人教版高中数学必修第二册 第1课时 余弦定理【原卷+答案】

06

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1课时余弦定理

A级必备知识基础练

1.［探究点一］在△A6C中，内角A,仇C所对的边分别为若则c-()

A.lB.2C.4D.6

2.［探究点二］若△ABC的三边长分别为/W=7,BC=5,C4=6,则而•正的值为()

A.19B.14C.-18D.-19

3.［探究点一々024安徽滁州高一诊断］在△ABC中,。=3力=b,B=60。,则c等于()

A.lB.2

C.1或2D.2或3

4.［探究点二.2024福建泉州高一期末］已知3c的内角AAC所对的边分别为。力《,若a：b：

。二5：6：7,则sinC=()

A.B堤C.1D竿

73555

5」探究点一、二2)24海南三亚高一期末］AABC的内角AAC的对边分别为已知A=^a=V7,b-

c=l,1Mcos8=()

A，13B迎7Cc，迫7UD亚14

6.［探究点二］在△ABC中M”,c分别是内角A1,C所对的边，已知2acosC=2〃+V5c,则角4等于()

A-6B-3〜C3—D—6

7.［探究点二］在△ABC中/B=3,BC=m,4C=4,则边AC上的高为()

A当B.竽C.1D.3V3

8.［探究点二々024浙江金华高一质检］在△ABC中，内角4方.。所对的边分别为。，4c,若Z?2=«2+?</c,

则B=.

9」探究点二］在△A4C中，内角A1C的对边分别为。力,c,且满足c=2acos瓜则的形状

是.

10」探究点二］在AAHC中，内角AAC的对边分别为〃力了,己知8=C,2b=g”,则cosA=.

11.［探究点一］在△ABC中,cosC=#8,a=7,求:

(I)。的值；

(2)角4的大小.

B级关键能力提升练

12.（多选题）设△4BC的内角A,B,C的对边分别为ahc,若a=2,c=2V5,cos4=景则b的可能取值为

（）

A.2B.3C.4D.2V2

13.在△ABC中力=3,c=VSa,8W，贝ijcosC=（）

6

、A—2B-2C—2D-2-

14.12024江苏扬州高一月考］若aABC的三条边长分别为5,7,8,则△ABC的最大角与最小角之和为

（）

H-c-D-

AB03JU6

15.在△45。中，若。4+"+仁4=2/32+庐），则角C等于（）

A.60°B.45°或135°C.1200D.30°

16.（多选题）在钝角aABC中，若片型二小则边。的值可能为（）

A.7B.9C.12D.16

17.在△4BC中/8=3,BC=g/C=4,则A=,AC边上的高为.

18.如图，在△48。中,已知点。在边4C上/Q_LAC于点A,sinNZMC=殍48=3&/。=3,则BO的长

为.

19.在AA〃。中，角的对边分别为。，4c.若则cosB的最小值是.

20.在△4BC中，内角4AC的对边分别为已知4»=4,a+c=24且最大角为120。,则此三角形的最

大边长为.

21.若2a+\,a,2a-\为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.

22.设△ABC是锐角三角形“he分别是内角A,及。所对的边，且sin2A=sin4+/Psinf+sin2B.

JJ

(1)求A的值；

(2)若荏•元=12,a=2斤，且b<c,求b,c的值.

C级学科素养创新练

23.在△ABC中,8C=〃/C=A且a,b是方程A2-2V3A+2=0的两艰,2cos(A+8)=1.

(1)求角。的大小；

(2)求人8的长.

6.4.3余弦定理、正弦定理

第1课时余弦定理

1.C由余弦定理，得«2=Z?2+C'-2/?CCOSA,即13=9+d-3c,即。2-3「4=0,解得c=4(负值舍去).

2.D设△A3C的内角4B,C的对边分别为依题意，得。=5力=6,c=7..・.AB•

BC=\AB\\BC\cos(n-B)=-ac-cos8.由余弦定理得b1=a2+c2-2ac-cosB,-«ccos

52.72)=J9,...而•玩二/9

3.C由余弦定理/2=/+c2_2accosB,得7=9+r-2x3xcx则机30+2=(),解得c=\或c=2.故选C.

4.D因为a：6：c=5:6:7,所以设a=5m,b=6m,c=lm.W'lcosC="«m)

2ab。25m-6m

2,因为C£(0m),所以sinCO,因此sinC=2=等，故选D.

5.D由余弦定^-,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc,

因为b-c=l,a=巾，所以?+(c+l)2-c(c+l)=7,

即d+c-6=0,解得c=2或c=-3(舍)，

所以〃=3'”2,cos8=弓等=热E=条故选D.

