四边形之矩形与正方形-【考前20天】中考数学冲刺复习练（含答案）

四边形之矩形与正方形-【考前20天】中考数学终极冲刺专题

一、选择题

1.如图，正方形/ACQ由四个全等的直角三角形（△ABEqBCF,△CDGQ04"）和中间一人小正方形

EFGH组成,连结8",若R7=1,CO=5,则5〃的长为（）

A.V5B.2V2C.3D.同

2.如图，在矩形ABCD中，BOAB,先以点A为圆心，AB长为半径画弧交边AD于点E；再以点D为圆

心，DE长为半径画弧交边DC于点F；最后以点C为圆心，CF长为半径画弧交边BC于点G求BG的长，

只需要知道（）

A.线段AB的长B.线段AD的长C.线段DE的长D.线段CF的长

3.如图，正方形49co由四个全等的直角三角形（△48尸，ABCE,△CD”，△OAG）和中间一个小正方形

EFGH组成，连接DF,CF.若DF=DA=2遥,则CF的长为（）

BC

A.2遍B.4C.A<10D.2V2

4.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,点O为对角线BD的中点，E为线段AB上一点，连结E0,并

延长交DC于点F,以点F为圆心，适当长为半径画弧，交FD亍点M,交EF于点N。再以点N为圆心，

MN长为半径画弧，两弧交于点P,连结FP,并延长交线段AB丁点Q。则下列两个命题中说法正确的是

（）

①[QEF为等腰三角形：②设AE长为x,BQ长为y,则（4-x）（4-y）=4。

第1页

AEQB

A.①正确，②正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①错误，②错误

5.如图，E是正方形力BCD的边CO上一动点（不与C,D重合），连结4E,以AE为边作正方形4EFG,点M

是AF的中点，连结CM.给出下列结论：®2CM=V24F:②点B,M,D三点共线，则下列判断正确的是

()

A.①，②都对B.①，②都错C.①对，②错D.①错，②对

6.如图，在矩形/8CQ中，E是3c上一点，BE=AB,EF工BC交AD于点、F,交对角线力。于点G,连接

BG,DG,DE.若求阴影部分的面积，则只需要知道（）

A.△4DG的面积B.△4BC的面积

C.四边形力8箱的面积D.四边形的面积

二、填空题

7.给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的4倍，那么我们

称这个矩形是给定矩形的“倍倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为2a和a时、其“倍倍矩形''的对角线的长度

是.

8.如图，A,B分别是y轴和x轴上的一点，以48为斜边构造等腰直角A/IBC,点D的坐标是（0,6）,连结

CD,线段CO的最小值是.

第2页

点E,F,G分别在边4B,BC,CD上，且｛F1EG.当CF=2BF时，EF+

10.如图，在中，Z-ACB=90°,AB=5,AC=4,D为48边上一动点，将线段CD绕点C按逆时

针方向旋转90。得到线段CE,连接8E,贝UBE的最小值为

11.如图，在矩形4BCD中，点。为矩形H8CD对角线BO的中点，点E为40上一点，点F为射线CO上一■点，若

CF=FE=EA,BD=2,贝UCF+鱼E。的最小值为.

12.如图，在正方形48CD中，48=4,点E是边的中点，点P、Q是8C边上的两个动点且PQ=1,连结

PE、DQ,则PE+OQ的最小值为________.

三、作图题

13.如图，在△4BC中，AB=AC,4G为△ABC的外角4B4E的平分线，BF1AG,垂足为尸，点。为BC上一

点，连接。儿交4B于点。.

第3页

E

BDC

（1）在不添加新的线的前提下，请增加一个条件:，使得四边形MB。为矩形，并说明理由;

（2）若四边形力F80为矩形，请用尺规作图的方法作一个菱形力8PC,使8c为菱形的一条时角线.（保留

作图痕迹，不写作法）

四、解答题

14.追本溯源

题11）来自于课本中的习题，请你完成填空，并完成题（2）：

（1）如图1,把一个长方形纸片48co按如图方式折一下，得到四边形48EF是;（填“特殊的

四边形”的名称）

拓展应用

（2）如图2,将图（1）中的长方形纸片过点。的直线折直，使得点C恰好落在E尸上的H处，0G为折痕.若

15.如图，△4BC中，AB=AC,4D平分4B4C,BE||AD,AE1AD.

