几个三角恒等式-2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

2026苏教版高中数学必修第二册

10.3几个三角恒等式

基础过关练

题组一积化和差与和差化积公式的应用

1.(2025江苏徐州丰县中学学情调研)若cos%-cos2B=m,则sin(a+0)sin(a-p)=()

A.-mB.mC.《D.；

22

2.(教材习题改编)计算:变烂%=()

cos40'-co$200

A.-V3B-yC.yD.V3

3.(2025江苏无锡第一中学期末)已知角a,。满足cosa=^,cos(a+p)cos则cos(a-20)的值

为()

B.iC.lD.i

4.(2025湖南多校联考)已知sin(a+P)sin(a-[3)W，sina+sinP=m,则sina-sin。=()

J

A.-B--C,—D--

333m3m

5.(2025上海复旦大学附属中学月考)若对满足a±摩k-36()o,k£Z的任何a、口都有

叱号=*^,则数组gn尸________.

cosa-cos/ysi能上

6.(2025安徽阜阳质量统测)己知sina+sinp=a,cosa+cosp=b(ab^0),则

cos(a-p)=,sin(a+0)=.

题组二半角公式和万能公式的应用

7.(2025江苏苏州第三中学月考)若tana=2"a<g,则cos^等于()

A.eB.aC「亚D.四

5555

8.(2024江苏南通启东期初考试)已知sin(a+^)=2sin(af),则sin(2a-^)=()

鼻虎迎

ABR.而cr.而7D.—70

9.(2025四川绵阳中学月考)已知sin(-g+a)=—*a£(・m，°)，则sinQ+j)=

10.⑴己知：：：：：：--5,求3cos20+4sin20的值；

(2)已矢11sinasin^-a^=3cosasin(a+)求cos(2a+J的值.

能力提升练

题组一积化和差与和差化积公式的应用

1.(2024九省联考模拟)已知角A,B,C满足A十B十CF,且cosA+cosB+cosC=l,则(l・cos

A)(l-cosB)(l-cosC)=()

A.OB.lC.V2D.V3

()

A.tana=-1B.sin(p-a)=-弋

C.a+B=^7D.cosacosB=--

41()

3.(多选题)(2025湖南汨罗第一中学开学考试)已知O为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cos

P,sinp),P3(cos(a+p),sin1(a+p))^(1,0),M()

\.\OP；\=\OP；\B.|哂=|硒|

CVAOP^=OP^OP^D.(西+配)砥W2

4.(2025安徽皖豫名校联盟模拟)已知cos管+2a)+4sin2(：-a-p)=(sinP-cos疗+1,其中

a+算k?i(k£Z),且tana+3tanp=4&-2tan(a+p),贝ijtan2a=,

sina+si叨

5.已知tany=

cosa+cos/f

⑴若a+pq求tany的值;

o

cosacos/?«cos/?cosy+cos«cosy

(2)若a，B,y都为锐角，求的最大值.

Y

题组二半角公式与万能公式的应用

6.已知0<e],f（0）=l+m+m•咤+V（m>0）,贝IJ使得f（8）有最大值的m的取值范围是（）

2sin”cost/

A.&2)B.g,3)C.[l,3]D.卜]

7.（2024湖北高中名校联盟第二次联合测评）已知pw（0,3,且3sina=sin（2「.a）,则tana的最

大值为（）

A.J?B.它dD.立

4444

8.（2025吉林长春吉大附中期末,）若a£（0,3,且sina,cosa是方程5x2-7x+y=0的两个根，则

a

COS-=.

2-----------------

9.（2024山东高中名校统一调研）已知4ABC的内角为A,B,C,且满足cosg+2sin竽=0^J

上7十三的最小值为_______.

sinJsine

答案与分层梯度式解析

10.3几个三角恒等式

基础过关练

I.Asin(a+p)sin(a-p)=--(cos2a-cos2p)=--[(2cos2a-1)-(2cos2p-1)]=cos2p-cos2a=-m.

C40°+20°.40°-2006

sin400-sin20。_2cos?_小30。_彳__rr

2.A

cos40°-cos200--sin30。-1"-''

3.Ccos(a+p)cosp=^[cos(a+p+p)+cos(a+p-p)]=[cos(a+2p)+cosa]=：\cos(a+2为+日=上

所以cos(a+2p)=|-^=^.

