于B,P（^）=-x-=-,B错误；

/\111P(AB}£1

对于C,====C正确;

326।2

3

对于D,P（4）=：,则P（%）=[,D错误.

15.在平面直角坐标系中，如果将函数y=/（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转。弧度后，所得曲线仍然

是某个函数的图象，那么称函数y=/（x）为“0旋转函数”.若函数y=为，，二旋转函数，、，则。的值

x4

为（）

A.-1B.0C.ID.2

【答案】C

【解析】

【分析】等价转化为力5）=（。-1次-4的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应，分类讨论参数并结合

x

对勾函数的性质分析力（大）性质，却可得.

【详解】因为函数）'=以-,为旋转函数”，且定义域为{x|xwO},

旋转后曲线仍某个函数图象，意味着这个函数对于任意一个横坐标工，至多只有一个＞与之对应，

由干旋转了整个曲线，等价于原始曲线在旋转后没有两个点具有相同的x坐标，

所以关于x的方程ar-2二尤+，对任意的至多只有一个解，

x

所以方程（。一1口一,=，至多只有一个解，

X

即曲线/2（x）=（。-与直线y=，至多只有一个交点，

X

只需〃3=3-1口-！的任意函数值有且仅有一个自变量与之对应（单射函数），

X

当〃〉1时，/z（x）=（«-l）x--£（-oo,0）,（0,+oc）上都单调递增，且值域都为R,

X

此时力（幻与）'=/恒有两个交点，不合题意;

当”=1时，/?（%）=——在（—8,0）,（0,+8）上都单调递增，值域分别为（0,+8）,（-00,0）,

x

此时/z（x）与y=/至多有一个交点，符合题意:

当〃v1时，h(x)=(1-a)(-x)+(——)=-[(l-a)x+—],

XX

若me(F,0)时，则(1一d)(-x)+(--)>2./(l-tz)(-x)-(--)=2,

xVx

11

当且仅当（1一〃）（一幻=一一，即不二一万一时取等号,

x\/\-a

所以人。）在（-8,一初三）上单调递减，在（-7^,。）上单调递增,

\j\-a

若工£(。,+8)时，则—[([—a)xH—]工—2^/(1—ci)x—=-2，1-a»

xVx

11

当且仅当（1一。）工=一，即工二-/一时取等号,

x\j\-a

所以力（均（0,—=）上单调递增，在（-7L,y）上单调递减,

\J\-ayl\-a

此时h（x）与肘=，的交点可能有0,1,2个，不合题意,

综上4=1.

16.已知数列｛《J满足凡+1=2$-1（〃为正整数），关于数列｛4｝有以下两个命题：①若1＜生＜一，

8

则4的取值范围是；②若q+。3=0,则％的所有可能取值的个数是4个.则以下选项正确的是

（）

A.①是直命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.两个都是真命题D.两个都是假命题

【答案】B

【解析】

【分析】根据数列｛%｝的递推关系式确定。2，。3与4，生的等式关系，结合不等式的性质由1＜/〈弓■确定

8

生的范围，从而得6的取值范围即可判断①；确定4，%的等式关系求解一元高次方程的根从而得％的所有

可能取值，即可判断②.

【详解】因为。，用=2。：-1,所以氏+|+1=2。；20,则4m2T（〃为正整数），

、17,175.5

对十①因为生二26一I,若1<生<--»则1<2。；一1<,解得1<。2<W或一工</<一1（舍），

又〃2=2端一1,贝口解得1<4〈手或一手<4<—1，故①是假命题；

②因为。2=2。；—1»%=2a；—1,所以《4=8a；-8a1+1,

若q+%=0，则8"；―8〃；+4+1=0,整理得（4裙-2q-l）（2q-l）（q+1）=0,

解得4=-1，4=3必=与叵，4=\^，则4的所有可能取值的个数是4个，故②是真命题.

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.在如图所示的多面体中，已知四边形A4CO是菱形，NA8C=60,必J•平面ABCD,EDJ_平面

ABCD,AB=FA=2ED=2,点G为线段A厂的中点.