（1）求证：四边形是矩形;

（2）作于F,若8c=4,AD=3,求EF的长.

16.如图，0是矩形ABCD的对隹线的交点，E,F,G,H分别是0A,OB,0C,0D上的点，且AE=

BF=CG=DH.

第4页

AD

（2）若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，且DG口AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面

积.

17.【问题原型】如图①，在△ABC,AB=AC=5,BC=6,求点C至必8的距离.

【问题延伸】如图②，在△ABC,AB=AC=10,BC=12.若点M在边8C上，点P在线段力M上，连

结CP,过点P作PQ1A8于Q,则CP+PQ的最小值为.

【问题拓展】如图③，在矩形ABCO中，43=2百，点E在边AD匕点M在边A8上，点F在线段CM

上，连结EF,若々BCM=30。，则"+2EF的最小值为.

五、实践探究题

18.

（1）【新知探究】

对于正数a,d我们称嘤为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.请观察卜面的表格，并解答卜

面的问题：

%b的值等的值的值

a=2,b=854

a=4,b=4乙4

a=6,b=2乙m

a=5,b=13人v'5

①表格中的m=▲；

②根据表格，猜想Q+b与2面的大小关系（）;

A.a+b>2\[abB.a+b<2>/abC.a+b>2\[abD.a+b<2>[ab

③当a,b满足条件：▲时,a2+b2=2ad：

(2)【理解应用】

第5页

①已知，10VXV30,当％=▲时,代正式(％-10)(30-X)取得最大值是▲

②如图1,已知，在R"43。中，乙。一90°,AB=6,求△H3C周氏的最大值.

C

如图2,已知正方形48C。的边长为4,P为CO边上的动点，R4交BD于E,过点E作E尸JL4尸交BC边

于点F,连AF交BD于点G,则△47E面积的最小值是▲.

困2

六、阅读理解题

19.阅读下面材料:

我遇到这样一个问题：如图1,在正方形/1BC。中，点E、F分别为OC、8c边上的点，£.EAF=45°,连接

EF,求证：DE+BF=EF.我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到

同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将4

4DE绕点A顺时针旋转90。得到△A8G(如图2),此时GF即是0E+8F.

图1图2图3

请回答：在图2中,乙G4F的度数是_

参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题:

第6页

(1)如图3,在直角梯形A8C。中，AD||BC(AD>BC),zD=90°,AD=CD=10,E是CD上一点，若

^BAE=45°,DE=4,求BE的长度.

(2)如图4,中，AC=4,BC=6,以为边作正方形4DEB,连接CD.当上ACB=

时，线段C。有最大值，并求出CD的最大值.

七、综合题

20.已知平行四边形A8CD,乙840=。，点E为对角线80匕一动点，连接AE,以AE为一边在AE的右侧作

△4E凡使44E小=a,连接。尸.

图③

(1)若AB=40且a=60。,当AE=E尸，如图①.求此时乙4OP度数;

(2)若4B=40且a=90。，当AE=EF,BE>DE时，如图②，判断C,D,F三点是否共线并说明理

由;

(3)如图③若48=4,40=4百且a=90。，^AFE=30°,当△CEF是以EF为底的等腰三角形时，直

接写出△8CE的面积.

第7页

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，

・・・AB=CD=5,EH=GF=1,

VRtDABEORCAHD,

ADAEB=DAHD=90°,BE=AH,

设BE=AH=x,贝l」AE=x+l,

在RtDABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2,gp(x+l)2+x2=52,

解得x=3,

；・BE=3,

在RtjBEH中，BH=7B£2+HE2=V32+I2=710-

故答案为：D.

【分析】由正方形的四边相等得AB=CD=5,EH=GF=1.由全等三角形的对应边相等得BE=AH.设

BE=AH=x,贝ljAE=x+l,在Rt匚ABE中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出BE的长，最后

在RtDBEH'I',利用勾股定理算出BH的长即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，

・・・AB=CD,AD=BC,

VAB=AE,DE=DF,CF=CG,

・•・设AB=AE=CD=x,CF=CG=y,

.*.DE=DF=x-y,

AD=BC=x+x-y,

.\BG=BC-CG=2x-y-y=2(x-y)=2DE,

・••求BG的长，只需要知道线段DE的长即可；

故答案为：C.

