人教版高中数学必修2 专项强化02：解三角形 题型归纳（原卷版）

专题强化02：解三角形题型归纳精讲精练

【考点归纳】

>考点一：正弦定理考点二：正弦定理的边角互化应用

>考点三：余弦定理考点四：余弦定理的边角互化应用

>考点五：三角形面积公式考点六：正余弦定理的实际应用问题

>考点七：正余弦定理判断三角形形状考点八：三角形的边长或周长最值和范围问题

>考点九：三角形面积最值问题考点十：三角函数和解三角形交汇问题

【题型探究】

题型一：正弦定理

1.（23-24高一下•广西玉林•期中）A/8C中，角4优。所对的边分别为。也c,若a=C,b=e,A=Z则8=（）

''............’‘‘-‘’‘'3-------

n3n-7T-乃73冗

A.—B.—C.-D.二或下

44644

2.（23-24高一下•河南商丘期中）在“8C中,力=60°,C=75°,AC=B则8C=（）

A.72B.|C.—D.141

2

3.（23.24高一下•江苏苏州•期末）在△48。中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若b=R,c=2,8=60。，

贝U=（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

题型二：正弦定理的边角互化应用

4.（23-24高一下•安徽马鞍山•期末）在IB。中，角力，B,。所对的边分别是a,b,c,若bcos4+acos8=csinC,

则“8C为（）.

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.（23-24高一下•山东烟台•期中）在A/IBC中，a,h,c分别为角儿B,C的对边，旦acos8+（2c-/?）cos/=c,

则△力8c的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

6.（23-24高一下•四川成都期中）在“8C中,角4,B,C所对的边分别为a,b,c,^acos5+/.cos（fi+C）=c,

则A/IBC的形状是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

题型三：余弦定理

1

7.（24-25高一上•云南昆明•期末）在中，角所对三条边为a/,c,已知a=3,b=5,c=7,则角。二（）

A.135°B.120°C.60°D.30°

8.（23-24高二上•云南大理•期末）如图，已知在圆O的内接四边形月8c。中，AB=2,BC=7,AD=CD=4,则4C=

9.（23-24高一下•湖北黄冈•期中）在△48C中，内角儿丛。的对边分别为叫b,c,已知2加in,4=3G，。=3,

NB为钝角,b-c=2,贝ljb=（）

A.5B.6C.7D.8

题型四：余弦定理的边角互化应用

]—cos2c1—cos）R

10.（23-24高一下•江苏徐州•期中）在△力5c中，若I8.二二：二，则△力8c的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

11.（23・24高一下•河南嗜河期末）三角形45c中,内角48,C的对边分别为a,6,c,若acosC+ccos/二。，则三

角形ABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

Ajfi

12.（23-24高一下•天津滨海新•期末）已知△ABC的三个内角48c的对边分别为a,b,c,且满足coM-cos8=-

c

则的形状为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

题型五：三角形面积公式

2

13.（23-24高一下•浙江•期中）在A/BC中，角4优。的对边分别为4=6,6=4,C=2B,则A/NC的面

积为（）

A.B.—C.3715D.2岳

22

14.（23-24高一下•山东临沂・期末）记△力8c中的内角A,8,。所对的边分别为叫b,c,已如△ABC的面积

S=~（^2+c。一）,则tanA=（）

8214

A.5B-7C-7D-?

15.（23-24高一下•海南海口,期末）“8C中，角A,8,C的对边分另।.为sWB+si/C-si「2/=sin8sinC，

”4,4。边上的中线为卡，则△4BC的面积为（）

A.万B.2石C.3D.4

题型六：正余弦定理的实际应用问题

16.（23-24高一下•安徽黄山•期中）长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多

年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔.如图，为测量塔的总高度49,选取与塔底片在同一水平

面内的两个测量基点。与。，现测得N8CO=30’，ZBDC=450，CD=32m,在。点测得塔顶A的仰角为60”,则

塔的总高度为（）

B.（96-328）m

D.（92-32研11

17.（2324高一下•四川绵阳•期末）某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案.如图，在该建筑