4.C由sin(a+p)sin(a-p)=^得一;(cos2a-cos20)=：Wsin2a-sin2B=：,

JJ

又sina+sinp=m,所以结合平方差公式可得sina-sin。=三

5.答案(1,0)

解析因为ai算k•360°,k£Z,所以争k•180。火£Z,即sin?#),

3.a^-fia-fia-Ba・B

$ina+sin/?2sm丁号cos甘nico^—

则一靛十n,

cosa-cosfl-2sin^sin^sin竽sin-r-

则m=l,n=0,即(m,n)=(l,0).

易错警示应用和差化积公式时要注意，只有系数的绝对值相同的同名三角函数的和与

差才能直接运用公式化成积的形式，若是一正弦与一余弦的和或差，则需先利用诱导公式

将其化成同名函数后，再运用公式化成积的形式.

6效案小启22ab

0・口杀2'『+启

解析由sina+sinp=a可得(sina+sin防飞2,即sin2a+sin2p+2sinasinp=a2,

由cosa+cosP=b可得(cosa+cosp)2=b2,BPcos2a+cos2P+2cosacosp=b2,

两式相加可得2+2(sinasin(3+cosacos|3)=a2+b2,

即2+2cos(a-。尸a?+b2,解得cos(a-「)-；

因为sina+sinp=2sin呼cos笠

cosa+cosp=2cos^cos^=b,

2siiA^cosiya

所以tan?

2cos^cos竽

,."+R"A

,।2sin~^cosV-21an等_2$_2ab

所以sin(a+p)=—-为

sin--——taM争■一而

7.C因为tana=^-=2\/6,sin2a+cos2a=1,

cosa

所以cos2a=-7.

X7t<a<y，所以cosa=-g，WT，故cosm半

8.C由sin(a+；)=2sin(a・3可得?sina+^cosa=V5sina-V2cosa,所以tana=3,

则由万能公式得sin2a就片含W，

cI-tan2aI-324

cos2a=.......-

l+tan-ai+32?

故sin(2a-J=[si•nc2a---a-cos2ra=——五x。-+，——6x*-=—7V2

2252510

2V5-\/T5

9.答案

10

解析由sin（q+a）=-诃得cosa=|,

因为a4.冽,所以沔（-沙）,则COSAF|N苧，型=-旧工一1

林•，0_I_叫近.a工\aV3/6、12>/52V5-VT3

故sm6+。=矛叱+/os广丁卜彳）+?丁=^^.

1°・解析⑴■:米j•黑卜，

tan0=2.

LB*鬻=3，sin2O2lan0_4

l+tan^~?

3cos20+4sin29=-1+y=；.

(2)由题意得sinasing・a)=sinasinb(a+J]=sinacos(a+J=3cosasin(a+2

易知cosa#0,cos(a+勺翔,

所以tana=3tan(a+)

tana+叫_3tana+6

则tana=3x

Hanatanf呼而:

所以tan2a+2\/5tana+3=0,所以tana=-V3,

贝ijtan(a+J

3

l-tan2((r^)_j

故cos(2a+=cos2(a+2

6.1+tan22,

能力提升练

l.A因为A+B+C=7t,所以cosC=cos[兀-(A+B)]=-cos(A+B).

由和差化积公式及cosA+cosB+cosC=l,得

2cos—cosW-cos(A+B)=1,即2cos早cos—=1+cos(A+B)=2cos2

所以cos—(cos1-cos号)=0,

HPsin：f-2sin|sin(-升。，

即sin：sinfsin白0,

即si《=0或sin5=0或sin1=0.

若sing=0,贝ljcosA=l-2sin2%l〃iJ(l-cosA)(1-cosB)(1-cosC)=0,

同理，当sing=0或sin^=0时，都有(l・cosA)(1-cosB)(1-cosC)=0.

2.BD对于A,因为gvav兀,cos2a=—2

所以tana=-庐季=2故A错误；

yjl+cos2a

对于B,由己知得

-n<-a<-

g,乂0＜0＜兀,所以一7ivp-a〈T，乂cos(0一a)=一个＜0,所以一方＜0一a〈-g,所以sin(p-a)=-Vl-cos2(p-a)

，故B正确；

对于C,由£vaV7t,cos2a=-(可得兀＜2a〈F，

则sin2a=g

故sin(a+P)=sin[2a+(P-a)]=sin2acos(p-a)+cos2asin(p-a)=-Tx(4)+(-M等哼

易得占a+。咛，所以a+忏手故C错误;

对于D,根据C选项知a+0专，

所以cosacos尸。“。+*。叱)=夫|弓Y匚哈故D正确.