【分析】根据矩形的对边相等可得AB=CD,AD=BC,结合图可设AB=AE=CD=x,CF=CG=y,求得

BG=BC-CG=2x-y-y=2(x-y)=2DE,即可得出结论.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：XBCE,△CD",△D4G是四个全等的直角三角形，

:・DG=AF=BE,AG=BF=CE,乙AGD=乙BEC=90%

•・•正方形EFGH中，EF=FG,LFGH=90%

第8页

：./-AGD=乙FGD=90°,

VDF=DA=2>/5，DG=DG,

：.Rt^ADG三RtAFDG(HL),

：.AG=FG,

：.DG=AF=2AG,

*：AG2+DG2=AD2,

••・AG2+(2AG)2=(2旬之，

：.AG=2,

：.CE=EF=2,

・"F=y/CE2+EF2=2a

故选：D.

【分析】

由于D/1=DF、乙4G。=90。，则由等腰三角形三线合一得4G=FG,再由全等三角形的性质如DG=AF,则

由勾股定理得4G=2,即CE=EF=2,再利用勾股定理即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：由作图可得□MFN=DPFN,

XVABCD是矩形，

AABDCD,AB=CD,

ADQEF=DEFD,□EBD=CBDF,

/.□QFE=［：QEF,

•••QE=QF=8-x-y,故①正确；

又.•♦点O为对角线BD的中点，

・・・BO=DO,

又•・•匚QFE=UQEF,□EBD=JBDF,

ADOBEDDODF,

・・・BE=DF,

・・・FC=AE=x,

过点Q作QGBC于点G,

第9页

AEQB

则BCGQ是矩形，

・・・CG=BQ=y,

/.FG=x-y,

在RtCJQFG中,QG¥FG2=QF2,即42=(8-x-y)2-(x-y)2,

整理得16=(8-x-y+x-y)(8-x-y-x+y),即(4-x)(4-y)=4,故②正确;

故答案为：A.

【分析】根据矩形的性质可得［QEFMEFD,根据作图得到匚MFNYPFN,即可得至I］匚QFE=［QEF,进而得

到QE=QF判断①；然后证明［gBEZIUODF,即可得到BE=DF,即可得至ljFC=AE=x,然后过点Q作

(?6口8(:于点6,即可得到FG=x-y,再在RPQFG中根据勾股定理解题即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：如图所示，连接4C,8QCF,

•・•四边开0ABe。和四边形AEFG是正方形，

：.Z.DAC=/-EAF=45°,AC=y[2AD,.AF=y^AE，

•.>r-.,Ar"D4c

••Zn.DAE=Z.CAF.而=而，

△ADE^△ACFi

：.^ACF=/-ADE=90°,

*：AM=FM,

-CM=^AF=^AE^

即2cM=V2AE;

②如图所不，连接BD,EM.

第10页

AD

'：Z.AEM=90。、AE=FE.AM=FM,

-9•EMLAF.EM=AM,AE=0AM

・•・乙AME+4。=180°

•"、D、E、M四点共圆，且N4EM=45。

：.^ADM=AAEM=45°

•・•正方形ABCD中ZJICO=ABAC=45°=£.FAE.AC=©AB,

....〜LABAM

•=nZ.CAE^

△ABM〜△ACE»

・••乙4BM=乙4CE=45°,

•・•四边形ABC。是正方形，

，乙48。=乙408=45°,

・・・B、M、D三点共线，

故选：A.

【分析】

…ADAF1

①连接力C、CF,由正方形的性质知，D4C=/E”=45。、力=养=衣，则可证△AOE〜△46,则

^ACF=^ADE=90°,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CM=故结论正确；

②连接BD,EM,则△4ME是等腰直角三角形，且乙4EM=45。、^AME=AD=90°,则可证明点

A.M、E、。四点共圆，则由圆周角定理得乙40M=45。；再利用SAS证△A8M〜△4CE,则乙48M=

Z-ACD=45°,因为正方形ABCD中=乙4DB=45°,则B、M、D三点共线.

6.【答案】D

第11页

【解析】【解答】解:

由FElCD得,S&GED=S&GEC，

:.S阴=SMEC,

由GEDAB得，DGECEIEIABC,

.GE_EC

••丽一反'

即浮奇

・・GE书

则S矽=SAGBC=*GE.BC=^•芾•（z+y）=1xy,

又•:ScDFE=ECDC=xy，S第,

故答案为：D.

