2024北师大版七年级下册 第四章 三角形 单元测试（含答案）

北师大版（2024）七年级下册第四章三角形单元测试

一、选择题

1.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FCIIAB,若AB=5,CF=3,则BD的

长是（）

A.2B.1.5C.1D.0.5

2.已知图中的两个三角形全等，则2+广（^是（）

A.3B.4C.5D.7

3.三角形三个内角的度数分别是（x+y）°,（x-y）0,x°,且x>y>0,则该三角形有一个

内函为（）

C.90

4.下列图中不具有稳定性是（）

匚BQ。鱼

5.如图，0是AB的中点，要用角边角（ASA）来判定△0AC义ZiOBD需要添加一个条件，下列条

件正确的是（）

D

A.乙A二NBB.AC=BDC.zC=zDD.C0=D0

6.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得NA=100°,NB=40°,这块三角形木板另外一个

角NC的度数为（）

AB

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是（）

8.如图，已知41=42,添加下列条件，不能判定4ABD三4ACD的是（）

A.AD1BCB.AD平分NBACC.E为BC的中点D.AB=AC

9.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB=CD=10,zDAC+zBCA=180°,zBAC4-

ZACD=90°.四边形ABCD的面积是（）

A.25B.40C.50D.100

10.如图，△ABC的面积为40,AD平分4BAC,AD_LBD于D,连接CD,则4ACD的面积为

0

A.10B.15C.20D.25

11.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，则々ACB=()

A.100°B.120°C.125cD.135c

12.如图，在RtaABC中，zBAC=90°,CD是△ABC的角平分线，AE1CD于点E,连接BE,

AB=6,AC=8,BC=10,则△ABE的面积是（）

二、填空题

13.在一个三角形中，三个内角的度数之比为1:5:6,则这个三角形是三角形.(填

“锐角”“直角”或“钝角”)

14.如图，NACB二NDFE,BC=EF,用AAS判定△ABC04DEF,则需要补充一个条件，这个条件

是

把图①放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图④，在3X2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知，

把图①放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2X4=8种不同的放

置方法.

山b।।।।।।田田田田

im-匚口

探究三:

把图①放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图⑤，在aX2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论

可知，把图①放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同

的放置方法.

探究四：

把图①放置在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图⑥，在aX3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论

可知，把图①放置在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，种不同的放

置方法.

［问题解决］

把图①放置在aXb的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置

方法.

［问题拓展］

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a,

b,c（a>2,b>2,c>2,且a,b,c是正整数）的长方体，被分成了aXbXc个棱长为1的

小立方体，在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体.

三、解答题

18.如图，△ABC三△BAD,请指出两个全等三角形的对应边和对应角.

19.在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关

系更加清晰.实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策唯.

我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四

十里，驾马日行一百五十里.驾马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是：快马每天

走240里，慢马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？

［直观分析］

（1）设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整；

［解决问题］

（2）根据（1）中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题.

慢马

I川

快马240力

20.如图，小明和小华两家位于A,B两处，隔河相望.要测得两家之间的距离AB,两人分别设

计了不同的方案：

小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上极取CD=BC,过点D作

DE//AB,取点E使E,C,A在同一条直线上，则DE的长就是A,B两点间的距离；小华设计的

方案：如图，在B点同侧选择一点C,测得NABC=75°,ZACB=35°,然后在M处立了标杆，

使NMBC=75°,ZMCB=35°,此时测得MB的长就是A,B两点间的距离.请你分另I说明两人

设计方案的道理.

AA

［任务］如图1,测量车祸现场A、B两点之间的距离.车祸现场因保护需要，测量不能进入场内.

［工具］如图2,一把皮尺（测量长度略小于AB的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量

任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量

180。以内的角.除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用.

小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：

①［测量过程］如图3,在车祸扬地外选点C,测量AC=2a米，取AC中点0,测量OB=b米，

并将皮尺延长至D,使OD=OB=b米，测量CD=c米.

②［求解过程］由测量知，OA=OC=a,OB=0D=b,

VrAOB=zCOD,.*.△OAB2OCD,AAB=CD=c（米）.

答：A、B两点之间的距离为c米.

（1）小明求得AB,用到的几何知识是;

（2）小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和量南器，通过测量长度

（用字母a、b、c…表示）和南度（用字母a、0表示），并利用初二年上学期所学知识，求出

车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程.

