人教版高中数学必修第二册 平面向量的概念【原卷+答案】

06

6.1平面向量的概念

A级必备知识基础练

1.（多选题）［探究点一2024山东荷泽高一期末］下列说法错误的是（）

A.向量就是有向线段

D.若e।4足单位向量，则|e11=Ie?|

C.\CD\=\DC\

D.若|而|>|而I,则而>CD

2」探究点三］给出下列命题:①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相

等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点

一定共线.其中正确的是（）

A.①②B.②

C.②③D.③④

3.［探究点二］若|而|二|而|且瓦J=而，则四边形ABCD的形状为（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

4.（多选题）［探究点三］下列说法正确的是（）

A.若|彳吊二以方|且瓦i=则四边形ABC。是菱形

B.在平行四边形ABCD中，一定有而=DC

C.若a=b,b=c,则a=c

D.若a//b,b//c,则a〃c

5.（多选题）［探究点一］下列说法正确的是（）

A.向量不能比较大小，但向量的模能比较大小

B.|a|与|b|是否相等与a与b的方向无关

C.向量的模一定是正数

D.若向量而与向量而是共线向量，则4,BC。四点在一条直线上

6.［探究点二］在四边形A3CO中=说，且近，近是单位向量,则四边形A8C。是.

7.［探究点三］如图所示,4x3的矩形（每个小方格的边长均为1）,在起点和终点都在小方格的顶点处的

向量中，试问：

（1）与血相等的向量共有几个？

⑵与XS平行且模为企的向量共有几个?

（3）与同方向相同且模为3a的向量共有几个?

B级关键能力提升练

8.已知a为单位向量，下列说法正确的是（）

A.a的长度为一个单位长度

B.a与0不平行

C.与a共线的单位向量只有一个（不包括a本身）

D.a与0不是平行向量

9.已知四边形A8CD下列说法正确的是（）

A.若而二反，则四边形ABCO为平行四边形

B.若|而|二|而则四边形ABCD为矩形

C.若而II前，且|枇|二|前|,则四边形A8C。为矩形

D.若|而|二|而且而||正则四边形A8CD为梯形

10.（多选题）如图,在菱形ABCD中,ND4B=120。,则以下说法正确的是（）

A.与而相等的向量只有一个（不包括而本身）

B.与而的模相等的向量有9个（不包括而本身）

C.前的模为方?模的百倍

D.而与而不共线

11.给出下列四个条件:①a=b;②|a|二|b|;③a与b方向相反;④|a|二0或|b|二O.其中能使a〃b成立的条

件是.（填序号）

12.已知|而|=1而|=2,若ZABC=90°M\BC\=.

13.有下列说法：

①若向量a与b满足arb,则a一定不与b共线；

②在同一平面中，若I而1=1而1=1而I和，则点在以4为圆心，以|而|长为半径的圆上;

③在QA8C。中，一定有而=BC;

④共线向量是在一条直线上的向量.

其中所有正确的说法是.（填序号）

14.已知在四边形ABCD中，而=反，且|而|=|尼l.tan。二四,判断四边形ABCD的形状.

15.中国象棋中规定:马走“日”字，如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到4处,也可跳到A?

处，用向量标与矶表示马走了“一步”,试在图中画出马在仇C处走了“一步”的所有情况.

C级学科素养创新练

16.（多选题）如图所示,四边形4BCDCEFGCG，。是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（）

A.而|二|西

B.丽与丽共线

C.而与说共线

D.CD=FG

17.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点从优点C为小正方形

的顶点，且I而1=75.

（1）画出所有的向量而；

（2）求|屁|的最大值与最小值.

61平面向量的概念

1.AD向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故A错误;由单位向量的定义可知,回|二。|,

故B正确;因为CO=OC,所以|而|二|比|,故C正确;因为两个向量不能比较大小，故D错误.故选

AD.

2.B①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；

②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；

③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；

④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，有向线段所在的直线可能平行,故错误.故选B.

3.C由瓦5=而知=CO且4B〃CO,即四边形ABCO为平行四边形.又因为|而1=1而|,所以

四边形ABC。为菱形.

4.ABC对于A,由瓦5=而，知人8=CO且人B〃CQ,即四边形48CQ为平行四边形，又因为

|而|二|而|,所以四边形ABCD为菱形，故A正确;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平行且相

等，通，反的方向相同,所以前=反做B正确;对于C,由向量相等的定义知，当a=b,b=c时，有

a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立，故D错误.故选ABC.

5.AB对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小，向量的模可以比较大小,故选项A正确;对

于B,|a|与|b|分别表示向量a与b的大小，与a,b的方向无关,故选项B正确;对于C,向量的模可

能为零，故选项C不正确;对于D,若向量而与向量而是共线向量,表示通与前的有向线段可能

不在同一条直线上,得不出ARC,。四点在一条直线上,故选项D不正确.故选AB.

6.菱形由而=方？可知四边形ABCD是平行四边形，

又彳瓦而是单位向量，所以|而|二|而|=1,所以四边形A8CO是菱形.

7.解(1)与向量而相等的向量共有5个(不包括而本身).

(2)与向量而平行且模为企的向量共有24个.

(3)与向量而方向相同且模为3注的向量共有2个.

8.A•・•已知a为单位向量,・・・a的长度为一个单位长度，故A正确；

a与0平行，故B错误；

与a共线的单位向量有无数个，故C错误;零向量与任何向量都是平行向量，故D错误.

9.AA选项，若而=反，则|而|二|反|且而||反，则四边形ABC。为平行四边形,A正确；

B选项，如图,|彳？|二|而|=2,但是四边形ABCD不是矩形,B错误；

C选项，若而II近，且|而|二|相|,则四边形AAC。可以是等腰梯形,也可以是矩形，故C错误；

D选项，若|通|二|而且而||正，则四边形ABCO可以是平行四边形，也可以是梯膨,D错误.故选

A.

10.ABCA项,由相等向量的定义知，与而相等的向量只有沆，故A正确:B项，因为

=D4=4C,所以与血的模相等的向量除而外有9个，故B正确;C项，在Rt^ADO中,

ND4O=60。,则。0二停D4,所以8。二8。4,故C正确;D项，因为四边形ABCQ是爰形，所以彘与

科共线，故D错误.

11.①③④若a=b,则a与b大小相等且方向相同，所以a〃b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等，而

方向不确定,因此不一定有a〃b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反，

则有a〃b;零向量与任意向量平行,所以若怙|=()或|b|=(),则a〃b.

12.y[3由勾股定理可知,|8C|二JMC『・H8|2=百，即|前匚百.

13.②③①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故

①不正确；

②显然点8c。到点A的距离都等于|彳所，故②正确；

③在平行四边形ABCD中前|二|正而与近平行且方向相同,所以标=近，故③正确；

④共线向量可以是在一条直爱上的向量.也可以是所在直线互相平行的向量,故④不正确.

14.解・・•在四边形ABCD中，而=~DC,.\ABJDC,

，四边形ABCD是平行四边杉.

Vtan口=®:.ZB=ZD=60°.

又|而|二|而

・•・△48C是等边三角形.

・・・人8=“C,故四边形48C。是菱形.

15.解根据规则，画出符合要求的所有向量，马在