全国中考数学试题分类汇编-等腰三角形与直角三角形（共25题）解析版

专题16等腰三角形与直角三角形

（25道）

一、单选题

1.如图，直角.工8C中，々=30。，点。是。的重心，连接CO并延长交AB于点E,过点E作瓦'_LA4

交BC于点R连接AF交CE于点则空的值为（）

MF

【答案】D

2

【详解】解：•••点。是AABC的重心，・・・。。=5。石，•••△ABC是直角三角形，・・・CE=B斤AE,・・・/8=30。，

12

.•.ZME=ZB=30°,NB4G60。，AZME=ZCAF=30°,△4CE是等边三角形，:.CM=-CE,：.OM=-CE

23

--CE=-CE,^OM=-AE,*：BE=AE,：.EF=^-AE,*：EF1AB,AZ/\FE=60°,.,.ZFEM=30°,：,MF=

2663

-EF,：.MF=^-AE,・•・6

26k曲AE「丁

6

故选D.

2.将一副直角三角板和•把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60。和45。角的顶点及它们的直角边

重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上

A.2-0B.2^-2C.2D.2x/3

【答案】B

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AO=CO=2cm,由含30度角直角三角形的性质可得

BC=2CD=4cm,由勾股定理可得4。的长，即可得到结论.

【详解】解：如图，在R14ACD中，Z4CD=45°,

AD=CD=2cm,

在Rt48中，46=60。，

；・ZCfiD=30°,

・•・BC=2CD=4cm,

/.BD=dBC?-CD2="2-22=2x/3(cm),

・•.=-八O=(2石-3km.

故选:B.

【点睛】本题考查了勾股定理，笔腰直角三角形的性质，含30。角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是

解题的关键.

3.如图，A8C是等腰三角形，AB=AC,Z4=36°.以点8为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F,

交BC于点G,分别以点〃和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点儿作射线8,交AC

于点。；分别以点6和点。为圆心，大于:勿的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线交

AB干点、E,连接下列四个结论：①Z4£D=N44C；②8C=AE；③ED=g/9C；④当HC=2时，

AD=y/5-l.其中正确结论的个数是()

【答案】C

【分析】根据等腰二角形两底角相等与乙4=36。，得到乙钙C=NC'=72。，根据角平分线定义得到

Z4BD=NCBD=36°，根据线段垂直平分线性质得到EB=ED,得到NE8力=NEDB,推出NEDB=4CBD,

得到。石〃8C,推出N4瓦＞=N/皿C,①正确；根据等角对等边得到=AD=BD,根据三角形外

角性质得到/或Q=72。=/。，得到8C=8O,推出8C=AE,②正确；根据△AEOS"4C,得到

g==推出比＞=叵]水?，③错误；根据4c=2时，CD=^-AD,得至I]

BCACAD+DC22

避二!，AO=2—A。,推出AO=逐一1,④正确.

2

【详解】•・・_ABC中，AB=AC,ZA=36°,

ZyABC=ZC=^(180°-ZA)=72°,

由作图知，8。平分/A8C,MN垂直平分4。，

^ABD=ZCBD=-AMiC=36c,EB=ED，

2

5BD=NEDB,

・'./EDB=NCBD,

；・DE//BC,

/.ZAED=ZABC,①正确；

ZADE=NC,

，ZAED=ZADE,

:.AD=AE,

ZA=ZABD,

/.AD=BD,

•・•ABDC=ZA+ZABD=72°,

・•・ABDC=NC,

/.BC=BD,

：.BC=AE,②正确;

设EO=x,BC=a,

则AO=a,BE=x,

：.CD=BE=x,

.EDADAD

,'BC~^C~AD+DC'

a+x

x2+ax-a2=0

V.r>(),

.5/5-l

・・x=----a，

2

即EO=^^8C，③错误;

2

当AC=2时，CD=2-AD,

•・•8=避二140,

2

AD=2-AD,

2

A/W=V5-1，④正确

・••正确的有①②④，共3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，

相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质.

