《乘法公式》自主达标测试题-2025-2026学年浙教版七年级数学下册

2025-2026学年浙教版七年级数学下册《3.4乘法公式》自主达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.等式（-3。2_助2）（）=16/?-94中，括号内应填入的是（）

2222

A.3a2—4匕2B.4b2—3Q2C.—3a-4bD.3a+4b

2.下列各式可以用平方差公式的是（）

A.（-a+4c）（a-4c）B.（x-2y）（2x+y）

C.（—3a—1）（1-3a）D.（-2%-y）（2x+y）

3.下列运算：①（3x+y）2=9/+V；（2）（a—2b）2=a2—2ab+4b2；（3）（—%—y）2=

22

x+2Xy+y.其中，运算错误的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.若Q4=3,则（1一。）（1+。）（1+。2）的值为（）

A.4B.2C.-4D.-2

5.如图，把一个长、宽分别为a+b、a的长方形分割成两个小长方形，然后拼成一个

边长为。的有空缺的大正方形，其中空缺部分是一个边长为〃的小正方形，那么通过计算两

个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）

A.a(a+b)=a2+abB.(a-b')2=a2-2ab+b2

2

C.(a+b)2=Q2+2ab+bD.(a+Z?)(a—b)=a2—b2

6.图1是某月日历，平移图2所示不透明"十字星”硬纸板去覆盖口历的口期部分，口历中

的五个数字恰好被完全遮住.若a,4c,d,e代表对应被遮住的数字，则代数式助-cd的值为

()

图1图2

A.—48B.-50C.48D.50

7.如图，将长方形力8C。的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为80,面积之和为

180,则长方形A8C0的面积为()

B.5C.15D.10

8.有〃个依次排列的整式，第一个整式为9产，第二个整式为9/+6%+1,第二个整式减

去第一个整式的差记为％，将%+2记为。2,将第二个整式加上的作为第三个整式，将在+2

记为内，将第三个整式与内相加记为第四个整式，以此类推.以下结论正确的有()个

®a4=6x+7；②若第三个整式与第四个整式的和为25,则％=2或%=-a③第2025

个整式为(3%+2024)2.

A.3B.2C.1D.0

二、填空题(满分24分)

9.多项式1+4/加上一个单项式后，成为一个完全平方式，请填空：1+4/+_=(_)2.

10.如果a+b=2026,a-b=1,那么a?—力？=.

11.已知M=20242,N=2023x2025,则M与N的大小关系是

12.计算(a+2)(Q—2)—(a—1)2的结果是_________.

13.方程2(无-3)(x+3)=2(无-I)2+2%的解是.

14.小北将(2024。+2023/展开后得到a62+皿+c1；小湖将(2023x-202铲展开后得

到。2/+62%+。2,若两人计算过程无误，则瓦+庆的值为.

15.4个数。,6国4排列成「力，规定它的运算法则为：，，|=Qd-儿.若胃

=12,则％=—.

16.有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了(2m+zi)(m+n)=

2m2+3mn+Ti2.观察图②，请你写出三个代数式(小+、(机一儿尸、〃切之间的等最关

系是.

①②

三、解答题(满分72分)

17.计算：

(l)(4x-1y)；

(2)(2m-l)(3m+1).

18.用乘法公式计算：

⑴(3a—b)2—(a-3b)(a+3b)

(2)(a-2b+1)(Q+2b+1)

(3)51X49

⑷10产

19.先化简，再求值：

2

(l)(a+(Q—：匕)一(a—：匕)，其中Q=3,b=-2.

(2)9(%-y)2-(3x-y)(3x+y),其中％=：,y=1.

20.如图，某广场有一块长为(3a+2b)米，宽为(2a+b)米的长方形土地，现要将阴影部分

进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为(Q-b)米的小正方形空地.

⑴用含a、b的代数式表示绿化部分的总面积；

(2)若Q=4,b=3,求出绿化部分的总面积.

21.探究规律：

观察下列等式：

第1个等式：(%-1)(%+1)=/一1

第2个等式：(％-1)(/+%+1)=/一1

第3个等式：(％—l)(x34-%24-x4-1)=%4—1..

⑴写出第4个等式：(％-1)(/+x3+x2+x+1)=：

(2)根据上述规律，猜想：(无一1)(#+/一1+•••...+无+1)=(〃为正整数);

⑶利用(2)中的猜想，计算：22025+22024+……+2+1.

