圆的综合-【考前20天】中考数学冲刺复习练（含答案）

圆的综合-【考前20天】中考数学终极冲刺专题

一、选择题

1.如图，。。中，E为直径AB上一点，若乙4EC=48E0=a,则NC+4。的值为（）

2.如图，AB切。。于点B,OA交。。于点C,点。在。。上，连结=25°,则4加勺度数为

3.如图,在正六边形4BCDE/中,连结4C与4E,以点4为圆心，4c长为半径画弧CE.若4B=4,则图中阴

C.127rD.167r

4.如图，小王同学在制作2025年4,q23号读书节的手抄报时，绘制了如题图所示的扇面示意图，扇面弧所对

的圆心角为120。，大扇形半径为10cm,小扇形半径为3cm,则此扇面中阴影部分的面积是（）

A.^-TlCTTl2B.^TTCTH2C.^TTCHl2D.^-TCCm2

5.如图，四边形A8C0内接于G）O,AE是。。的直径.若。。的半径为6,//OC=110。，则白的长为

)

第1页

27r47r「TT

A.R2D%

TB-TC-~53

6.在△力BC中，AB=2,AC=273,BC=4,记。1为△4BC外心，。2为△48C内心，连接。1。2，以。1。2

为直径作圆，则该圆的面积为（）

A.（2-V3）/rB.（5-2百户C.e一2网兀D.R一期

'"422

二、填空题

7.如图，在△ABC中，ZACB=90%CA=CB,点D为边AB上一点，连结CD,作点B关于CD的对称点

E,连结CE、AE,延长CD、AE交于点F,若AE=DE=2,贝I」EF=

8.如图，R@/WC,乙4BC=90°,点。在8c上，以点0为圆心08为半径的。。与AC相切于点0,连结

AO,若乙4。3=70°,则乙。的度数为

9.如图，在半径为4的扇形A0B中，乙4。8=45°,点P为0B中点，作PQ1。8交OA于点Q,则

脑MQ,QP,PB围成的图形（阴影部分）的周长为.

10.如图，。4是。0的半径，BC是。0的弦，O41BC于点0,AE是。0的切线，4E交。。的延长线于点

第2页

则线段AE的长为

11.如图，48是。0的直径，点C,。在O。上，点。是"的中点，点P是直径AB上的一个动点，连接AC,

PC,PD,若A8=6,Z.CAB=30°,则PC+PD的最小值为

12.如图，在O0中，已知弦AC,BD相交于点E,连接=

（2）若ACIB。，。。的半径为4,求◎的长.

13.如图，已知。。是△ABC的外接圆，4B是。。的直径，。是延长线上的一点，4EJ.CD交DC的延长线

于E,。尸148于凡且CE=CF.

求AE的长.

14.如图，四边形48CD内接力00/。是0。的直径，80平分乙48C,点P在4c延长线上，LPBC=

乙BDC.

第3页

B

O//CP

D

（1）求NCAO的度数；

（2）若AO=2,求。。半径的长；

（3）求证：PB是。。的切线.

15.如图，四边形ABCD内接于O0,BD是直径，AC平分々BCD,与BD相交于点E.

（1）若CE=CD,求4。48的度数;

（2）若器=坐，求洗的值；

（3）过点4作AC的垂线AG,交CB的延长线于点G,过点G,C分别作GF14G,CF1/C,交点为几

延长DB交FG于点H,求证：BH=DE.

四、作图题

16.已知直线I与O0相切于点D.

（1）如图1,8E是。0的直径，延长BE与直线I交于点4,过点B作BC1L垂足为C,交。。于点F,连

接80.若BC=5,4。=12,在不增加新的点的前提下，请提出一个问题：▲，并进行解答或证明.（使

用部分条件，旦求解正解酌情给分；使用全部条件，旦求解正确得满分）

（2）如图2,点P是圆上一点，请用尺规在直线，上求作一点Q,使得PQ与0。相切（不写作法，保留作

图痕迹）.