4.如图JRC中，ZACB=90°,AB=4,AC=x,ZBAC=a,。为A8中点,若点。为直线BC下方一点，且

△8CO与.A8C相似，则下列结论：①若a=45。，8C与0。相交于E,则点七不一定是△ABO的重心；

②若a=60。，则AD的最大值为2/7;③若«=60°.ABC”CBD,则OD的长为2石;④若AABCsABCD,

则当x=2时，AC+CD取得最大值.其中正确的为（）

C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出△48。的重心，即可求解；当a=60。，BDlBCUj,A。取

得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AO的长，即可求解；③如图5,若a=60。，

4ABeszCBD、根据相似三角形的性质求得8=6,GE=DF=MCF=^,进而求得0。,即可求

22

解；④如图6,根据相似三角形的性质得出。。=28。2,在RtzXABC中，302=1672,根据二次函数的

4

性质，即可求AC+C£＞取得最大值时，x=2.

【详解】①有3种情况，如图1,8。和。。都是中线，点E是重心;

如图2,四边形48。。是平行四边形，尸是AO中点，点正是重心；

如图3,点尸不是4。中点，所以点七不是重心；

①正确

②当a=60。，如图4时A。最大，八3=4,

，AC=BE=2,BC=AE=26BD=&C=6,

DE=8,

AD=2晒w2币,

，②错误;

图4图6

③如图5,若a=60。,

AZBCD=60°,NC£>8=90。，43=4,AC=2,BC=20OE=g,CE=1,

/?3

:,CD=g,GE=DF=^~,CF=1

・•・EF=DG=-,OG=—，

22

。。="W2后,

・••③错误；

④如图6,AABCSABCD,

.CDBC

••---=-----，

RCAB

即C。」8c。

4

在RtZ\A8C中，BC2=16-x2,

ACD=^(16-X2)=-^-X2+4,

AAC+CD=X--X2+4=--(X-2)2+5,

44

当、=2时，AC+CD最大为5,

・••④正确.

故选:A.

【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画

M图形是解题的关键.

5.如图，在…。中，〃=90"=3。"—的中点.若点E在边AC上,唠嘴,则AE

的长为（）

B.2C.I喈D.1或2

【答案】D

【分析】根据题意易得A8=2A/5,AC=4,然后根据题意可进行求解.

【详解】解：•・・/8=90。,4=30°,5。=2,

・•・AB=®C=2®AC=2BC=4,

:点。为A3的中点,

・•・AD=-AB=>/3f

2

ADDE

:.DE=1,

①当点£为AC的中点时，如图,

2

②当点E为AC的四等分点时，如图所示:

•**AE=1,

综上所述：AE=1或2；

故选D.

【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及

三角形中位线是解题的关键.

6.如图，在Rt..A5C中，ZC=90°,AI3=5,BC=3,以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交ABAC

于点E,F,分别以点E,尸为圆心，大于;E尸的长为半径作弧，两弧在N84。的内部相交于点G,作射

【答案】D

【分析】过点。作。MS/WrFM，由勾股定理可求得AC=4,由题意可证明△AOC04A。暇，则可得

AA/=AC=4,从而有BM=1，在RtDMB中,由勾股定理建立方程即可求得结果.

【详解】解：过点。作。于M,如图，

由勾股定理可求得4c=y/AB2-BC2=4^

由题中作图知，AZ）平分N'3AC,

VDMVAB,ACIBC,

・•・DC=DM,

•:AD=AD,

・•・RtA/ADC^RtAyADM,

：,AM=AC=4,

・'・BM=AB-AM=1；

设8O=x,则MD=CD=BC-BD=3-x,

在Rt0M4中，由勾股定理得：12+（3-X）2=X2,

解得：%=|，

即80的长为为1

故选：D.

【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利

用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键.

7.5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库''中有许多几何元素，其中

有•个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，搜长为12m,则底边上的高是（）

A.4mB.6mC.10mD.12m

【答案】B

【分析】作AO工3c于点L根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得

NE=NC=；(180。-NB4C)=30。，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，作AD18C于点。，

J中,NAAC=120。，AB=AC,

ZB=ZC=1(180°-ZBAC)=30°,

KD1BC,

AD=—Ali=—x12=6m,

22

故选B.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键

是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半.

8.如图，,.ABC为等边三角形，点。，E分别在边BC,AB上,ZADE=60°,若BD=4DC,DE=2.4,

则AO的长为()

BD(

A.i.8B.2.4C.3D.3.2

【答案】C

4

【分析】证明根据题意得出=进而即可求解.