【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为DGBC面积，设1>8£=乂，EC=y,通过相似将GE

用x,y的代数式表示，进而可表示DGBC的面积为即为四边形CDFE的一半.

乙

7.【答案】8&Q

8.【答案】3V2

【解析】【解答】解：过点C作CEJLy轴于点E,过点C作CFlx轴于点F,连接。C,

'：Z-EOF=Z-OEC=Z-OFC=90°,

・••四边形。"E是矩形,

：.LACE+LACF=Z.ECF=90°,

•・•以4B为斜边构造等腰直角△ABC,

.\AC=RC,/ACR=90°.

：./-BCF+AACF=Z-ACB=90°,

第12页

：./-BCF=Z-ACE,

：.^ACE=△BCF{AAS),

：.CE=CF,

・•・四边形OFCE是正方形，

：.^DOC=ABOC=45°,

・••点C在直线y=x上，

当CO_OC时，CO取得最小值，

♦・•点D的坐标是(0,6),

：.OD=6,

-CD=sin45°•OD=孝。0=3近，

故答案为：3或.

【分析】过点C作CEly轴于点E,过点。作CF_Lx轴于点F,根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边

形OFCE是矩形，结合题意，用角角边可证匚ACEDUBCF,由全等三角形的对应边相等可得CE=CF,根据

有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OFCE是正方形，由正方形的对角线平分每一组对•角可得400C=

/8。。二45。，于是可得点C在直线上，当CO1OC时，CO取得最小值，然后根据锐角三角函数

sin匚DOC嗡计算即可求解.

9.【答案】2V5

【解析】【解答】解：如图所示，过点G作GM_L48,过点F作9H||EG,过点G作GHIIEF,设A尸与GE交

于点N

E

B

•・•正方形力BCD的边长为3,

：.AB=BC=3

*：CF=2BF

:・BF=1

••AF=yjAB24-BF2=/10

•・•四边形4BCO是正方形

：.AB=AD,^MAD="=^ABF=90°

，四边形力MGO是矩形

：.AD=MG

第13页

：.AB=MG,

*：AF1EG

J.Z.AMG=Z-ANG=90°

：,Z.BAF=Z.MGE

又,：(ABF=Z-GME=90°

A△ABF三△GMEQ4SA)

-'-AF=GF=VTO

FH||EG,GH||EF

••・四边形EFHG是平行四边形

•'-EG=FH=AF=

：,EFAG=GH+AG>AH

・•・当点A,G,H三点共线时，£T+4G取值最小值，即4H的长度

,：AF1EG

：,AF1EH

•'-AH=y/AF2+FH2=2遥.

故答案为：2vs.

【分析】过点G作GM14B,过点F作"/||EG,过点G作G“I|EF,设”与GE交于点N,先利用“ASA”证

出A/IB尸三AGME,再利用全等三角形的性质可得AF=GE=VT5,再证出四边形是平行四边形，可

得EG二/”=A/7=再证出当点A,G,H三点共线时，EF+4G取值最小值，即4H的长度，最后利

用勾股定理求出AH的长即可.

10.【答案】|

【解析】【解答】解：如图，过。作CK148于K,将CK绕点C逆时针旋转90。得到C”，连接HE,延长HE1交

的延长线于/,

:•乙KCH=9。。,CK=CH,^CKD=^CKJ=90°,

•・•将线段CD绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,

：.Z-DCE=Z-KCH=90°,CD=CE.