22.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个

长方形(如图2).

⑴上述操作可以得到一个公式：.

(2)利用你得到的公式,计算：20252-2024x2026.

⑶计算:4050X(1-颉1-^)(1-专)…(1-册)(1一意).

23.阅读材料:

若x满足(9-x)(x-4)=4»求(9-x)2+(x-4)2的俏.

解：设9—x=Q,X—4=力，则(9—x)(x—4)=ab=4,Q+力=(9—x)+(无一4)=5,

•••(9-x)2+(无一4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2x4=17.

(1)若(3-x)(x-2)=-1,求(3-x)2+(x-2产的值；

(2)若(九-2024)2+(2023-n)2=10,则(九-2024)(2023-n)的值为；

⑶已知正方形4BCO的边长为小点尸和点R分别是边力B和CD上的点，且4P=4,CR=2,

分别以8P和DR为边长作正方形PBEr和正方形DMNR.若图中阴影部分长方形的面积是4,

请求出正方形P8EF和正方形。MNR的面积和.

参考答案

1.A

【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.

根据平方差公式进行计算即可.

【详解】解：(一3。2-4b2)(3a2-4b2)=(-4Z?2-3a2)(-4b2+3a2)=(-4b2)2-(3a2)2=

16d4-9a4,

故选:A.

2.C

【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键.平方差公式为a2-b2=

(a+b)(a-b),找出可化为该形式的选项即可.

【详解】解：A：(-a+4c)(a-4c)=-(a-4c)2,为完全平方公式的相反数，非平方差公

式，故此选项不符合题意；

B：(x-2y)(2x+y),无相同项也无互为相反数的项，不可用平方差公式，故此选项不符合

题意；

C：(-3a-l)(l-3a)=f-3a)2-l2,符合平方差公式，故此选项符合题意；

D：(-2x-y)(2x+y)=-(2x+y)2,为完全平方公式的相反数，非平方差公式，故此选项

不符合题意.

故选：C.

3.C

【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式(a±by=a2±2ab+庐是解题

的关键.

根据完全平方公式逐个判断即可.

【详解】解：①(3x+4=9/+6xy+y2,故①错误；

②(a—2b尸=a2—4ab+4b2,故②错误；

(3)(—x—y)2=x2+2xy+y2,故③正确.

综上，错误的有2个.

故选：C.

4.D

【分析】本题考查了平方差公式的应用，先将(1-a)(l+a)(l+a?)化成1一Q3再将小=3

代入即可.

【详解】解：原式=(1一。2)(1+。2)=1一。4

va4=3

•••原式=1-3=-2

故选：D.

5.D

【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应月，分别计算出两幅图中的阴影部分

的面积即可得到答案.

【详解】解：左边那幅图的阴影部分的面积为(a+b)(a-b),

右边那幅图的阴影部分的面积为M-炉，

团两幅图中的阴影部分的面积相等，

22

团(Q+b)(a—b)=a—b*

故选：D.

6.C

【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，正确设出未知数，熟练运用平方差公式是解题的

关键；设e代表对应被遮住的数字为工，则。代表的数字是：4-1,〃代表的数字是：%+1，

C代表的数字是：x-7,d代表的数字是：x4-7,即可得出“匕一cd=(%+1)(%-1)一(％-

7)(x+7),然后利用平方差公式展开即可得出答案.

【详解】解：设e代表对应被遮住的数字为x,则〃代表的数字是：%-1,。代表的数字是：

%+1,。代表的数字是：X—7,〃代表的数字是：%+7,

•••ab—cd=(x+l)(x—1)—(x-7)(x+7)=x2—1—(x2-49)=x2-1—x2+49=

48,

故选：C.

7.B

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，

先设=CD=y,根据题意求出x+y=10,/+y2=90,再根据完全平方公式的变

形得(X+y)2=/+y2+2%y,然后整体代入求出答案.

【详解】解：设力8CD=y,根据题意，得

f2x4%+2x4y=80

(2x2+2y2=180

毗+y=10,x2+y2=90.

0(%+y)2=x2+y2+2xy,

01O2=90+2xy,

解得孙=5,

所以长方形48co的面积为48-CD=xy=5.

故选：B.

8.B

【分析】本题考查了规律型，整式的加减，根据已知条件找到规律即可解决，掌握相关知识

是解题的关键.