【详解】解：•・•二ABC为等边三角形，

・•・ZB=ZC=60°,

VZADB=ZADE+ZBDE=ZC+ZDAC,ZADE=60°,

/.^BDE=ZDAC,

・•・AADCsADEB

.ADAC

••丽一而

,/BD=4DC,

4

・•・BD=-BC,

5

,A。AC=—』

'DE=~BD^BC

J

•・•DE=2.4

AD=-xDE=3,

4

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是

解颍的关键.

9.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程:

已知：如图1,在RIZV18C中，ZC=90°.

求作：RlZ\A8C的外接圆.

作法：如图2.

（1）分别以点A和点8为圆心，大于;4B的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点;

（2）作直线PQ,交A8于点0：

（3）以。为圆心，为半径作。。，G。即为所求作的圆.

A.两点确定一条直线

B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

【答案】D

【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC=Q4=OB即可.

【详解】解：作直线尸。（两点确定一条直线），

连接?人PB,Q人QB,OC,

••・/。1月〃且从0=80（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线I-J.

•・•ZACB=90°,

AOC=\AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

2

：.OA=OB=OC,

・•*,B,。三点在以。为圆心，A3为直径的圆上.

・•・0为54c的外接圆.

故选：D.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的

关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10.如图，在J18C中，ZABC=90°,AB=3f8c=4,点。在边AC上，且8。平分的周长，则

【答案】C

【分析】如图所示，过点8作8E_LAC于E,利用勾股定理求出47=5,进而利用等面积法求出==

96

则可求出AE=三，再由8。平分A8c的周长，求出40=3,CD=2,进而得到力E=三，则由勾股定理得

BD=\lBE2+DE2=—.

5

【详解】解：如图所示，过点8作BEJ.AC于£,

•・•在,A8C中，ZABC=90。,AB=3,BC=4,

；・AC=y/AB2+BC2=5，

,**S^BC=^ACBE=^BCAC,

.R"ABBC12

AC5

AE=y/AB2-BE2=",

5

•・・BD平分A8C的周长，

AAD+AB=BC+CD,即40+3=C£>+4,

又7AD+CD=AC=5,

AAD=3,8=2,

・•・DE=AD-AE=-,

5

/.BD=\lBE2+DE2=—,

5

故选c.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

11.4ABe的三边长a,b,C满足（a—〃尸+）24—。一3+IC-3忘|=0,则工8c是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由等式可分别得到关于〃、b、C的等式，从而分别计算得到〃、b、C的值，再由的关系,

可推导得到JWC为直角二角形.

【详解】解•・•(牛一份2+一%一3+1c—3拉|=0

(«-Z>)2>0

又•.•卜24-/?-320

卜-3囱NO

(a-by=0

；•<42cl-〃-3=0,

k-3闽二0

。一力=0

/.'2。—/?—3=0

c-3x/2=0

4=3

解得•b=3,

c=3五

a2+b2=c2»且。=6,

・•・；.AfiC为等腰直角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0,每一个非负

数均为0,和勾股定理逆定理.

12.四边形A8C。的边长如图所示，对角线4。的长度随四边形形状的改变而变化.当乂8C为等腰三角形

【答案】B

【分析】利用三角形三边关系求得0<AC<4,再利用等腰三角形的定义即可求解.

【详解】解：在一ACZ)中，AD=CD=2,

；・2-2<AC<2+2,即0<AC<4,

当AC=8C=4时，一A8C为等腰三角形，但不合题意，舍去:

若AC=A8=3时，C为等腰三角形，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

二、填空题

13.将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置.，点D在AB边上，ADEF绕点D旋转，腰

12

DF和底边DE分别交4CAB的两腰CA,CB于M,N两点，若CA=5,AB=6,AB=1：3,则MD+—=—

MA-DN

的最小值为.

【答案】2石

【分析】先求出AD=2,BD=4,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得

ZAMD+ZA=ZEDF+ZBDN,然后求出NAMD二NBDN,从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角

形对应边成比例可得经;挈，求出MA・DN=4MD,再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据

BDDN

非负数的性质求出最小值即可.

