2026版高考数学复习专题突破：2.5 对数运算及对数函数（精练）（试卷版）（解析版）

2.5对数运算及对数函数（精练试卷版）

一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。

1．（2024广东湛江）函数fxloga4x3（a0且a1）的图象所过的定点为（）

33

A．1,0B．,0C．1,1D．,1

44

【答案】A

【解析】因为函数fxloga4x3（a0且a1），令4x31，解得x1，则f1loga10，

所以fx的图象所过的定点为1,0.故选：A.

2．（2024广东江门）若函数yf(x)是函数yax（a0，且a1）的反函数，且满足f(2)1，则f(x)（）

1x

A．log2xB．C．log0.5xD．2

2x

【答案】A

x

【解析】函数ya（a0且a1）的反函数为ylogax，即fxlogax，又f21，所以loga21，所

以a2，则fxlog2x.选：A

a1

（春湖南）已知11，则实数的取值范围是（）

3.2025·loga2a

44

111

A．0,B．0,1C．,1D．0,

224

【答案】A

111

【解析】当0a1时，log2loga2，即a2，即0a，

a4a42

a1

11

又2，即222a2，故22a1，即0a，

42

a1

11

当a1时，由12，无解，综上，实数a的取值范围是0,．故选:A．

42

1

4（2025湖北）函数f(x)lnx的图象可能是（）．

x

A．B．C．D．

【答案】D

11

【解析】令f(x)lnx＝0得x1即x2x10，此有方程有两根，故fx有两个零点，排除A选项；

xx

11

函数f(x)lnx有意义满足x0解得x1或1x0，

xx

当x1时函数无意义，排除B、C选项；

对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，

1

又∵当1x0与及x1时，函数yx单调递增，

x

1

结合对数函数的单调性可得函数fxlnx单调递增，故单调性也符合，所以fx的图象可能是D；

x

故选：D

,+

5（2025·安徽）“a1”是“函数fxlog21ax1在区间1上单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】令u1ax1，ylog2u，

,+

若fxlog21ax1在1上单调递增，

因为ylog2u是1,+上的增函数，

则需使u1ax1是1,+上的增函数且u0，

则1a0且1a10，解得a0.

因为,0,1，故a1是a0的必要不充分条件，

故选：C.⫋

21

6．（2026河北）若不等式xlogx0在0,内恒成立，则a的取值范围是（）

a2

1111

A．a1B．a1C．0aD．0a

16161616

【答案】A

1

【解析】当a1时，由x(0,)，可得logx0，则logx0，

2aa

22

又由x0，此时不等式xlogax0不成立，不合题意；

1

当0a1时，函数ylogx在(0,)上单调递减，

a2

1

此时函数ylogx在(0,)上单调递增，

a2

1

又由y=x2在(0,)上单调递增，

2

1

要使得不等式x2logx0在(0,)内恒成立，

a2

111

可得()2log0，解得a1.

2a216

故选：A.

3a1x2,(x1),

7（24-25福建）若函数fx的值域为,0，则实数a的取值范围是（）

log2ax,x1

111111

A．[,)B．(,)C．(,1]D．[,1]

323223

【答案】A

3a1x2,(x1),

【解析】函数fx的值域为,0，

log2ax,x1

1

当x1时，3a10，即a，所以x1时，f(x)(3a1)x2单调递增，fxf13a30,a1，此时

3

符合题意；

根据题意可得，x1时，f(x)log2ax单调递减，且f10，显然符合题意，

11

故02a1，即0a，当a时，也满足题意，

23

11

综上，a．

32

故选：A．

a

8．（2025·山东济宁·一模）曲线y(a0)与ylnx和yex分别交于A,B两点，设曲线ylnx在A处的切线斜

x

x5

率为k,ye在B处的切线斜率为k，若kk，则a（）

12122

A．2ln2B．2ln3C．3ln2D．3ln3

【答案】A

【解析】因为ylnx和yex互为反函数，其图象关于直线yx对称，

a

且反比例函数y(a0)的图象也关于直线yx对称，

x

可知点A,B关于直线yx对称，设Ax0,lnx0,x01，则Blnx0,x0，

1

设fxlnx,gxex，则fx,gxex，

x

1lnx151

0x2

由题意可得：k1k2ex0，解得0或x0（舍去），

x0x022

a

可得A2,ln2，则ln2，所以a2ln2.