（1）求证：平面QG〃平面C£F；

（2）求直线4c与平面4QG所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵—

4

【解析】

【分析】（1）连接AC与8D，相交于点。，连接OG,DG,分别证明OG//b,DG//EF,再由面

面平行判定定理即可得证；

(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，确定直线8c的方向向量与平面4QG的法向最，根据线面夹角

的坐标运算求解即可.

【小问1详解】

连接AC与B。，相交于点。，连接OG,DG,

因为菱形A8CD,所以点。是AC的中点，

所以OG//C产，

又。Ga平面CEF，FCu平面CEF,

所以OG〃平面。石尸，

因为石4_L平面ABC。，ED_L平面A8CO,

所以E4〃/)E,

又FA=2ED=2,FA=2FG,所以四边形。EPG是平行四边形,

所以DG//EF,

又DGa平面CM,EFu平面CEF,

所以ZX7//平面C石尸，

因为OGcDG=G,OG、DGu平面由X7,

所以平面3QG//平面CEF；

【小问2详解】

取8c的中点M，连接AM,

因为NA3C=60。，四边形44co是菱形，

所以VA3C是等边三角形，则AW_LAC,

则建立以A为原点，以40、AD、瓶所在直线分别为工轴、)'轴、z轴的空间直角坐标系A-M，Z,如

图所示:

则8(6,—1,0),C(G』,0),。(0,2,0),G(0,0,l),

所以8d=(0,2,0),BD=(—瓜3,0),DG=(0,—2,1),

设平面BDG的法向量为n=(x,y,z)，

In-BD=-y/3x+3y=0fx=>/3y

则：=〈’,取y=l,则x=z=2»所以〃=(6』,2),

[ri^DG=-2y+z=0卜=2)，

BCn_2_V2

所以cos(BC,〃)

BC\\n_2x2x/2-4

直线BC与平面BDG所成角的正弦值为正

4

18.已知函数)，=/(£)的表达式为/(x)=—sin2x+cos2x.

(1)若将函数y=/(x)的图像向右平移0(°>0)个单位长度，得到函数y=g(x)的图像关于直线

7T

x=w对称，求。的最小值；

6

(2)若函数y=/(x)在区间一不，加上恰有2个极值点和2个零点，求实数〃?的取值范邕

I1N

71

【答案】⑴万

5兀7兀

(2)me

66

【解析】

【分析】(1)利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解：

(2)利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范

ffl.

【小问1详解】

由、2

f(x)=fsin2x+cosx=4・c1c1/兀7111

sin2x+—cos2x+—=sin2x+—+一,

226)2

当函数/（x）右移。个单位得g（x）,

1

则g(x)=/(x-e)=sin2(x-(p)+—+—=sin|2x-2(p+

622v

由g(x)关于x=—对称，可得:2-----2(pr——ku-+—,(kwZ),

6662

l^jrTT

整理得：（p=一一,keZ,乂。＞0,取4=一1得最小正数0=5,

即*的最小值为

【小问2详解】

•c兀

由（1）可得：/（X）sin2x+—H-

I6)2，

当4£(一］,〃"，令f=2X+^W(0,2〃7十^

FL1.一“「7兀…,、IE…

再由)，=sin/+一令点洒足：t=—+2也或/=---+2E,keZ,

266

不妨取A=O,可得两个正数零点是1二=或，="，依次增大的第三个正数零点是r=3

666

I7T

再由y=sinf+—的极值点满足：，=—+E,ZeZ,

■22

同理可得两个正数极值点是/==,/=;,依次增大的第三个正数极值点是1J

222

所以函数），=〃戈）在区间上恰有2个极值点和2个零点，

即满足在（。,2，〃十二内取到攵，，=UE,，='，，二型，不能取到，和，=型,

I6；662262

1Inc兀/15兀5兀3”

则-<2m4--<------=>

66666

5rt7兀

即所求实数机的取值范围〃2€

19.质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如

卜.的频率分布直方图:

（甲）（乙）

（I）写出频率分布直方图（甲）中。的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为

S^Sl,试比较用与5；的大小（只要求写出结果）;

（2）在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于1<）且小于40

的概率：

（3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N（〃,b2）.其中〃近似为样

本平均数元近似为样本方差现从乙种食用油中随机抽取1（）桶，设X表示质量指标值位于

（26.50,38.45）的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数）

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若Z〜则

P（/-O-<Z<//+CT）=0.6826,尸（〃一2。vZ<〃+2a）-0.9545.