3

物旁水平地面上共线的三点4B,C处测得其顶点M的仰角分别为30。，60。，45。，且/5=BC=50m,则该古

A.\5y/WmB.20鬲C.10而mD.50m

18.（23-24亩一下•河北•期中）武安舍利塔，位于河北省邯郸市武安塔西路2号，始建于北宋（960〜1127年）,为

原妙觉寺附属建筑.曾经历多次地震，清道光十年（1830年）的大地震，塔附近建筑全毁，唯此塔安全无恙.2019

年10月7日，武安舍利塔被中华人民共和国国务院公布为第八批全国重点文物保护单位.如图，我校高一某学生

进行实践活动，选取了与塔基B在同一水平面内的两个测量基点。与Q,在。点测得舍利塔在北偏东75。的点B处,

塔顶/的仰角为45。，在。点测得舍利塔在北偏西60。，通过计算得塔高44为38m,则两个测量基点之间的距离

CD（单位：m）为（）

山金东

A.38/nB.38收mC.19丘mD.19>/3m

题型七：几何图形的计算

19.（23・24高一下•河南南阳・期中）如图,在口力8C。中，/D4B=60。,AB=2AD,E为边48的中点，线段4C

与QE交于点尸，fflcosZJFE=（<

AEB

A..酒B.一旦

C.--D.--

147147

20.（2024•河北•模拟预测）在A43。中,角4B、C的对边分别为a、b、c,若c=3/=2,的平分线力。的

4

长为越，则8c边上的高线的长等于（

3

4石

21.（21-22高一下•福建泉州•期中）如图，在平面四边形片8C。中，ABLAD,NABC=—,=AB=\,

46

CZ）=4,贝Ijtan/C4Q=（）

题型八：三角形的边长或周长最值和范围问题

22.（23-24高一下•浙江•期中）在锐角“8C中，角A,B,C的对边分别为。，b,C.若8=60。，6=2,则边4C

上中线3。的取值范围为（）

C.")D.(1,目

23.（23-24高一下•福建莆出•期中）在锐角三角形力8c中，已知。。分别是角A,8,C的对边，且而=2asinB，

a=VL则三角形4AC的周长的取值范围是（）

A.（3-6,36）B.（3-x/3,3x/3]C.（3+6,3百]D.[3+右,36]

24.（23-24高一下•福建泉州•期中）如图，四边形44CQ中，//。=60。，48c=45',AB=12瓜ZJDC=120\

记力。与CQ的长度和为L,则L的最大值为（）

A.16x/2B.160C.1872D.18x/3

题型九：三角形面积最值问题

25.（22・23高一下•河南,期中）已知公力4。的内角A,B,。所对的边分别为。，b,c

5

tan力+ianC+6=JitantanC,且/）=2,则△]8c面积的最大值为（）

A.万B.—C.2D.—

33

26.（21-22高一上,江西景德镇•期末）在锐角。中，〃，b,。分别为角4B,C的对边，已知

b2+c2=a2+bc,6=2,则A/AC的面积S的取值范围是（）

A.a2叼B.a，2叼C.旨2叼D.号2后

27.（21-22高二上•河南郑州•阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“二斜”求积公式，即人力水？的二个内角A,

B,C所对的边分别为。，b,c,则△/出。的面积S=-c2a2-[C+a~h\.已知在△力4。中，flccosB=8,

b=2也,则△RBC面积的最大值为（）

A.庖B.2庖C.—D.>/6

2

题型十：三角函数和解三角形交汇问题

28.（22-23高一下•广东广州•期中）锐角”8C中,内角A,B,C所对的边分别为a",c,a=1,且儿os4-cosB=1,

则sinB+2J5sin*A的取值范围为

29.（22-23高一下•浙江宁波•阶段练习）在锐角三角形川5c中，内角48,。所对的边。也。满足一〃=反，若

cos（C-〃）+2cos/1存在最大值，则实数％的取值范围是.

30.（2022•湖北武汉•模拟预测）在锐角△月夕。中，a2-b2=bc，则角8的范围是________,三-一三+6si”的

tanBtanA

取值范围为.

题型十一：解三角形的综合问题

31.（24-25高一上•江西景德镇•期末）锐角面积为S,角48,C的对边分别为。也叫且32-/）sinS=2S.

6

(1)求证:B=2A；

⑵求如上的取值范围.

a

32.（24-25高三上•山东烟台・期末）在锐角△48C中，角4SC所对的边分别为。也c,且也匕却£=上士

sinCc2

⑴求8；

⑵若6=2,求△X8C周长的取值范围.

33.（24-25高一上•湖南邵阳•期末）在△/出。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

cos2C-sin2B=2-cos2A-sinAsinC.

（1）求角&

（2）若/48C的角平分线交/C于点D〃=3,c=4,求4Q；

⑶若“8C的外接圆的半径为右，求2ca的取值范围.