,:乙ECH=乙KCH-乙KCE,乙DCK=乙DCE-乙KCE，

:•乙ECH=乙DCK,

第14页

在△CKO和△CHE中,

CD=CE

(DCK=LECH,

CK=CH

A△CKD=△C〃E(S4S),

：.Z.CKD=Z.H=90°,

:•乙CKJ=乙KCH=Z.H=90°,

・•・四边形CK/H是正方形，

：.CH=HJ=KJ=CK,4=90°,

设乙DCK=Z.ECH=x,乙BEC=y,

:•乙CEH=乙KCE=90°-%,

:•乙KBE=360°-90°-90°4-x-y=180°4-x-y,

/.Z-EB]—180°-180°-x+y=y-x,

：./.BE]=90°-y4-x,

：.Z-CEH+/-BEC+/-BE]=90°-%+y+90°-y+x=180°,

:・H,E,/三点共线，

・••点E在直线刈上运动，当点E与点/重合时，BE的值最小,

,：Z-ACB=90°,AB=5,AC=4,

:,BC=y/AB2-AC2=3，

又,・4AC.BC=：AB.CK,

.3x412

t-CK=-=-5f

-BK=>JBC2-CK2=卜-偿j=9,

12

*-=5,一

93

S-K=

*'-m-q

・・・BE的最小值为京,

3

-

5

【分析】过C作CK1/18于K,将CK绕点C逆时针旋转90。得到CH,连接HE,延长HE交AB的延长线于/,根

据旋转的性质得CK=C”，/.DCE=Z.KCH=90°,CD=CE,从而得tECH=^DCK,进而推出△CKDwa

CHE(SAS),彳号乙CKJ=LKCH==90。,于是根据正方形的判定证出四边形CK/H是正方形，得CH=

HJ=KJ=CK,々=90。，然后设,DCK=乙ECH=x,乙BEC=y,证出乙CEH+乙BEC+乙BEJ=180°,即

第15页

可得H.E,/三点共线，于是有点E在直线刈上运动，当点E与点♦重合时，8E的值最小，接下来利用勾股定

理求出BC=3,根据面积法和勾股定理得CK=KJ=导，BK=2，最后求出以=K/-BK,即可得出答

案.

11.【答案】V2

【解析】【解答】解：将E。逆时针旋转90。得到E'。，那么AE'E。是等腰直角三角形，EE'=迎。2+?。2=

近EO,

由题意可知，CF=FE=EA,那么CF+&EO=EF+EE'，

那么当尸、E、E'三点共线时，CF+&E。最短，且等于尸E',此时尸在CO的延长线上，如图所示：

当点尸在C。的延长线时，

延长CD=Z)F,连接作4F的垂直平分线交4。于点E,那么AE=£F,连接AC,如图所示:

在RtOEFD和RtDECD中

DF=CD

乙EDFF=Z-EDC

DE=DE

EFD=LECD(SAS),

.•・EF=EC,乙FED=MED=寺上FEC，

AE=EF=CF,

AEF=FC=CE,

.•.△EFC为等边三角形,

...LFEC=60°,

乙FED=MED=30°,

^LAEE'=乙FED=30°,

-AE=CE,

Z.EAC=Z.ECA»

第16页

•••Z.EAC+^ECA=乙DEC=30°,

•••乙EAC—乙ECA—15°,

•••乙EAC+Z.AEE'=15°+30°=45：(EE'O=45°,

N£4C+乙4EE'="。。，

E'落在4。上，

不妨设CO=b,那么CE=2b=AE=EF,

DE=y/CE2-CD2=®,

•••在矩形ABC。中，80=2,

AC=2,

vAD2+CD2=AC2,

•••(2b+Wb?+/=4,

,U42

…三一7

•••AE=EF=EC=瓜一内

•••乙EOE'=AADC=90°,

.EOCD

•・.s】nz®C/i°n=而二宿

••乃一、反一2

E0=2

EE，-危。-2V2一瓜,

=V6-V2+2V2-V6=V2,

CF+鱼E。最小值为企.

故答案为：V2.

【分析】将E。逆时针旋转90。得到E'。，那么△E'E。是等腰直角三角形E?=x^E。，那么CF+鱼E0=

EF+EE，,那么那么当AE、E'三点共线时，CF+&E。最短，且等于FE',此时F在CO的延长线上，延长

CD=DF,连接AF,作4”的垂直平分线交A。于点E,那么用边角边可证△E7M三AECO,由全等

三角形的对应边相等可得EF=EC,由三边相等的三角形是等边三角形可证△EFC为等边三角形，由题意易

得NE4C+乙4E0=4E0O,可得E,落在力0上，不妨设CD=b,那么CE=2b=4E=EF,DE=Wb,用

勾股定理可得关于b的方程，解方程可求得b的值，再根据锐角三角函数sin乙瓦4。=黑=矍，可得关于

E0的方程，解方程求得E0的值，由E'E=V^EO求得的值，然后根据线段的和差EF+££'计算即可求得

。产+近七。的最小值.

12.【答案】3V5

第17页

13.【答案】（1）AD1BC（答案不唯一）

理由：•・•=AC,

乙ABC=Z.C>

,:Z.EAB=乙ABC+Z-C,

••.□EAB=2匚C.

•••4G平分NE48,

:.2Z.EAG=Z.BAE,

/.□C=LGAE,

：.AG||BC,

•・•BFLAG.

