2025-2026学年湖南省部分校高三下学期5月仿真训练数学试题 含答案

/高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】−3i(−8−72.若集合，则的子集个数为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【解析】【详解】因为集合A={x∈N|−3<3.若，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由，得a=log794.直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定【答案】A【解析】【详解】圆的圆心为，半径为2．因为圆心到的距离为1×5+3×0+m12+325.如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（）A.18.12cm B.15.1cm C.14.3cm D.7.55cm【答案】B【解析】【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为,依题意，ca=811，因a故2b=2故该椭圆的短轴长约为15.1cm．6.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由，，的面积为12absinC=42因为是锐角三角形，所以．由余弦定理得，则．7.已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，．因为BP=CQ,BP//所以//，.所以，，所以平面截正方体的截面为平行四边形PB1C因为，PB1所以该截面的周长为2B8.诗句”花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】5个字的全排列种数为，“落”与“少”放在第二个和第五个位置的排列种数为，所求不同的排列种数为．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数的图象关于直线对称的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【详解】的图象关于直线对称，A正确．令2x−4=kπk∈Z，则x的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，故C错误．令π6x+π6=π2+k10.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且向量，，则（）A. B.的渐近线方程为C. D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】根据已知可得F2F1，2【详解】因为PF1−PF2=F由的渐近线方程为y=±24x=±26因为是的中点，所以，C正确．由，则时，所以是直角三角形．由PF1−PF2=2PF111.已知函数，则（）A.是奇函数B.0可能是的极值点C.可能有2个极值点D.当在上有极大值时，的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，判断A；通过分析是否是的变号零点，判断是否是的极值点，判断B；利用导数，结合函数的奇偶性，分析函数的极值点个数，判断C；将在上有极大值时，转化为在上有解，求出的取值范围，判断D.【详解】因为的定义域为，且f(−x)=x3−ax+2f'(x)=−3x2+a−2cosx，由，得．因为是偶函数，所以0不可能是令，则g'x当时，，所以，又−4x<0，故g'(x当时，−6x<−3π，，得.所以f'(x当时，，当时，，则在上有1个变号零点，所以在上有1个极值点．又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确．当在上有极大值时，在上有解，因为在上单调递减，所以f'(0)=a−2>0,f'三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为，，高为上底面边长与下底面边长的等比中项，则该正四棱台的体积为______．【答案】【解析】【详解】由题意得，正四棱台的高为2×22所以该正四棱台的体积为1313.如图，点A，B均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为______．【答案】【解析】【详解】设OA，OB与轴正半轴所成的角分别为，，则.由题意得，，且为第一象限角，则，，因点的纵坐标与横坐标分别为与，则sinβcos故点的纵坐标与横坐标的比值为.14.某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得1张卡片，每集齐2张卡片可升1颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关6次，则他升星颗数的期望为______．【答案】##【解析】【详解】设小张获得的卡片数为，升星的颗数为，则，PYPYPYPY故EY所以他升星颗数的期望为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下：年份20212022202320242025年份序号x12345运营里程y4.04.24.54.85.0（1）求关于的经验回归方程；（2）预测2026年我国高铁的运营里程．附：在经验回归方程中，b^=i【答案】（1）y=0.26（2）5.28万公里【解析】【分析】（1）计算年份序号和运营里程的平均值，利用最小二乘法公式求回归系数和，写出经验回归方程；（2）将预测年份对应的代入回归方程，计算得到2026年运营里程的预测值.【小问1详解】由题意得，y=4+4.2+4.5+4.8+5则b^=a^=故关于的经验回归方程为y=0.26x+3.72【小问2详解】当时，y=0.26×6+3.72=5.28．故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里．16.已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为．（1）求的方程；（2）过点的直线与交于A，B两点，A，B在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）根据抛物线的方程写出焦点的坐标及准线方程，从而求得关于该准线的对称点的坐标，求得的值，得到的方程；（2）设直线，与抛物线方程联立，由韦达定理结合梯形中位线定理，得到关于的方程，求解可得的值，从而求得直线的方程.【小问1详解】由题意得，的准线方程为，则p2得．故的方程为．【小问2详解】易得的斜率存在，设，，．由y=kx+3,得Δ由题意得AA1因为AA1（或AA1所以．故的方程为或．17.已知函数，．（1）证明：．（2）讨论的单调性．（3）若，求的取值集合．【答案】（1）的定义域为，．令，得，则在上单调递增，令，得，则在上单调递减，所以．故．（2）当时，在上单调递减；当时，在−∞,1aln2a上单调递减，在1（3）【解析】【分析】（1）对求导，由导数符号得的单调性，从而得最大值，故；（2）对分情况讨论，再根据导数符号得到的单调性；（3）已知恒成立，对分情况讨论的最小值，再结合（1）中的结论求出的取值集合.【小问1详解】略.【小问2详解】由，得g'(x当时，，在上单调递减．当时，令，得，则在−∞,1aln令，得，则在1aln2a【小问3详解】当时，在上单调递减，当时，，不符合题意．当时，g(x)由（1）可知f(x)=x因为，f2a=2a−所以，得．故的取值集合为．18.在中，，，，分别为AC，AB的中点．将沿线段DE折起，使点到达点的位置，连接PB，PC，得到四棱锥，取BC的中点，连接PF．（1）证明：．（2）如图1，当平面平面BCDE时，求二面角的大小．（3）如图2，设二面角的大小为，在折叠过程中，即在上变化时，求的重心在空间中的运动轨迹的长度．【答案】（1）证明：如图，取DE的中点，连接PO，OF．在中，因为，F为BC的中点，所以AF⊥BC，因为D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥BC，所以AF⊥DE，在折叠后的四棱锥P−BCDE中，．因为PO∩OF=O，PO，所以平面POF．因为平面，所以；（2）（3）【解析】【分析】（1）通过线面垂直证明线线垂直；（2）找到二面角的平面角，从而求出角度大小；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】略【小问2详解】解：，∴，，∴二面角的平面角为．∵PO⊥DE，平面平面BCDE，平面平面，平面BCDE，又平面BCDE，．由题意得，∴，即二面角为；【小问3详解】如图，取DE的中点，连接PO，OF．由（1）可知，，则．以为原点，建立空间直角坐标系，则，，．设．由重心性质可得x=2cosθ+0+23=为定值，∴重心在固定平面内运动．由x−23=23cos∴点在圆心为23,1,0，半径又，∴点在空间中的运动轨迹的长度为．19.已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列．（1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由．（2）若为的衍生数列，证明：．（3）若为的衍生数列，证明：．【答案】（1）不是，，求导得，则，因为fa所以fa所以不是的衍生数列.（2）当时，，则f'an=fan+1−fa又，，设，则，则，即，则.（3）证明：，由fan+1令，得，，将