【详解】•・・AB=6,AB=1：3,

/.AD=6x-=2，BD=6-2=4，

3

•••△人8（：和4FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，

••・/A=/B=/FDE,由三角形的外角性质得，ZAMD+ZA=ZEDF+ZBDN,AZAMD=ZBDN,

/.△AMD-ABDN,

.MAMD

••丽一丽’

・•・MA・DN=BD・MD=4MD,

，MD+岛

=MD+—(VA/D)2+(J—)2-2>/3+2>/3

MD7MD

=(亚5一届沁坤,

•・•当我二扁’

12

即MD=75时MD+-；V有最小值为2G.

M7ADN

故答案为2道.

考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；旋转的性质；最值问题；综合题.

14.如图，在RtZ\A4C中，NAC8=90。，点。为8C的中点，过点C作CE〃交AO的延长线于点E,

若AC=4,CE=5,则CD的长为.

【分析】先根据AAS证明△8D4电△CDE,推出胡=CE=5,再利用勾股定理求出8C,最后根据中点的

定义即可求。。的长.

【详解】解：CE//AB,

/.ZBAD=ZCED,

，,点。为8C的中点，

BD=CD»

又.ZBDA=ZCDE,

二.ABDA^ACDE(AAS),

BA=CE=5,

,一△A4C中，ZACI3=9O°,AC=4,

二•BCNAS-AC?二正一个二3,

13

CD=-BC=~.

22

3

故答案为：—.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明1是解题的

关键.

15.如图，在Rt_ABC中，NAC6=90。，AC=BC=3,点。在直线AC上，AD=\,过点。作。£〃4?直

线BC于点E,连接用），点O是线段4。的中点，连接OE,则OE的长为.

【分析】分两种情况当。在C4延长线上和当。在C4上讨论，画出图形，连接。C,过点。作ON_LAC尸

N,利用勾股定理解题即可

【详解】解：当在线段上时，连接OC,过点。作QV_L8C于N,

9=1,

.\CD=AC-AD=2,

/BCD=90。,

BD=4af^BC2=V22+32=，

点O是线段8。的中点，

/.()C=OB=OD=-BD=—,

22

ONIBC,

.\CN=BN=-BC=-

22t

ABDE,

:.ZCOE=Z4=NCBA=NCED=45°,

:.CE=CD=2,

31

:.NE=2--=-

22

ON=>JCO2-CN2=b

OE=10N。+NE。=Jr+（；）2=日,

②当。在C4延长线上时，则CQ=AD+AC=4,

。是线段3。的中点，NBCD=900,

：.OC=OB=OD=、BD,

2

ONA.BC,

13

­,CN=BN=-BC=-,

22

OB=OD,

:.0N=-CD=2t

2

AB\DEt

:.ZCAB=4cOE=NCBA=Z.CED=45°,

:.CE=CD=4t

35

:.EN=CE-CN=4--=-t

22

...OE=4EN2+ON2=亚++=亨,

二.OE的长为好或里.

22

故答案为：立或吁.

22

【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.

16.如图，在中，NC=90o,AC=BC=6.P为边A3上一动点，作PDLBC于点。,PE_L4?于点

E,则的最小值为.

A

【答案】3&

【分析】连接CQ,利用勾股定理列式求出入8,判断出四边形C。/石是矩形，根据矩形的对角线相等可得

DE=CP,再根据垂线段最短可得时，线段。石的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方

程求解即可.

【详解】解：如图，连接“，

・•・AB=VAC2+BC2=V62+62=6V2，

•：PD工BC于点、D,PE上ACT点、E,ZACB=90°,

，四边形CQPE是矩形，

・•・DE=CP,

由垂线段最短可得时，线段C9的值最小，此时线段OE的值最小,

此时，=1AC-BC=^AB-CP,

代入数据：1仓电6二创矩CP,

22

；・CP=3近，

D七的最小值为34，

故答案为：34.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段OE的值

最小是解题的关键.

17.如图.四边形A8C。中，AB=AI),BC=DC,ZC=60°,AE〃CD交BC于点、E，BC=8,AE=6,

则AB的长为.