【详解】解：回第一个整式为9/,第二个整式为9/+6%+1,第二个整式减去第一个整

式的差记为由,

回由=(9x2+6%4-1)-9x2=6x+1.

0a2=Qi+2=6%+3,

0a3=a2+2=6x+5,

…9

0an=an_i+2,

0a4=a3+2=6x+54-2=6x+7,故①符合题意；

国第二个整式加上巴作为第三个整式，

团第三个整式为9/+6%+1+6x+3=9x2+12%+4=(3x+2)2,

团第三个整式与。3相加记为第四个整式，

回第四个整式9/+12x+4+6x+5=9x2+18%+9=(3x+3)2,

第三个整式与笫四个整式的和为(9/+I2x+4)+(9x2+18x+9)=18x2+30x+13,

则18/+30X+13=25,

03x2+5x—2=0,

△=52-4x3x(-2)=49,

耽#，

6

解得：%或％=—2,故②不符合题意；

第一个整式为9/=(3x)2,

第二个整式为97+6无+1=(3%+1/，

第三个整式为9/+6x+l+6x+3=9x2+12x+4=(3x+2)2,

第四个整式9/+12x+44-6x+5=9x2+18x+9=(3x+3)2,

・・・9

回第n个整式为(3%+"I)?,

团第2025个整式为(3%+2025-I)2=(3%+2024)2,故③符合题意；

综上，正确结论有①和③，共2个.

故选：B.

9.4x31+2/(答案不唯一)

【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的形式解答即可.

【详解】解：多项式1+4/+4/=(1+2产)2,是一个完全平方公式：

多项式1+4%2±4x=(1±2x)2,是一个完全平方公式.

故答案为：4x4,1+2/(答案不唯一).

10.2026

【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果.

【详解】解：根据平方差公式,得。2->=(a+b)(a-b),

0a+d=2026,a—b=1,

代入上式得=2026x1=2026.

11.M>N/N<M

【详解】解：•.・M=20242,

N=2023x2025=(2024-1)(2024+1)=20242-1,

:•M—N=20242-(20242-1)=1>0,

•••M>N.

12.2a—5/—5+2a

【分析】本题主耍考查了乘法公式，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同

类项即可得到答案.

【详解】解：(Q+2)(Q—2)—(Q—1)2

=a2-4-(a2-2a+1)

=a2—4—a2+2a-1

=2a—5,

故答案为：2a-5.

13.x=10

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是解题的关键，利川公式

法计算即可.

【详解】解：2(%-3)(%+3)=2(x-I)2+2x,

移项，2(7-9)-2(/-2x+l)-2x=0,

2/-18-2X2+4X-2-2X=0,

合并同类项并计算得：2x-20=0,

解得：x=10.

故答案为：10.

14.0

【分析】本题考杳的是完全平方公式的应用，掌握"完全平方公式''是解本题的关键.根据完

全平方公式可得儿=2x2024x2023%,b2=-2x2023x2024x,从而可得答案.

【详解】解:(202解+2023尸展开可得:=2x2024x2023%,

(2023%-2024尸展开可得:b2=-2X2023X2024%,

(30+电=(2x2024x2023-2x2023x2024)x=0,

故答案为：0.

15.1

【分析】根据题目给定的新运算法则，将所给行列式转化为方程，然后通过展开、化简方程

求解》的值.本题主要考查了新定义运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握新定义的运算

法则是解题的关键.

【详解】解：利用题中新定义得：(X+3)2-(X-3)2=12,

整理得：12%=12,

解得：x=1.

故答案为：1.

16.(7〃+n)2—477m=(77?—n)2,(771+7i)2—(m—n)2=4mn,(m—n)2+4mn=(m+n)2

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各图形的面积是关键.大正方形

的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，可得出三个代数式(6+71)2、(血一„)2、

mn之间的等量关系；依此即可求解.

【详解】解：观察图②可知，代数式(m+九尸、(m-n)?、mn之间的等量关系式：(机+n)2-

4mn=(m—n)2；(m+n)2-(m—n)2=4mn；(rn—n)2+4mn=(m+n)z.

故答案为：(m+n)2—4nin=(jn—n)2；(m+n)2—(m—n)2=4mn；(m—n)2+4mn=

(m4-n)2.