22.已知，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB4-ZD=180°,E、F分别是BC、CD边上的

点.且4EAF=J4BAD.探究线,段BE、EF、DF的数量关系.

(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当NB=4D=90。，，；、宁探究此

问题的方法是：延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,请你补全小宁的解题思路：先证明

△ABG=_;再证明△AEG二；即可得出线段BE、EF、FD之间的数量关系是

⑵如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,zB4-zD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,

且乙EAF=；4BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程：

⑶在四边形ABCD中，AB=AD,zB+ZD=180°,E,F分别是BC、CD所在直线上的点，

_EL£EAF=|ZBAD.请直接写出BE、EF、FD线段之间的数量关系，不用证明.

北师大版(2024)七年级下册第四章三角形单元测试(参考答案)

一、选择题

1.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FCIIAB,若AB=5,CF=3,则BD的

长是()

A.2B.1.5C.1D.0.5

【答案】A

【解析】解:VFCHAB,

ArA=zECF,zF=zEDA,

VDE=FE,

.♦.△ADE三△CEF(AAS),

AAD=CF,

TAB=5,CF=3,

/.BD=AB-AD=AB-CF=5-3=2;

故选：A.

A.3B.4C.5D,7

【答案】C

【解析】解：・・•两个三角形全等，

/.a=6,b=4,c=5,

a+b-c=6+4-5=5,

故选：C.

3.三角形三个内角的度数分别是（x+y）,（x-y）0,x°,且x>y>0,则该三角形有一个

内雨为（）

A.30°B.450C.90°D.60°

【答案】D

【解析】解：・・,三个内角的度数分别是（x+y）°,（x-y）0,x°,三角形内角和为180°,

x+y+x-y+x=180,/.3x=180,x二60,古攵选D.

4.下列图中不具有稳定性是（）

【答案】B

【解析】解：由三角形的稳定性、四边形的不稳定性可知,

含有四边形，不具有稳定性，

故选：B.

5.如图，0是AB的中点，要用角边角(ASA)来判定aOAC经△OBD需要添加一个条件，下列条

A.rA=zBB.AC=BDC.zC=zDD.CO=DO

【答案】A

【解析】解：添加NA二NB,是AB的中点，AAO=BO,在AACO和△BDO中，

ZA=ZB,OA=OB,ZA0C=ZB0D,AAOAC^AOBD(ASA),故选A.

6.如图，是一块三角形木板的残余部分，量得NA二100°,NB=40°,这块三角形木扳另夕|、一个

角NC的度数为()

AB

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】解：••.△ABC中，ZA=100°,NB二40°,AZC=180°-ZA-ZB=180°-100°-

40。=40°.

7.如图，工具房有一个方形框架，小华发现它很容易变形，以下加固方案最好的是()

【答案】D

【解析】解：根据三角形的稳定性可得D是最好的加固方案.

故选:D.

8.如图，已知41=42,添加下列条件，不能判定4ABD三^ACD的是()

A.AD1BCB.AD平分乙BACC.E为BC的中点D.AB=AC

【答案】B

【解析】解：vzl=Z2,

•0•BD=CD,

而AD=AD,

•••当添加ADJ.BC时，zDEB=ZDEC=90°,则4BDA=4CDA,所以△ABD三2\ACD(SAS),

所以A选项不符合题意；

当添加AD平分々BAC时，ZBAD=ZCAD,不能判断△ABD三△ACD,所以B项符合题意；

当添加E为BC的中点时，DEJ.BC,ZDEB=zDEC=90°,则々BDA=4CDA,^Jr^AABD=

△ACD(ASA),所以C选项不符合题意；

当添加AB=AC时，所以4ABD三ZkACDGSS),所以D选项不符合题意.

故选：B.

9.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB=CD=10,zDAC+zBCA=180°,zBAC4-

ZACD=90°.四边形ABCD的面积是()

A

BC

A.25B.40C.50D.100

【卷案】C

【解析】解：如图，延长BC到点E,使得CE=AD,

又：4ECA+4BCA=180°,

A£ECA=ZDAC,

在ZkACD和4CAE中，

(AC=CA

zDAC=zECA,

(AD=CE

.*.△ACD三△CAE(SAS),

**•AE—CD—10,Z.CAE—Z.ACD,S^CD=SACAE,

VrBAC+zACD=90°,

ArBAC+zCAE=90°,AB1AE,

S^ABE=gAB♦AE=x10x10=50,

四边形ABCD的面积S=S.ABC+^AACD=SAABC+SAACE=SAABE=50.