【答案】（1）a=0.015,S^>Sl

（2）0.475

（3）3.41

【解析】

【分析】（1）根据矩形的面积和等于1列出关于〃的方程，进而求出〃的值，再根据频率分布直方图中甲、

乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小.

（2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于（1。,40）的概率，然后求出恰有1桶食用

油指标位于(10,40)的概率.

(3)先根据频率分布直方图求出7,c/,然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于

(26.50,38.45)的概率，最后根据二项分布的期望公式E(X)=〃〃计算x的数学期望.

【小问1详解】

由题意10x(0.020+0.010+0.030+a+0.025)=1,解得。=0.015.

由频率分布直方图可得>立.

【小问2详解】

记事件A:在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于10且小于40.

记事件8:在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于10且小于40.

记事件C在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于10且小于40.

则P(A)=0.1+0.3+0.15=0.55,P(B)=0.2+0.3+0.25=0.75.

7.P(C)=P(A)P(历+P(A)P(B)=0.55x0.25+0.45x0.75=0.475.

【小问3详解】

由题意7=5x().1+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x().15=26.5，

52=(26.5一5Kx0.1+(26.5-15)2x0.2+(26.5-25)2x0.3+(26.5-35)2x0.25+(26.5-45)2x0.15=l42.75

：ZW6.5J42.75),又。42.75a11.95.

/.P(26.5-11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,.一(26.5<Z<26.5+11.95)=0.3413

现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于(26.50,38.45)的概率为0.3413.

X8(10,0.3413),E(X)=10x0.3413=3.413k3.41

22

20.己知椭圆「：「+q=1(。>0)的左焦点为尸(-1,0),过点。(Y,0)作斜率不为0的直线/与椭圆「

交于M,N两点.

（1）求椭圆「的离心率;

（2）设直线MRN/的斜率分别为仁,《，求&+&的值:

（3）若点七满足IEMR硒R口口，点。在椭圆上，MDlx轴，探究直线E尸与直线。。的斜率之积

是否为定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.

【答案】（1）\

(2)0(3)是，-1

【解析】

【分析】（1）根据已知确定椭圆参数，即可求离心率;

（2）设直线/：），=Z（x+4）次/0,“（卬），）'（9，为），联立椭圆方程并应用韦达定理，代入

33

k4k,=k2+-^+-^—化简即可得;

I%+lx2+l)

（3）由题设E为乙MN尸的外心，由从而有。（凡,一%），得攵4二-攵，设出三角形外接圆的方

程/+）,2+。二+£），+尸=0,联立/:y=Z（x+4）整理得一元二次方程，其与（2）中方程同解得到等比

例关系求得石'=_,c3。=汽号,进而确定E坐标并求得凝尸=,，即可得结论.

Z（3+4K）3+4Kk

【小问1详解】

（、I

由题设c=l,〃=3,则一〃+/_4=＞々_2,离心率为e=—=不

a2

【小问2详解】

由(1)知，r：—+^-=1,即3/+4)，2=12,

43

设直线/：y=Z(x+4),RrO,M(X，X),N(X2，K),

32k2648一12

联立得(3+4k2)x2+32k2x+64产-12=0,则%+9二

3+4Q%"3+4公

―人+上=+=Z24

X1+1x2+1X]+1x2+1IX)+1x2+1>

33_3(.+々+2)_2-8/

4-1x2+1x1x2+*+/+14k2-1

所以4+与=Z（2_2）=0；

【小问3详解】

由|EMREN|=|E用，则上为/MN/的外心,

设过M,N,尸的圆为/+、2+。攵+£)，+9=0,

过F(-1,O)得，1一。+F'=OnF'=。'-1,

联立圆与直线/：y=Z(x+4),整理得(1+/)/+(822+£>，+£%)1+16公+4£%+。'-1=0,

上述方程与(3+4k2)x2+32k2x+64^-12=0有同解,

所以E二史经a二国士丝土殳二！，可得E=一〃二口

3+4公32k264炉一12k(3+4k-)3+4K

£3