C=2b+y[3c,：,由余弦定理的推论，得化简可得b2+c2-cr=-

6.DV2«cos2"八Zab:

Wbc,

b24-cz-g2_V3

/.cosA=-2bc~~~~2,

又/\£（0,兀）,・・.4二乎.故选口.

6

AB2+AC2-BC232+42-13

7.B在△ABC中/8=3,8C=g,AC=4,由余弦定理的推论，得cos4=1

2ABAC2x3x42

AA=60°.

・•.边AC上的高/『ABsinA=3sin60。=竽.故选B.

4

8』依题意力2=/+1“,即屋+02万=%所以cos8，『2=卜（）,所以B为锐角，所以8=H

3ZDC23

9.等腰三角形Vc=2t/cosB,：.c=2a-ah,

2ac

・•・"=尻.・・a;b,：,/\ABC的形状是等腰三角形.

10.；由B=C,得b=c=^-a.由余弦定理的推论，得cosA="：：」方4——=

3Libcv33

n2T才

11.解(1)〃=7,85C=；,c=8,利用(r=cr+b2-2abcosC,整理得层2。-15=0,解得b=5或-3(负值舍去),

故b=5.

⑵因为cosA=b+^,a=[,且A£(0,兀)，所以A=[.

2,bc23

12.AC由余弦定理，得/=序+/_2/RCOSA,・・・4=〃+i2-6/人即b2-6b+S=0,：.b=2或/尸4.经检

险力=2与b=4均符合题意.

13.D由题意，在aABC中力=3,c=V5dB=E由余弦定理加=/+己2〃。0$B.得9=a2+3(r-2ax

y/3ax唱即/=9,〃=3,故。=权即A=8=；,所以。=兀-4-8=§，则cosC=[.故选D.

2632

14.B不妨设。=5力=7,。=8,

根据大边对大角可知A<B<C,

222

由-THa+c-b25+64-491

由余弦定理可得cosBn=———=.2=

2ac2x5x8P2

又因为0<8<兀所以B=★

所以A+C=n-B=Ti^=栗

所以△48C的最大角与最小角之和为字.故选B.

15.B7^4+/?4+?=2?(«2+;?2),

(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2^V=0,

/.(t/2+Z?2-c-2)2-2a2Z?2=0,

J(a2+b2-c2+&ab)(/+户/・缶6)=0,

/.a2+b2-(r+\/2ab=0或a2+b2-(r-yj2ab=0.

VcosC=

V00<C<180°,.*.C=1350^.45°.故选B.

16.AD・・・c=8,A=:,

2

・•・由余弦定理二=从+/.2/cosA,得0=必防+64=(加4)2+48.

若B为钝角，由余弦定理得cosB=：一<0,即«2+c2-/?2<0,a2</?2-64.

2ac

则Z>2-8/?+64</22-64,8/2>128,/?>16.

结合二次函数的性质可知/>(16-4尸+48=192/>8百,。=16符合题意.

若C为钝角，则。<8,由于41,则0<B<J,b<a.

36

由余弦定理得cos64VoM2+〃64VoM2V64

lablab

即户8〃+64<64方力2_4〃<0,0</，<4,此时48</<64,即46<。<8,所以a=7符合题意.故选AD.

吗苧由余弦定理的推论，可得c°s4="禁#=会给登=今

又0vA<7T,A=]sinA=^.

则AC边上的高h=ABsinA=3xf=§.

18.V3因为sin/mC=¥，且AD1AC,

J

所以sin得+^BAD)=殍，所以cosNBA。=殍.

在△/M。中，由余弦定理，得

I3D=y/AB2+AD2-2[1BADCOSABAD

=J(3&)2+32-2x3或x3x竽=VI

19.竽由余弦定理得cos8=的康,又a=3b,所以cos8=驾萨=喑=5X7+^X

Q口号

当且仅当[X2=之x[即c=2>/2b时，等号成立.

3c6b

所以cos13的最小值是亍.

20.14已知则a>bILa=b+4.51a+c=28,则b+4+c=2Z?,所以b=c+4,则力〉c,从而知

心〃>c,所以a为最大边，故A=120。力=。-41=2〃-”仆8.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos

A=/?2+c2+/?c=(a-4)2+(a-8)2+(o-4)(a-8),即〃2_184+56=0,解得a=4或〃=14.又〃=〃-4>0,所以«=14,

即此三角形的最大边长为14.

21.解因为2a+i,a,2a-\是三角形的三边长，

2d4-1>0,

所以a>0,解得此时2a+l最大.要使2a+l,a,2a-l是三角膨的三边长，还需a+2a-

2a-l>0,

1>2a+l,解得a>2.

设最长边2。+1所对的角为&则。>90。,所以cos夕《+(2吸(产+1」=a：；?<o,解得:<”8.