第4页

图2

五、实践探究题

17.【问题提出】

图1图2图3

（1）如图1,P是半径为5的。。上一点，直线m是。。外一条直线，PQ_Lm于点Q,圆心0到直线m的距离

为7,则线段PQ的最大值为

【问题探究】

（2）如图2,点P是正方形4BCD内一点，连接BP、CP，则乙BPC=90。，若AB=4,求4P的最小值;

【问题解决】

（3）如图3,有一块形状为△力的湿地，其中N84c=90°,AB=6km,AC=3km.点D是AC上的一

个动点，以AO为直径在△A8C内作半圆O,现要将半圆O建为观测区，连接8。,8。与半圆O交于点E,连接

CE,沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，式求CE的最小值.

18.

（1）【问题情境】

如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的

几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2）,这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的k

倍.由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：

第5页

图1图2

（2）【操作实践】

如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边或从c、d之间存在某种数量关系.小昕按所示步

骤进行操作，并将最终图形抽像成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四

条线段之间的数量关系；

图3图4

（3）【探究应用】

如图5,在图3中“④”的基础上.小听将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中ZD4P存在最大

值.若PE=8,PF=5,当4D4P最大时，求A。的长；

图5

（4）如图6,在RtABC中，4c=90°,点。、E分别在边AC和8。上，连接。E、AE.BD.若AC+

CD=5,BC+CE=8,求4E+BD的最小值.

第6页

B

图6

六、阅读理解题

19.阅读理解：

（1）【学习心得】学习完"圆''这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容

易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆这类题目主要是两种类型.

①类型一，“定点+定长”：

如图1,在△ABC中，AB=AC,4B4c=56。，D是△48C外一点，且4D=4C,求/BDC的度数.

解：由题意，若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆04（可在图I中画出辅助圆O

A）,则点C、。必在。A上，4C是此所对的圆心角，而乙80c是此所对的圆周角，从而可容易得到

图1

②类型二，“定角+定弦”：

如图2,RtAABC中,AB1BC,AB=12,BC=8,P是△/BC内部的一个动点，且满足乙P4B=

乙PBC,求线段PC长的最小值.

图2

请将以下解题过程补充完整.

解：*：Z,ABC=90°,

•7BP+/PBC=90°,

第7页

,：Z-PAB=乙PBC,

：.^ABP­¥^.PAB=90°,

，乙4PB=°,(定角)

・••点P在以4B(定弦)为直径的。。上，

如图2,连接OC交。0于点P,此时PC最小.

请完成后面的解题过程.

(2)【方法应用】如图3,在矩形ABC。中，已知力8=6,8c=8,点P是BC边上一动点1点P不与B,

C重合)，连接AP,作点8关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为(直接写结果).

(3)【能力拓展】如图4,在正方形A8C0中，AD=10,动点E,F分别在边。C,CB上移动，旦满足

DE=CF.连接力E和。凡交于点P.点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动

图4

七、综合题

20.如图，在R@ABC中，LACB=90°,以BC为直径的。O交AB于点D,E是AC的中点，OE交CD

于点F.

(1)若NBCD=36。,BC=10,求ED的长；

(2)判断直线DE与。O的位置关系，并说明理由；

(3)求证:2CE2=AB-EF.

第8页

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：延长DE交圆于M,连接MC,

C

M

VZAEM=ZDEB=a,

ZAEC=ZDEB=a,

.\ZAEC=ZAEM

・•・由圆的对称性得到：CE=ME,

VDE平分NMEC,

・•・直径ABJLCM,

AA

:♦BC=BM，

AZD=ZA,

・•・ZACE+ZD=ZACE+ZA=180°-ZAEC=1800-a

故答案为:D.