BF1BC,

vAD1BC,

•••乙AFB=乙FBD=乙ADB=90°,

••・四边形成8D是矩形；

（2）解：如下图所示，在射线力。上截取=DP,

连接BP、CP,

四边形/1BPC即为所求.

【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得乙48C=乙C,根据角立分线定义可得2^=二6人£,根据直线平行判

定定理可得AGIIBC,则BF18C,再根据矩形判定定理即可求出答案.

（2）在射线4D上截取40=OP,连接BP、CP,四边形4BPC即为所求.

（1）解：（1）添加：4。，BC（答案不唯一）.

理由：•••AB=AC,

:.乙ABC=Z.C,

•••Z.EAB=乙ABC+Z.C,

•••4G平分4E48,

:.zRAG=/ARC.

AG||BC,

第18页

-BFLAG,

BF1BC,

vAD1BC,

...乙AFB=Z.FBD=乙ADB=90°,

四边形"8D是矩形；

(2)解：如下图所示，在射线上截取40=00,

连接8P、CP,

四边形ABPC即为所求.

E

14.【答案】（1）正方形；（2）8-4V2.

15.【答案】（1）证明：・・・48=4C,AO平分48AC,

：.AD1BC,

:・UDB=90°.

•:BE||AD,

:.（DBE=90°.

*：AELADf

：.LDAE=90°,

・•・四边形4D8E是矩形.

9

（2）解：：AB=ACf平分/84C,

•\BD=CD=^BC=^x4=2.

'：AD=3,

•-AB=ylBD2+AD2=V22+32=V13.

•・•四边形AD8E是矩形，

：.BE=AD=3,AE=BD=2.

'^xABxEF=^xBExAE,

.BExAE3x26/13

•6=R-=kk

【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质三线合一证得4/WB=90。，再根据平行线的性质证得

第19页

/.DBE=90°,然后根据AE140,可得乙ZME=90。，再利用有三个角是直角的四边形是矩形，可得出结

论；

(2)根据等腰三角形的性质求出BD,再根据勾股定理得力B,然后根据矩形的性质得BE=AD=3,AE=BD=

2,最后根据三角形的面积，求出EF.

(1)证明：*：AB=AC,40平分的C,

：.AD1BC,

：./-ADB=90°.

,：BE||AD,

J.LDBE=90°.

'：AELADf

：.^DAE=90°,

・•・四边形4D8E是矩形；

(2)解：*：AB=AC,40平分Z84C,

BO=CD=鼻C=2x4=2.

*：AD=3,

・"B=>/BD2+AD2=713.

•・•四边形A08E是矩形，

：.BE=AD=3,AE=BD=2.

vixARxEF=^xRExAE,

・“BExAE3x26713

,,吁R-=7H=F-

16.【答案】(1)证明：•・•四边形ABCD是矩形，

.\OA=OB=OC=OD.

VAE=BF=CG=DH,

.\AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,

即OE=OF=OG=OH,

・•・四边形EFGH是矩形.

(2)解：・・・G是OC的中点，

r.GO=GC.

XVDGDAC,

.\CD=OD

OF是BO中点,OF=2cm,

第20页

BO=4cm.

DO=DO=4cm,

/.DC=4cm,DB=8cm,

•**C^=y/DB2-DC2=V82-42=4A^3(cm),

・•・矩形ABCD的面积为4x4百=16日(cm2).

【解析】【分析】(1)首先根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD,然后再根据等式的性质得出OE=OF

=OG=OH,进一步根据矩形的判定即可得出四边形EFGH是矩形；

(2)首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD,在根据矩形的性质得出OD=OB,即可得出CD=2OF=4cm,

DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4H，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为

16V3(cm2)

17.【答案】解：［问题原型］口如图，过点力作4018C于。，过点。作CH14B于H.

-*-BD=gBC=1x6=3.

在RtaABO中，AD=y/AB2-BD2=V52-32=4.

V5A4BC=^AB•CH=加。•AD,

・••点C到AB的距离为善.

［问题延伸偿；［问题拓展］46

【解析】【解答】［问题延伸］□如图,连接CQ,过点4作4D1BC于0,过点C作CH14B于H.

：.CP+PQ的最小值等于CQ的长，

•・•当CQ14B时，CQ的长最小，此时点Q与点H重合,

第21页

:.CP+PQ的最小值等于C”的长，

*：AB=AC,

；・80=1x12=6.