2

故选：A.

二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（24-25河南）已知函数fxlgx3，则（）

A．fx的图象关于直线x3对称B．f2025f2025

C．fx无零点D．fx在,3上单调递增

【答案】AB

【解析】由f(6x)lg|3x|lg|x3|f(x)，且定义域为{x|x3}，

所以fx的图象关于直线x3对称，A对；

当x3时，fxlg(3x)在(,3)上单调递减，D错；

当x3时，fxlg(x3)在(3,)上单调递增，

又f2025f2031f2025，B对；

显然f4f(2)lg10，C错；

故选：AB

2

10．（24-25江西）已知函数f(x)log2mx2xm1,mR，则下列说法正确的有（）

A．若函数f(x)的值域为[1,)，则实数m2

B．若函数f(x)在区间[1,)上为增函数，则实数m的取值范围是(0,1]

15

C．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是,

2

15

D．若函数f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是,

2

【答案】AC

1

【解析】对于A，因为f(x)的值域为[1,)，所以ymx22xm1的最小值为，

2

显然m0，否则f(x)没有最小值，由二次函数图象性质可知，

m0

2

所以111，解得m2，故A正确；

m2m1

mm2

对于B，因为函数f(x)在区间[1,)上为增函数，

1

当m0时，f(x)log2(2x1)，定义域为,，不符合题意；

2

当m0时，由复合函数单调性可知g(x)mx22xm1在[1,)单调递增，

1

则m0，且-£-1，

m

又gxmx22xm10在[1,)上恒成立，

m0

1

联立1，解得m，故B错误.

m

m2m10

对于C，因为fx的定义域为R，所以mx22xm10恒成立，

当m0时，由fxlog22x1有意义，可得2x10，显然不满足题意；

m015

当m0时，则，解得m，故C正确；

Δ44mm102

对于D，因为fx的值域为R，当m0时显然满足题意；

m015

当m0时，则解得0m，

Δ44m(m1)02

15

∴0m．故D错误.

2

故选：AC.

2

11．（24-25湖南）函数fxlog0.5x3x4．则下列结论正确的是（）

A．在其定义域内fx的值域为R

3

B．fx的单调递增区间为,

2

C．对定义域内任意x，f3xfx恒成立

D．fx的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点

【答案】ACD

22

【解析】由x3x40可得x1或x4，则函数fxlog0.5x3x4的定义域为{x|x1或x4}，

设tgxx23x4，则当x1或x4时tgx的值域是t0,，

而ylog0.5t,t0的值域是R，所以定义域内fx的值域为R，A正确；

2

ylog0.5tt0单调递减，tgxx3x4在,1上递减，

所以fx的单调递增区间为,1，同理fx的单调递减区间为4,，B不正确；

3

当x1时3x4；当x4时或3x1，因为tgxx23x4的图象关于x对称，

2

所以对定义域内任意x，g3xgx0，

所以对定义域内任意x，lgg3xlggx恒成立，即f3xfx恒成立，C正确；

fx的单调递增区间为,1，f2log0.560,f1.1log0.50.5310，

所以x1时，fx有唯一零点在2,1.1内，且2,f2在第三象限，1.1,f1.1在第二象限；

因为fx的单调递减区间为4,，f4.1log0.50.5310,f5log0.560，

所以x4时，fx有唯一零点在4.1,5内，且5,f5在第四象限，4.1,f4.1在第一象限；

综上，fx的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点，D正确.

故选：ACD.