【分析】延长DE交圆于M,连接MC,由对顶角的性质得到NAEM=/DEB=a,因此NAEC二NAEM,由

的对称性得到CE二ME,由等腰三角形的性质推出直径AB_LCM,由垂径定理得至UBC=BM,由圆周角定理

推出ND二NA,进而即可得出结论.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：如图，连接OB,

由圆周角定理得：/AOR=2/D=2x25o=5()°,

VAB切。O于点B,

第9页

/.OBILAB,

AZADO=90°,

.•・ZA=90°-ZAOB=90°-50°=40°,

故答案为：C.

【分析】连接OB,根据圆周角定理求出NAOB,根据切线的性质得到NABO=90。，再根据直角三角形的性

质计算即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：作正六边形加CD"的外接圆，圆心为点O,连接。B交4c于点L,连接。C、0E,

F/一~、E

B、-C

•；cBOC=1x360°=60%^COE=1x360°x2=120°,

oo

11

LBAC=今乙BOC=30°,^CAE=左乙COE=60。，

■:CB=AB=4,

co.

CB=ABf

：・0B1AC,AL=CL,

：./-ALB=90°,

-'•BLAB=2,

••AL=7AB2-B17=V42-22=2技

：-AC=2AL=4A/5,

L2

.・_60?rx(4、③

3阴影-360-d7r

故选：B.

【分析】

如图所示，由于正六边形的半径等于边长，因此可作其外接圆。0,可由圆周角定理得阴影部分实质是个扇

形，且这个扇形的圆心角度数为6()度，由于直径所对的圆周角是直角，可解直角三角形ABE求得扇形半径

AE,再直接运用扇形面积计算公式求解即可.

4.【答案】A

5.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，连接0C.

第10页

A

D

T

•.,四边形A8CD内接于O。，

：.^ADC+^ABC=180°,

■:(ADC=110°,

:,(ABC=70°.

・••440C=2乙ABC=140°,

：4OE=180°-/-AOC=40°,

:0。的半径为6,

.・.G的长度为当群=竽.

故答案为：B.

【分析】连接。C.根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对免互补”可求得NABC的度数，根据圆周角

定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可求得NAOC的度数，然后由平角的定义求得NCOE的

度数，再根据弧长公式“仁嚼''计算即可求解.

loU

6.【答案】A

7.【答案】V3+1

【解析】【解答】解：作DH_LAF于点H,

VZACB=90°,CA=CB,

・•・ZCAB=ZB=45°,

由折叠的性质得：BC=EC,ZCED=ZB,ZBCD=ZECD,

.\ZCAB=ZCED=45°,AC=CE,

:.A,C,D,E四点共圆，

VAE=DE=2,

：,A^=ETE,ZEAD=ZEDA,

第11页

/.ZACE=ZECD,

・•・ZACE=ZDCD=ZECD=30°,

VAC=CE,ZACE=30°,

.-.ZCAE=ZCEA=75°,

・•・ZEAD=ZEDA=75°-45°=30°,

ZF=180o-60°-75o=45°,

・•・ZDEH=60°,

/.ZEDH=30°,

EHDEI

.\=乙1=,

DH=722-12=V3，

VDH.AF,ZF=45°,

・•・△DHE是等腰直角三角形，

AFH=DH=>/3.

.\EF=73+l,

故答案为：V3+1.

【分析】作DH_LAF于点H,先证明A,C,D,E四点共圆，可证NACE=NECD,求出

NACE:NBCD=/ECD及其度数，由等腰三角形的性质求出NCAE=NCEA及其度数，进而得

NEAD=NEDA及NF的度数，然后分别求出EH的长度，FH二DH及其长度，即可求出EF的长度.

8.【答案】50°

【解析】【解答］解:连接OD,

〈AC是。。的切线，

.,.ZADO=90°,

/.ZABC=ZADO=90°

VOB=OD,AO=AO,

第12页

/.RtAABO三RsADO(HL),

.,.ZAOD=ZAOB=70°,

.•・ZCOD=180o-70°-70o=40°,

・•・ZC=90°-40°=50°,

故答案为：50°.