在中，AD=y/AB2-BD2=V102-62=8.

•S^ABC=^AB-CH=^BC-AD,

・BCAD12x848

即CP+PQ的最小值为普；

故答案为：萼；

［问题拓展］口如图，过点F作FH1BC于点H,连接EH,过点E作EG18C于点G,

在RMCFH中，^BCM=30°,

：.CF=2FH,

：.CF+2EF=2FH+2EF=2(FH+EF)>2EH,

：.CF+2"1的最小值等于2EH,

•・,当E"_L8C时，的长最小，即2£77的长最小，此时点H与点G重合，

：.CF+2EF的最小值等于2EG,

•・•四边形4BCD是矩形，

：.AD||BC.AB1BC,

-*-EG=AB=28，

：・2EG=4百，

BPCF+2£产的最〃、值等于4b.

【分析】［问题原型］过点A作4D_LBC于D,过点C作CH1A8于H,根据等腰三角形三线合一性质可得BD,

再根据勾股定理可得AD,再根据三角形面积即可求出答案.

［问题延伸］连接CQ,过点4作AD_LBC于。，过点C作C"_L4B于从根据边之间的关系可得CP+PQNCQ,则

CP+PQ的最小值等于CQ的长，当CQ148时，CQ的长最小，此时点Q与点H重合，则CP+PQ的最小值等

于CH的长，根据等腰三角形三线合一性质可得BD,再根据勾股定理可得AD,再根据三角形面积即可求出答

案.

［问题拓展］过点F作FH1BC于点H,连接EH,过点E作EG1EC于点G,根据含30。角的直角三角形性质可

第22页

得6=2FH,根据边之间的关系可得+2EF=2FH+2EF=2(FH+EF)>2EH,则仃*+2"*的最小值等

于2E〃，当E〃13C时,E〃的长最小,即2Z?〃的长最小，此时点II与点G重合，"+2EF的最小值等于2EG,

根据矩形性质可得4DIIBCMB1BC,则EG=48=2百，即可求出答案.

18.【答案】(1)①26

②C

③a=b

(2)①20；100

②角隼：设BC=a,AC=b

•**a2+Z)2=62=36

'•*a+b>2Vab

；・(a+b)2=a2+b2+2ab<2(a2+b2)=72

**•a4-b<V72=6\/2

・・・△ABC周长的最大值为6a+6

(3)8V2-8

【解析】【解答】解：(1)①由题意可得

m=>[ab=V6X2=2百

故答案为：2V5

②由表格可得：

故答案为：C

③当且仅当a=b时，a2+b2=2ab

故答案为：a=b

(2)(l)V10<x<30

/.x-10>0,30-x>0

・•.当x・10=30・x,即x=20时，代数值(x-10)(30-x)取得最大值为(20-10)(30-20)=100

故答案为：20；100

(3)连接AC交BD于点O,连接CE

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A

P

由正方形对称性可得，AE=CE,DBCE=CBAE

「正方形ABCD的边长为4

••・AB=BC=CD=AD=4,ACCBD

BD=AC=J42+42=4V2

-'-OA=OB=OC=OD=2>/2

VFEDAP

A□EFC=180°-DBFE=UBAE=LBCE

・・・EF=EC=EA

.,.□EAF=45°

VAODBD,OA=2\[2

-S^AGE=^GEOA=鱼（OG+OE）>亨，OGOE

当OG=OE时，S」ACE最小

此时AO是GE的垂直平分线

・・・AG=AE,□GAO=EEAO=22.5°

VOB=OD,AB=AD

.-.□ABGCnADE

，BG=DE,匚BAG=（ZDAE=22.5°=匚GAO=DEAO

过点G作GW匚AB于点W,过点E作EK[AD于点K,则可设WG=GO=EK=OE=x

•/□ABD=EADB=45O

••BG-DE=y/2x

.*.2x+2V2x=4V2

解得：x=8-4A/2

:・CE=8-4^2

••S^AGE=V2x（8-4V2）=8V2-8

・•・△AGE面积的最小值为8或-8

【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.

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②根据表格信息即可求出答案.

③根据表格信息即可求出答案.

(2)①根据不等式性质可得x-10>0,30-x>0,再根据(1)中结论即可求出答案.