3.ABD对于AJO尸；|=Vcos2a+sin%=l,|OP；|=Jcos?[g(a+p)+sin2t(a+0)]=l,

故|"]|=。夕31,故A止确;

对于B,P]，3=(cos-；(a+P)-cosa,sin；(a+0)・sina),

故[P]Pj2=|cos1(a+p)-cosaj+[sin|(a+p)-sina]

=2-2[cos^(a+P)cosa+sin^(a+p)sin«j

=2-2cosf|(a+p)-aj=2-2cos^(p-a),

P2P3=(cos；(a+p)-cos^,sin^(a+p)-sin^\

故|尸2P3片[os\(a+(3)-cos/?j+[sin；(a+P)-sin/yj

=2-2[cosg(a+p)cos/?+sin1(a+p)sin^]

=2-2cos[|(a+P)-p]=2-2cos^(a-P),

由于cosg(0-a尸cos*a-伊，故|尸1。；|=层尸，故B正确；

对于C,正硒=(1,0)・(cos；(a+p),sini(a+p))=cos#a地,

OP\OP2=(cosa,sina)(cosp,sinp)=cosacosp+sinasinp=cos(a-p),

因为cos；(a+0),cos(a-p)不一定相等，故ZH•而^丽f•而^不一定相等，故C错误；

对于D,由和差化积公式可得

(OP\+OP2),OPy=(cosa+cosp,sina+sinp)-(cos|(a+p),sinJ(a+。))

=(cosa+cosp)cos^(a+p)+(sina+sinP)sin1(a+p)

=2cos2^cos?+2sin2?cos，

2222

=(2cos2#+2sin2cos?=2cos^<2,

当且仅当a=P十4k兀,k£Z时,等号成立，故D正确.

4.答案2V2

解析cos(?+2a)+4sim=sin2a+2-2cosg-(2a+2p)卜sin2a+2-2sin(2a+2|3),

(sinp-cosp)2+l=2-sin20,

所以sin2a+sin2p=2sin(2a-2p),

sin2a+sin2p=2sin(a+P)cos(a-P),

2sin(2a+2p)=4sin(a+P)cos(a+P),

因为a+际k7r(kWZ),故sin(a+B)/O,则cos(a-p)=2cos(a邛)，贝ij3sinasinp=cosacos。，即tan

atan

所以tana+2tan(a+P)+3tanp=tana+3tan=4lana+6tanp=4tan

解得tana=4,故tan2(/=斗=2应.

26

3.(jr-pa/

sina+sin/?zsin-pcos-y

(1)tany=

5.解析a-p=tan

ccvz+cns/?-AiCOS-y-CO9-^-

因为a+吃，所以tany=tan=2-V3.

6

(2)因为lany=tan?，所以丫4k7i=-,kWZ,则2y+2k兀=a+0,k£Z,

又因为a，B，y均为锐角，所以2y=a+P，

pi|jcos«cosn+cos夕cosy+cosacos?

、cos2y

1(cos(a+/J)+cos(«-/?)]+(cosa+cos/j,)cos)'

cos2y

|{cos(a+/?)+cos(ft-^)]+2cos^cos^cosy

cos2y

!(cos2)H-1)+2cos}-cosy

-~~------=3,

(当cos(a-p)=l时，取最大值)

当且仅当《我2%即0寸寸时，等号成立,

因此q史塔笆经咨的最大值为3

cos-y

6.A

思路分析

解析f⑻=l+m+m・"+吗

sin，cos。

=l+m-mtan?一匕)，令tan沁贝ij0<t<1,

21+tanj2

原函数可转化为g(t)=l+m-mt-^=2+2m-[〃?(f+l)+1.

因为m>0,t>0,所以m(t+l)-+4>2V2^,

/+1

所以g(t)S2+2m-2怎，当且仅当1『高时等号成立，

若g(t)在(0,1)上有最大值，贝J等号必然成立，

又因为当y(0,1)时痛aE(1,2)，所以m的取值范围为Q,2).

7.B由题意得3sina=sin2[3cosa-cos20sina,

即(3+cos2p)sina=sin213cosa,

易知85*。，3+必2刈,贝喷=急.

因为p£(0,9,所以tanP>O,

2tan尸

故tan普=耳1=/=，^3=,当且仅当tan忏应时等号成立),

3+cos2/J,,l-tanz