【答案】2币

【分析】连接AC、4。交于点。，过点七作EF,/AC,交AC干点F,先证明△88是等边三角形，AC

垂直平分8D,求得N£4C=/4C0=NAC8=3O。，AE=EC=6,再解三角形求出AO=AC-CO=，

30=4,最后运用勾股定理求得A4即可.

【详解】解：如图：连接AC、BD交于点O,

又TBC=DC,ZC=60°,

•・•△88是等边三角形，

:.BD=BC=CD=8,

VAB=AD,BC=DC,

/.AC1BD,BO=DO=-BD=4,

2

・•・AACD=AACB=-/BCD=30°,

2

又,：AE〃CD、

:.NEAC=ZACD=AACB=30°.

AE=EC=6,

过点E作所/AC,交AC于点尸，

，CF=CE-cos30。=6义立=3百，

2

AF=AE-cos30°=6x=3^，

2

CO=BCcos30°=8x—=473,

2

・•・AC=CF+AF=6>5>

AO=AC-CO=66-46=25.

・•.在Rt.BOA中，AB=JBO?+AO?=’Qg)2+42=2币.

故答案为：2".

【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾

股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键.

18.如图，已知N48C=50°,点。在8A上，以点4为圆心，8D长为半径画弧，交BC于点、E,连接DE,

则/3Z定的度数是度.

【答案】65

【分析】根据题意可得七，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180。进行计算即可解

答.

【详解】解：根据题意可得：BD=BE,

:，£BDE=NBED,

•・•ZABC+ZBDE+/BED=180°,ZABC=50°,

・•・4BDE=/BED=65。.

故答案为：65.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题

的关键.

19.如图，在中，以4为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C,D两点,分别以点。和点。为圆心，

大于;CO长为半径作弧，两弧交于点尸，作直线小，交CQ于点、E,若AC=5,8=6,则4E=.

【答案】4

【分析】利用圆的性质得出AP垂直平分。。和AD=4C=5,运用勾股定理便可解决问题.

【详解】解：根据题意可知，以点。和点。为圆心，大于gc。长为半径作弧，两弧交于点尸，

・•・AP垂直平分C£>,即ZAED=90c,

:.DE=-CD=3,

2

又1•在一ABC中，以人为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C,D两点,其中AC=5,

AD=AC=5,

在VA/汨中，AE=ylAD2-DE2=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查圆和三角形的相关性质，掌握相关知识点是解题的关键.

20.如图，在&A8c中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交4C,8C于点O,E；分别以点O,

E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点尸；作射线CF交人B于点G,若4c=9,BC=6,.BCG

的面积为8,则gACG的面积为.

c

n

GB

【答案】12

AGAC

【分析】过点6作8M〃A。交CG的延长线于点M,证明，ACGs^MG,得出W=£J=?，根据

GnBMoC

S.AGAC93

Ccc=^=^=6=r即可求解,

【详解】解：如图所示，过点“作4例〃AC交CG的延长线于点M,

ZACM=NCMB

由作图可得CG是NACB的角平分线,

•・公CM=4BCM

：ZBCM=/CMB

*.BC=BM

：//AC

•.ACS.BMG

.AGACAC

GRRMRC

SACGAGAC93

~~GB~~BC~6=2

BCG

••一BCG的面积为8,

・•・4CG的面积为12,

故答案为：12.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与

判定是解题的关键.

21.如图，。。为RtZXABC斜边A"上的中线，E为AC的中点.若4C=8,CD=5,则。£=

【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB,然后利用勾股定理即可得HI6C,最后利用三角形

中位线定理即可求解.

【详解】解：•・•在Rt^ASC中，C。为RtZXABC斜边48上的中线，8=5,

AAI3=2CD=W,

・•・BC7AB'-AC2=J1()2二G=6,

为4c的中点，

・•・DE=-BC=3

2

故答案为：3.

【点睛】本题主要考杳直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边

的一半是解题的关键.

22.在心△ABC中，4C8=90。，4c=6,BC=8,。是A8的中点，则CD=.

【答案】5

【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得A8,然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半解答即可.

【详解】解：如图：V^ACB=W,AC=6,BC=8

；・AB=VAC2+BC-=X/62+82=10

VZACB=90°,。为A8的中点，

/.CD=yAB=yX10=5.

故答案为5.

A