②设BC=a,AC=b,根据勾股定理可得Q2+Z)2=62=36,根据(1)中结论可得(a+b)2=小+良+

2ab<2(a2+b2)=72,则a+bW阮=6夜,即可求出答案.

(3)连接AC交BD于点0,连接CE,根据正方形性质可得AE=CE,匚BCE=[ZBAE,

AB=BC=CD=AD=4,ACCBD,根据勾股定理可得BD==SP+42=4或，则04=。8=OC=。。=

2在，根据角之间的关系可得匚EFC=180。-匚BFE=UBAE=LBCE,贝ijEF=EC=EA,根据等腰直角三角形性质

可得。<=2鱼，再根据三角形面积可得SA而EUJGE.O/IMX/^OG+O？N^V^G^，当OG=OE时，

SACE最小，此时A0是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性度可得AG=AE,EGAO=LEAO=22.5°,再根

据全等三角形判定定理可得匚ABGMADE,则BG=DE,EBAG=LDAE=22.5°=QGAO=OEAO,过点G作

GWEAB于点W,过点E作EKDAD于点K,则可设WG=GO=EK=OE=x,根据等腰直角三角形性质可得

BG=DE=缶，建立方程，解方程可得％=8-4企，则CE=8—4a，即可求出答案.

19.【答案】阅读材料：45。；⑴苧;(2)135°,4V2+6

20.【答案】(1)解：•・•四边形力BCD为平行四边形，AB=AD,a=60。，

••・四边形ABCD是菱形，△480为等边三角形，

Z.BAD=60°,

Z.AEF=a=60°,AE=EF,

••・△4EF是等边三角形，

：.AE=AF,/-EAF=60°,

乙BAE=Z.DAF,

在^""口△D"中，

AB=AD

乙BAE=Z.DAF>

AE=AF

BAE=△04"(SAS),

AAADF=匕ABD=60°；

(2)解：点C,D,F三点共线,理由如下：

如图，连接力C交3。于点0,过点F作尸，_LBD,交8。延长线于H,

R________A

林

CD、〃F

H

第25页

工乙FHE=90°,

-AB=AD.a=90°,四边形AZ?。。为平行四边形，

.••四边形ABCD是正方形，

AC1BD,AO=ODt^ADB=45°,

：.Z-AOE=90°,

Z.AEF=a=90°,

•••^AEF=乙AOE=乙FHE=a=90°,

:.Z.AEO+乙FEH=900=Z.AEO+匕EAO,

...AEAO=MEH,

在△力《0和4EFH中,

(Z.AOE=乙FHE

\z.EAO=Z.FEH,

(AE=EF

:AAEO三AEFH(AAS),

AO=EH,FH=OE,

.・.OD=OA=EH,

:.OE=DH=FH,

v"HE=90°,

...乙FDH=(DFH=45°,

•••Z-ADF=180°-45°-45°=90°,

:.^ADF+Z-ADC=180°,

•••点C,点。，点F三点共线；

(3)解：如图，过点A作人G18D于G,过点E作EH_L8C于H,

：./-AGB=乙BHE=90°,

va—90°,

.•.乙4EF=90。，平行四边形4BCD为矩形,

..4B4百

'ta必0nD8=-=^==-,

第26页

Z-ADB=乙CBD=30°,

V乙4FE=30°,

AAFAE=/-DAG=60°,

**•Z-FAD+Z-DAE-Z.EAG+Z.DAE,

•••/.FAD=Z-EAG,

•••^ADF=^AGE=90°,

•••△AFDAEG,

EG_AE

：'~FD=AF=s\nz.AFE=sin30°=

FD=2EG,

在Rtz\i48G中，BG=AB-cosZ-ABD=4cos60°=2,AG=AB-sinZ-ABD=4sin60°=2\/3»

设=则EG=x-2,FD=2(x-2),

CF=CD+FO=4+2(x-2)=2x,

•••乙DBC=匕ADB=30°,

:.EH=2%，

:•BH=§x，

乙

CH=4百一卓x，

•••△CEF是以EF为底的等腰三角形,

•••CF=CE,

f-2

•••2x-G%)2+《百-号工)'

解得：x=2y[S-2或％=-2V5-2(舍去)，

BE=2遥一2,

EH=遥-1,

・

：S^BCS=1X4V3X(A/5-1)=2VT5-273.

【解析】【分析】(1)先证出四边形4BCO是菱形，△4B。、为等边三角形，得