17.(l)16x2-4xy+~y2

(2)6m2—m—1

【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握相关知识点并正确计算，即可求

解.

(1)根据完全平方公式展开，即可求解.

(2)根据多项式乘多项式的运算法则展开，即可求解.

【详解】(1)解：=16x2-4xy4-^y2.

(2)解：(2m-l)(3m4-1)=6m24-2m—3m-1=6m2—m—1.

18.(l)8a2-6ab+10b2

2

(2)a+2Q+1-4/

⑶2499

(4)10201

【分析】此题考查了乘法公式在计算中的应用，熟练掌握公式和灵活变形是解题的关键.

(1)利用完全平方公式和平方差公式计算即可；

(2)利用平方差公式计算即可；

(3)变形后利用平方差公式计算即可；

(4)变形后利用完全平方公式计算即可.

【详解】⑴解:(3a—力＞一(a-3b)(a+3b)

=(9a2—6ab+炉)—(a2—9b2)

=9Q2—6ab+b?-Q2+9b2

=8a2-6ab4-10d2；

(2)解：(a-2b+l)(a+2b+l)

=[(a4-1)-2b][(a+1)+2b]

=(a+l)2—(2b)2

2

=(a+2Q+1)-4b2

=a2+2a+1-4b2；

(3)解：51X49

=(50+1)x(50-1)

=502-I2

=2500-1

=2499；

(4)解：1012

=(100+l)2

=10024-2x100x1+l2

=10000+200+1

=10201.

19.(l)ab-^b2,-8

(2)-18xy+10y2,1

【分析】本题考查了整式的化简与求值，涉及平方差公式、完全平方公式以及合并同类项,

熟练掌握乘法公式是解答本题的关键.

(1)先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把Q=3,8=-2代入计算即可；

(2)先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把x=1y=l代入计算即可.

［详解］(1)解：(L+；b)(a-,b)-

=_g+；匕2)

=a2—^b2-a2+ab—~；b2

44

2

=ab--2b,

当a=3,b=-2时，

原式=3x(—2)—1x(—2)2=-6—2=-8；

(2)解：9(x-y)2-(3x-y)(3x+y)

=9(x2-2xy+y2)-(9A2-y2)

=9x2—18xy+9y2-9x2+y2

=-18xy+10y2,

当为=y=1时，

2

原式=-18x-2xlF10xl=-9F10=l.

20.⑴(3。2+13协一川)平方米

(2)195平方米

【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，完全平方公式、代数式求值等知识，

掌握以上知识点是解题的关键.

(1)根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把

式子去括号化简即可得出答案；

(2)把Q=4,匕=3代入(1)中进行计算即可得出答案.

【详解】(1)解：(3a+2b)(2a+b)-3(")产

=6a2+3ab+4ab+2b2-3(a2-lab+炉)

=6a2+3ab+4ab+2b2-3a2+6ab-3b2

=(3a2+13ab-b?)平方米,

答：绿化部分的总面积为〔3Q2+13ab-炉)平方米：

(2)解：当Q=4,b=3时，

3Q2+13ab-d2=3x42+13x4x3-32=195(平方米).

答：绿化部分的总面积为195平方米.

21.(l)x5-1

(2)xn+1-1

(3)22026_1

【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现

数字的变化特点，求出所求式子的值.

(1)根据题目已给出的式子的规律写出答案即可；

(2)根据题目已给出的式子判断出规律得到笫〃个等式即可；

(3)根据(2)中规律可得(2-1)(22025+22024+......+2+1)根据规律求解即可.

【详解】(1)解：根据规律a—i)(a+丁+产+x+1)=J-1；

(2)解：根据规律：(％-1)(”+/-1+…...+%+1)=/+1-1：

2026

(3)解：原式=(2-1)02025+22024+……+2+1)=2一1.

22.(l)a2-b2=(a+b)(a—6)

(2)1

(3)2026

【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图

形的面积是解题的关键.

(1)图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为(a+b),宽为

(a-b),因此面积为(a+b)(a-b),由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式；

(2)将2024x2026写为(2025-1)(2025+1),利用平方差公式即可求解;

(3)根据M-炉=(。+8)(。一式把所求式子先裂项,再计算求解即可.

【详解】(1)解：由题意可得：图2中长方形的长为(a+b),宽为(a—b),

同长方形的面积为伍+b)(a-