【分析】连接OD,根据切线性质得到NADO=90。，根据全等三角形的性质得到NAOD=/AOB=70。，进而

即可得出答案.

9.【答案】8-2V2+7T

【解析】【解答】解：由条件可知OA=OB=4,

ZAOB=45°

,,457rx4

•J^=T80-=7r

,・,点P为OB中点，

1

：.OP=BP=BOB=2,

由条件可得△OPQ为等腰直角三角形，

AQP=OP=2,

，0Q=yj0P2+QP2=V22+22=2立，

^AQ=OA-OQ=4-2y/2,

・••阴影部分的周长

=I*+4Q+QP+8P=7r+4-2&+2+2=7r+8-2企

AB

故答案为：8-2V2+7T.

【分析】利用弧长公式可得】二笔部=兀，又由△OPQ为等腰直角三角形可得0Q=Jopz+QP2=

2鱼，即得AQ=OA—OQ=4-2&，进而求出周氏即可.

10.【答案】学

【解析】【解答】解：。4是。。的半径，8c是O。的弦，。力IBC,BC=2,

...BD=CD=^BC=1,

v^AOC=30°,

OC=7.C.D—2.

:*OA-2,

第13页

AE是。。的切线，

乙OAE=90°,

tanz.AOC=诋，

卜__AEx/3

•••tan30o=-2~=

二AdEe=2Q

故答案为：孥。

【分析】根据垂径定理可知80=CD=：BC,代入数据求出BD的值，然后再根据直角三角形的性质，可得

0A=0C,再根据圆的切线可知W04E=90。，最后再根据正切函数的定义：tan/40C=^，代入数据，即

可求出AE的值。

11.【答案】3企

【解析】【解答】解：作点D关于48的对称点为点E,连接CE交48于点G,连接。C,OD,0E,PE,

：.PD=PE,AB1DE,

:・PC+PD=PC+PENCE,当点P与点G重合时，此时PC+PO有最小值，最小值为CE,

*：LCAB=30°,

：.Z.COB=2乙CAB=60°,

•・•点D是弧BC的中点，

：.CD=ETB,

，乙COD=乙DOB==30。，

*：AB_DE,

：.ETB=略

:•(BOE=乙DOB=30°,

：.Z-COE=乙COB+乙BOE=90°,

VOC=OE,

・•・△COE是等腰直角三角形，

'：AB=6,

第14页

：.0C=OE=3,

••CE=yJOC2+OE2=3V2,

・・・PC+PD的最小值为34,

故填：3y[2.

【分析】作点D关于48的对称点为点E,连接CE交48丁点G,连接。C,OD,OE,PE,根据轴对称的性质

得出PD=PE,AB1DE,从而可得PC+PD=PC+PENCE,此时PC+PO有最小值即为CE,证出△COE

是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CE的长，即可得出答案.

12.【答案】(1)证明：AC=BD,

:.AC=,

:•战-凯=即一耿:,

:.AD=阮,

Z.A=Z.D；

(2)解：连接。C,0D,

vAC1BD,AD,AC=BD,

：,^AED=90°,

=Z.ADE=45°,

...Z.COD=2z/l=90°,

•・・。。的半径为4,

・•・⑵的长为空群=27r.

loU

【解析】【分析】

(1)根据弧、弦之间的关系定理“在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心

距也相等''得加：=",由弧的和差可得帅=",然后根据圆周角定理”同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角相等”即可求解;

第15页

(2)连接OC、OD,根据圆周角定理得NCOD=2NA可求出NCO。的度数，根据弧长公式L=鬻计算即可求

loU

解.

(1)证明：•••AC=BD,

:.AC=的,

:,品一氏=即一院,

:.AD=,

Z.A=乙。；

(2)解：连接OC,0D,

-AC1BD,AD,AC=BD,

•••^AED=90°,

LA=Z.ADE=45°,

乙COD=2^A=90°,

•••0。的半径为4,

.•.②的长为需:

2=27r.

loU

13.【答案】(1)证明：如图，连接0C.