【专题强化】

一、单选题

34.（24-25高一上•浙江杭州•期末）在中，cos2?=竽（a,b,。分别为角4B,C的对边），则△如大？的

形状为（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

35.（23-24高一下•江苏无锡•期中）在△力中，角的对边分别为a,b,c.已知/一〃=从，

sinCsin（/l-B）=sinBsin（C-A）,则角力的大小为（）

71e兀一n_JI

A.-B.—C.—D.-

6438

36.（24-25高一上•全国•期中）在△川“?中，角的对边分别为〃也c,其面积

SA/1c»c=—6ABAC=—27,sinZ?=cosAsinC，则边长。为（）

A.1B.V2C.45D.2

37.（23-24高一下•山东临沂•期中）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔。的南偏西？5。，距灯塔64

海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为（）

A.8#海里/小时B.160海里"J、时C.166海里/小时D.320海里/小时

7

38.（23-24高一下•天津西青•期末）天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是

亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区.某校一项目学习小组开展数学建模活

动，欲则量天塔4〃的高度.在天塔湖岸边上，选取与塔底8在同一水平面内的两个观测点。、。.测得

NC4O=30',CQ=414m,在C、。两观测点处测得天塔顶部A的仰角分别为45”,30',则天塔/阻的高约为（）

A.414mB.414&mC.414>/3mD.207m

Q

39.（23-24高一下•河北•期中）在A/BC中，角4丛。的对边分别为,已知24cos/一"。一cos4）+a,则“3。

2

的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

40.（23-24高一下•福建龙岩•期中）已知A/BC是锐角三角形，内角4B,C所对应的边分别为如b,c.若

（。一与（sin4+sin8）=csin8且〃=2,则△48。外接圆面积的取值范围是（）

A.（九,2TC）B.（九,4兀）C.—,47tD.（2砥4兀）

IJ/

41.（23・24高一下•河北•期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知。为△力8c内的一点，&BOC,△49C,

△408的面积分别为、，SB，S「则邑,方+S8•历+SI1=0.因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔

驰定理”.已知。为4力〃。的内心，三个角对应的边分别为a,b,c,已知。=3,b=26，c=5,则的.就=（）

A.2行一8B.-2C.瓜-7D.372-9

二、多选题

42.（24-25高一上•全国,期中）在AJBC中，角4&C所对的边分别为。,/）,c,给出下列命题，其中正确的命题为

（）

A.若,4>B>C,则sinA>sinB>sinC

8

B.若。=60/=30,4=28。，则满足条件的△力8C有两个

C.若0<tan/Han6<l,贝ij△Z5C是的1角三角形

D.存在△力8C,使得tan4tan81anC<tan力+tan8+tanC成立

43.（23-24高一下•新疆•期末）记IBC的内角4B,C的对边分别为a,4c,若“二匹,b=3,A=^,则（）

A.c=4B.。的周长为7+而

C.sinC=冬叵D.△48。外接圆的面积为学

133

44.（23-24高一下•云南昆明•期中）在△力8C中，/8=2,力C=6,NB4C=］是边8C上的一点，贝lj（）

A.1反正=6百

B.BC=2y/l

-.....2—1----

C.若DC=2BD，则彳。=§//8+54。

D.若力。是N84。的平分线，则力。=3万

45.（23-24高一下•安徽池州•期中）在△力8c中，内角48C所对的边分别为。,6,c,且°=应，则下列选项正确

的是（）

A.若8及，则A/IAC有两解

B.若sin2/=sin28,则为等腰三角形

C.若△44C为锐角三角形，且A=2C,贝I」sin4*/7,-a

/

D.若力+6=2C,则a+8的最大值为2加

p

46.（23-24高一下•河南信阳・期中）已知“4。的三个内角4民。的对边分别是。八叫面积为土⑷一〃），

则下列说法正确的是（）

A.cos/icosC的取值范围是-不立

B.若。为边力。的中点，且〃。=1,则AX8C的面积的最大值为毡

3

C.若△48c是锐角三角形，则7的取值范围是（发2）

D.若角8的平分线与边力C相交于点七，且BE=囱,则L+1等于2

ac

三、填空题

47.（23・24高一下•江苏无锡•期中）已知△力8C中，角力，B,。满足：

（sinJ+sinB）:（sinfi+sinC）:（sinC+sinJ）=5:7:6,贝ljcosC=.

9

48.（24-25高一上•全国•期中）在"8C中，AB=376,AABC=45°,ZACB=60°,延长8c到。，使得。=10,则

力。的长度为.

49.（23-24高一下•江苏常州•期末）已知在△48。中，内角4,8,。的对边分别为小Ac,72（«2-c2）=^sinC,

c=2,则△力8C的面积的最大值为.

50.（23・24高一下•四川达州•期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内，龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪

而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志・舆地