三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与

kt

时间t（单位：h）间的关系为PP0e，若在前5h消除了10%的污染物，当污染物减少50%时，所需时间约

为h（精确到1h，参考数据：ln20.693，ln31.099，ln51.609）．

【答案】33

【解析】由题意可知，当t0时，PP0，

1

ln0.9t

所以当污染物减少50%时，5，

150%P0P0e

5ln0.55ln25ln250.693

解得t33.

ln0.9ln9ln102ln3ln2ln521.0990.6931.609

故答案为：33

2

13．（2025·江西宜春·一模）已知函数fxlog2x2ax在2,4上的最小值是1，则a.

1

【答案】/0.5

2

【解析】若a0，则x2,4，fx2log2x在2,4上单调递增，最小值为f22log222，不符合题意；

若a0，则fx的定义域为,2a0,，

且由复合函数的单调性可知fx在0,上单调递增，

1

则最小值为f2log44a1，解得a，不符合题意；

22

若a0，则fx的定义域为,02a,，

由题意可得2,42a,，则a1，

此时由复合函数的单调性可知fx在2,4上单调递增，

1

则最小值为f2log44a1，解得a，符合题意；

22

1

综上，a.

2

故答案为：1

2

1

（山西）已知函数fxln4x212x，若floga2，则floga．

142025·x21

212

【答案】﹣3

1

【解析】根据题意，函数fxln4x212x，

2x1

1

则fxln4x212x

2x1

2x

ln4x212x，

2x1

则fxfx1，

若flog2a2，则flog1aflog2a3，

2

故答案为：﹣3．

四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15（2025·全国·高三专题练习）化简求值：

2

1log35

（1）log35log315log353．

log53

2

（2）lg2lg20lg53log94；

ln2

（3）lg20lg2log23log916e2sin330.

2

（4）lg25lg8lg5lg20(lg2)2.

3

（5）log23log53log35log95lg2．

3

【答案】（1）5；（2）3；（3）0；（4）3；（5）.

2

2

1log35

【解析】（1）log35log315log353

log53

2

log35log353log35log355

2

log351log35log35log355

22

log35log35log35log3555；

2

（2）lg2lg20lg53log94

2

lg2lg21lg53log32

2

lg2lg2lg5lg52

lg2lg2lg5lg52lg2lg523；

ln2

（3）lg20lg2log23log916e2sin330

204

lglog3log2222sin30

223

1

lg10log232log322212210；

2

2

（4）lg25lg8lg5lg20(lg2)2

3

2lg52lg2lg5lg(102)(lg2)2

2(lg5lg2)lg51lg2(lg2)2

2lg5lg2(lg5lg2)3；

（5）log23log53log35log95lg2

lg3lg3lg5lg5

lg2

lg2lg5lg3lg9

lg3(lg2lg5)lg5(lg3lg9)

lg2

lg2lg5lg3lg9

lg32lg33

．

2lg32

16．（24-25湖南）设a0且a1，已知函数fxlogax2,gxloga2x.

(1)判断fxgx的奇偶性，并说明理由；

(2)令函数hxfxgx，解关于x的不等式h2x3h3x1.

【答案】(1)偶函数，理由见解析

(2)答案见解析

【解析】（1）fxgx是偶函数.

证明：fxgxlogax2loga2x，

x20且2x0，即定义域为{x∣2x2}，定义域关于原点对称.

fxgxlogax2loga2xfxgx，

fxgx是偶函数.

2

（2）hxlogax2loga2xloga4x,hx为偶函数，

令t4x2,x2,2,t0,4.

当a1时，ylogat在0,4上单调递增，hx在区间0,2上单调递减，

22x32,4

由h2x3h3x1，得2x33x1且解得x1.

23x12,5

当0a1时，ylogat在0,4上单调递减，hx在区间0,2上单调递增，

22x32,14

由h2x3h3x1，得2x33x1且解得x.

23x12,25

414

综上所述：当a1时，不等式的解集为,1；当0a1时，不等式的解集为,.

525

17．（24-25云南曲靖·期中）2024年巴黎奥运会大众组马拉松女子组冠军是来自云南省昭通市并在厦门工作的32

岁女程序员黄雪梅，其完赛成绩为2小时41分03秒，马拉松比赛的标准长度是42.195千米，可测算黄雪梅在

这次马拉松比赛的平均时速约为15.7千米／时.