'：AE1CD,CFLAB,CE=CF,

：.^EAC=乙CAB.

VOA=OC,

：.z.CAB=/-ACO,

：.Z-EAC=/-ACO.

第16页

：.0C||AE.

：.0C_CD.

•「oc是圆的半径，

・・・DE是。。的切线；

(2)解：=4,

：.0A=OC=OB=2,

•：LCAB=30°,

：.LEAD=60°,

AZD=30°,

：.OD=2OC=4,

：.AD=6,

在Rt△ADE中，ZD=30°,

•'•AE=AD=3.

【解析】【分析】(I)根据到角两边电离相等的点在这个角的角平分线上得N£4C=4C4B,结合等边对等角

得"48=乙4。。，由等量代换得"4C=〃C0,由内错角相等，两直线平行，得。CII4E,从而根据平行

线的性质得OC1CD,然后根据切线的判定方法“垂径半径外端点的直线就是圆的切线”可得结论；

(2)由角平分线的定义可得NEAD=60。，根据直角三角形两锐角互余得到ND=30。，进而由含30。角直角三

角形的性质求解即可.

(1)证明：如图，连接OC.

VAE1CD,CF±AB,CE=CF,

/.Z.EAC=Z.CAB.

'：OA=OC,

：.^.CAB=/,ACO,

：.Z-EAC=/-ACO.

：.OCIIAE.

：.OC_CD.

・・・oc是圆的半径,

第17页

・・・0E是O。的切线.

(2)解:*：AB=4,

：.0A=OC=OB=2,

•・•皿B=30°,

：.Z-EAD=60°,

・"0=30°,

：.0D=20C=4,

：.AD=6,

在/?£△?!£)£＞中，(D=30°,

-*-AE=AD=3.

14.【答案】（1）解：如图:

D

•••BD平分/ABC,

・•・Z4=Z5,

VZ3=Z4,Z5=Z6,

AZ3=Z6,

•；AC是。。的直径，

・•・ZADC=90°,

.\Z3=Z6=45°,

即NCAD=45。；

(2)解：VZADC=90°,Z3=Z6=45°,

.\DA=CD=2,

••AC=yjDA2+DC2=2vL

・・・0。的半径长为迎；

(3)证明：连接OB,

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B

D

VOA=OB,

AZ7=Z8,

VZ1=Z2,Z2=Z7,

/.Z1=Z7

AZ1=Z8,

〈AC是。。的直径，

・•・ZABC=Z8+ZOBC=90°,

.\Z1+ZOBC=90°,

/.ZOBF=90°,

VOB为。。半径，

APB是OO的切线.

【解析】【分析】本题属于•圆的综合问题，涉及圆周角定理，切线的判定，勾股定理，三角形内角和定理等知

识点，熟练掌握知识点是解题的关键.

(1)根据角平分线的定义可知：N4=N5；再根据圆周角定理：同孤所对的圆周角相等可知：N3=N4,N5=N6,

等量代换可得；Z3=Z6,根据直径所对的圆周角为90。可知：ZADC=90°,最后根据三角形内用和定理为180。

可知：Z3=Z6=45°,即NCAD=45。,由此可得出答案;

(2)在(1)的基础上，根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：DA=DC=2,再利用勾股定理可求出

直径AC的长，再利用“直径：2=半径”可得出半径的长，即可得出答案；

(3)连接OB,根据半径相等和等腰三角形的性质：等边对等角可知I：N7=N8；再根据弦切角的性质：弦切

角二弧所对的圆周角可知：Z1=Z7,等量代换可得：N1=N8；结合角的利差运算和直径所对的圆周角为90。

可知I：ZABC=Z8+ZOBC=90",等量代换得：Z1+ZOBC=90",即/OBF=90。，再根据切线的定义可证得：

PB是00的切线，由此可证得结论.

(1)解：如图：

第19页

B

A

3O

D

•・・9。平分443。，

z.4=z_5,

Vz.3=z4,z5=z.6,

.*.z3=z.6,

•・NC是。。的直径，

"ADC=90°,

Az3=z6=45°,即4。40=45°；

(2)解：­：^ADC=90°,z3=Z6=45°

：.DA=OC=2,

-,-AC=\/DA2+DC2=2仿

・・・O。的半径长为企：

D

VOA=OB,

z7=z8»

Vzl=z2,z.2=z7>

Az.1=z8,

•「AC是O。的直径，

•••△ABC=48+(OBC=90°,

••・41+4OBC=90°,

:.(OBF=90°,

•・・0B为半径，

・・・。8是0。的切线.

第20页

15.【答案】（1）解：因为BD是直径，

所以4BC。一^BAD一90°,

因为AC平分4BG）,所以乙。。£=45°,

因为CE=CD,所以4CEO=/COE=67.5°,

所以乙C48=乙CDE=67.5°.

（2）解：设8。=4限,AC=8k,

在等腰Rt△480中，AD=2月k,

因为乙"C/l=Z.ADE=45°/DAC=乙EAD,

所以△4C。〜△AOE,所以弟=能，

所以^=云腺，所以4E=5k,CE=4C-4E=3K

所以@=3

'以力£5.

（3）证明：因为AC，4G,乙4cB=45°,

所以△G4C为等腰直角三角形，

因为4c14G,所以4G4B=

因为4c=AG^BGA=^ACD=45°,

所以△G/BMACAD（S4S）,所以BG=CO,

因为/BGK=45°,所以/8KG=45°,

所以8K=BG=CD.Z.BKH=Z-DCE=45°,

因为GF//AC,所以匕KHB=ACED,

所以△BKH三△0CE（44S）,所以8,=OE.

【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得NBCD=NBAD=90。，再根据角平分线的定义得

NDCE=45。，然后根据等腰三角形的性质得NCED=NCDE=67.5。，最后根据同弧所对的圆周角相等得

ZCAB=ZCDE=67.5°：

（2）先设BD=4V5k,/1C=8M冉求出AD=2回人接下来说明△ACDsZ\ADE,根据相似三角形的性质

表示AE=5k,进而求出AE=5k,CE=AC-AE=3k,则答案可得；

第21页

(3)先说明AGAC为等腰直角三角形，作BKJ_BG,交FG于点K,再结合“边角边”证明

△GAD^ACAD,可得I3G=CD,最后证明△BKII冬△DCE.

16.【答案】(1)提出问题：圆。的三/直径是多少？

解：连接0D

•••0D1I

-BC=SfAC=12,BC11

••・根据勾股定理可得48=13

•••0D1l,BC1I

:.Z.ODA=Z.BCA

又•••Z.BAC=Z-OAD

•••△OAD〜△BAC

OAAD

：,AB=AC

设半径为丁

则。0=OB=r,AO=13-r,

13—rr

'"^3~=5

解得r=g

(2)解法一：连接OD,OP,作4OPQ=400Q,交直线l于点Q.

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o

【解析】【分析】(1)连接OD,根据切线性质可得0011,再根据勾股定理可得AB,根据直线平行性质可

得乙=乙。A。，再根据相似三角形判定定理可得△04。〜△3AC,则别二遂，设半径为了，则0。二

0B=r,A0=13-r,代入等式，解方程即可求出答案.

(2)根据切线的性质作图即可求出答案.