长跑爱好者通常使用配速指标来体现跑步的快慢，配速是指跑步者跑完每千米所需的时间，配速的单位通常以x

分钟／千米(min/km)来表示，例如：当某位跑步者的配速为5分钟／千米时，表示其跑完每千米所用的时长为5

60

分钟，换算后相应的时速为12（千米／时），配速越小速度越快.

5

(1)计算黄雪梅本次马拉松夺冠成绩的平均配速（单位：分钟／千米，保留小数点后两位数字），并写出时速为v千

米／时对应的配速x分钟／千米的解析式；

x

1

(2)经统计，业余长跑爱好者不同的配速x（分钟／千米）与血氧饱和度p有如下关系：p(x)mf，（m，

3

f为常数），且配速为5分钟／千米时的血氧饱和度为95%，配速为4分钟／千米时的血氧饱和度为93%，求m

和f的值；

(3)业余长跑者在血氧饱和度低于88时容易导致风险，这时必须放慢速度，使身体有时间恢复，按这个健康要

求，其配速的最小值为多少？（保留小数点后两位数字）

（参考数值：ln20.6931，ln31.0986）

60

【答案】(1)3.82（分钟／千米），x.

v

m2.43

(2).

f0.96

(3)3.11分钟／千米.

60

【解析】（1）由题意，黄雪梅的平均配速为3.82（分钟／千米）

15.7

60

时速为v千米／时，配速x.

v

5

1

p5mf0.95

x3m2.43

（）因为1，代入数值可得，解得

2p(x)mf4.

31f0.96

p4mf0.93

3

xxx

1110.088

（3）由（2）得p(x)2.430.96.令p(x)2.430.960.88，则有，

3332.43243

18ln8ln2433ln25ln330.6931

可得xlnlnln8ln243，所以x551.893.11.因此

3243ln3ln31.0986

xmin3.11，

即配速的最小值为3.11分钟／千米.

x

18．（2024安徽合肥）已知函数f(x)log221ax是偶函数.

(1)求a的值;

2

(2)设g(x)f(x)x，h(x)x2xm，若对任意的x10,4，存在x20,5，使得gx1hx2，求m的

取值范围.

1

【答案】(1)a

2

(2)(,2]

x

【解析】（1）因为f(x)log221ax是偶函数，

所以f(x)f(x)，

xx

即log221axlog221ax，

xx

log221log2212ax0，

x1

log221log212ax0，

2x

12x

x

log221log2x2ax0，

2

2x1

log22ax0

12x，

x

2

x

log222ax0，

x2ax0，

12ax0，

1

所以12a0，即a.

2

x1

（2）g(x)log221x，

2

因为对任意的x10,4，存在x20,5，使得gx1hx2，

所以gx在0,4上的最小值不小于hx在0,5上的最小值，

x1

因为g(x)log221x在0,4上单调递增，

2

所以，

gxming01

2

因为h(x)x22xmx1m1，

所以hx在0,1上单调递减，在1,5上单调递增，

所以，

hxminh1m1

所以1m1，解得m2，

所以m的取值范围为(,2].

2

19．（24-25河北）已知函数fxlog2x4log2x2.

1

(1)求函数fx在区间,8上的值域；

2

(2)若函数gxfxk有两个零点，，且40，求实数k的取值范围；

nm

(3)请问是否存在实数m，n，使得函数fx在区间m,n上的值域为,？若存在，求出实数m，n的值；

22

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2,7

(2)1,

(3)m2，n4

1

【解析】（1）设log2xt，因为x,8，所以t1,3，

=2

2

所以fxyt24t2t22，

则函数yt24t2在1,2上单调递减，在2,3上单调递增，

当t2时，y2，当t1时，y7，

所以函数fx的值域为2,7.

2

（2）设log2t1，log2t2，若函数gxfxk有两个零点,，则函数yt4t2k有两个零点，