17.【答案】(1)12；(2)2V5-2;(3)(3>/2-3)km

18.【答案】(1)2

(2)PA2+PC2=PB2+PD2；

(3)解：如图，将4PDC绕点P逆时针旋转，

；•点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动,

丁点A是圆外的一个动点，

，当AD与OP相切时，乙D4P最大，

・・・PD_LAD,

AAD2=AP2-PD2,

由(2)可得：AE=DF,

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VPE=8,PF=5,

・•・AD'=AP7-PD7=PE'+AH-PF'-DN=8'-5'=39

AAD=V39；

(4)解：如图，将^BDC沿BC对折，D的对应点为Di,将△AEC沿AC对折，E的对应点为Ei,连接Di

再将AABEi沿AC方向平移，使得Ai与Di重合，得到ABIDIEZ

由(2)可得：AE+BD=DIE2+BDI,当E2,DI,B三点共线时,

AE+BD=DiE?十BDi最短，

VAC+CD=5,BC+CE=8,

.\EIE2=5,BEI=8

；・BE?』BE/+=V82+52=V89

故AE+BD的最小值为89.

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【解析】【解答】

解：(1)如图：

丁四边形ABCD,EFGH为正方形，圆为正方形ABCD的内切圆，为正方形EFGH的外接圆,

:.设AE=DE=DH=CH=CG=BG=AF=BF=m,ZA=90°,

AB=AD=2m,EF=^/rn,2+m2=V2m

•'•S正方形ABCD=4m2,S正方形EFGH二(A^7n)2=2m2,

大正方形面积是小正方形面积的2倍；

故答案为：2.

(2)如图：

VEG1FH,

Z.a2=OF2+OE2,c2=OG2+OH2,d2=OE2+OH2,b2=OF2+OG2,

/.a2+c2=b2+d2,

结合图形变换可得：PA2+PC2=PB2+PD2：

故答案为：PA2+PC2=PB2+PD2

【分析】

22

(l)iSAB=AD=2m,EF=&巾即可表示出面积S正方形ABCD=4|慎，S1K*®EFGH=(V2m)=2m,即可得到它们的

面积关系；

(2)IIIEG1FH,利用勾股定理可证明a2+c2=b2+cP,再结合图形变换可得答案；

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(3)将APDC绕点P逆时针旋转，可得点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，可得当AD与0P相切

时，ZDAP最大，Z再利用勾股定理即可解答；

(4)将ABDC沿BC对折，D的对应点为Di,将AAEC沿AC对折，E的对应点为曰，连接DiEi,再将

△ABEi沿AC方向平移，使A与Di重合，得△B1D1E2,由(2)可得：AE+BD=D1E2+BDi,当E2,Di,B

三点共线时，AE+BD=D1E2+BD1最短，再进一步利用勾股定理即可解答.

19.【答案】解：(1)①28；

②,・Z8C=90°,

：./-ABP+乙PBC=90°,

'：LPAB=乙PBC,

：.ZLABP+^PAB=90°,

：./-APB=90°,(定角)

・••点/在以48(定弦)为直径的。。上，

如图2,连接OC交。。于点P,此时PC最小.

图2

•••00的直径=12,

1

：.OB=OP12=6,

在RtZkBOC中，0C=ylOB2^rBC2=V62+82=10>

・•・线段PC长的最小值为0C-0P=10-6=4.

(2)4；

(3)如图4,连接力C,80,交于点0,

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・・•四边形A8C0是正方形，

：.AD=DC,OA=OD/ADE=乙DCF=90。，AC±BD,

在△ADE和△DC/中，

AD=DC

/-ADE=乙DCF=90。，

DE=CF

：.2ADE=△DCF(SAS),

：./-AED=乙DFC,

二乙DCF=90°,

••・4DFC+匕CDF=90°,

：./-AED+/.CDF=90°,

：.z.APD=(DPE=90°,

・•・在点P的运动过程中，始终有24尸。=90°,

又•・•点E从点。开始运动到点C时，点P也随之运动，

，点P的运动路径是在以40为直径的圆的“。上，

如图4,取力。的中点G,连接。G,

：.GO=GD=^AD=1x10=5,乙OGD=90°,

・••点PH勺运动路径长为%^=?7r.

louL

【解析】【解答】解：(1)@,：AB=AC,AD=AC,

・•・如图1,以点4(定点)为圆心，AB