故选：C.

10.如图，△ABC的面积为40,AD平分匕BAC,AD1BD于D,连接CD,则AACD的面积为

0

B

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【解析】解：延长BD、AC交于点E,

•••乙BAD=ZEAD,ZADB=4ADE=90°

.--4AABD和AAED中,

zBAD=zEAD

AD=AD,

zADB=Z.ADE

ABD三△AED(ASA),

：•AB=AE,BD=DE,

^AABD=SAAED,^ABDC-SaEDC，

•••△ABC的面积为40,

SAABE=SAABC+2SABCD=404-2SAEDC,

•••SAADC=S^ADE-SAEDC=jSAABE-SAEDC=1x40=20.

故选：C.

11.如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，则4ACB=()

AB

A.100°B.120°C.125°D.135°

【答案】D

【解析】解：如图所示：

结合网格特征

.*.NC=DM=DH,AN=CM=BH,zANC=zCMD=zBHD=90°

.'."DM+zDCM=90°

/.△ANC^ACMD,△CMDwZkBHD

ArNCA=Z.CDM,ZNCA+ZDCM=90°,CD=DB

・•.rACD=180°-(zNCA+zDCM)=90°

同理得/CDB=90°

VCD=DB

・•.乙DCB=45°

・••乙ACB=zACD+zDCB=900+45°=135°

故选：D

12.如图，在RtaABC中，zBAC=90°,CD是△ABC的角平分线，AE1CD于点E,连接BE,

AB=6,AC=8,BC=10,则△ABE的面积是()

A

E

B

91?

A.1B.2C.yDf

【答案】C

【解析】解：延长AE交BC于点F,作AMJ.BC与点M,如图所示,

vAE1CD,CD是△ABC的角平分线

zAEC=ZFEC=90°,zACE=zFCE

在4AEC和aFEC中

fzAEC=4FEC

|EC=EC

(/ACE=zFCE

・••△AECFEC(ASA)

AE=EF,FC=AC

vzBAC=90°,AB=6,AC=8,BC=10

BF=BC-FC=BC-AC=10-8=2

11

VS△ABC=5AB,AC——BC-AM

AB-AC6x824

AM=-----------=---------=—

BC10f

112424

：•S^ABF=5BF•AM=—x2x——=——

55

AE=EF

_1_12412

•*,SAABE=2S^ABF=2X~5~

故选：C.

二、填空题

13.在一个三角形中，三个内角的度数之比为1:5：6,则这个三角形是.三角形.（填

“锐角”“直角”或“钝角”)

【答案】直角.

【解析】解：根据题意得：三角形的最大角度数=180°X—^-=90°.

1+5+6

・•.这个三角形是直角三角形.

故答案为：直角.

14.如图，NACB二NDFE,BC二EF,用AAS判定AABC色△DEF,则需要补充一个条件，这个条件

是.

【解析】解：要使△ABC^^DEF,根据AAS判定，两角及其一角的对边分别对应相等，添加

ZA=ZD,可判定全等.

15.如图所示的网格为正方形网格，则乙2—41=°.

【解析】解：:△ABC和4CDE中,

AC=CE=2

zACB=zCED=90°,

BC=DE=1

ABC=ACDE(SAS),

•••z.1=z3,

Vz.2是ZkCDE的一个外角，

z.2=z34-Z.CED,

即乙2=z3+90°,

.•./2=41+90。，

z2-zl=90°.

故答案为：90

16.如图，BEXAE,CF1BE,垂足分别为E,F,D是线段EF的中点，CF=BF,若AE=4,

DE=3,则△ABC的面积是.

【解析】解：VBE1AE,CF1BE,

・••乙E=ZCFD=90°,

VDE=DF,zADE=zCDF,

.,.△ADE^ACDF(ASA),

.\AE=CF=4,

VCF=BF,

.\BF=4,

ABE=2DE+BF=6+4=10,

△ABC的面积=SAABD+S△匚DF+SABCF

=^AABD+SAADE+^ABCF

=S4ABE+SABCF

11

=-AE-BE+-BF-CF

22

11

=-x4xl0+-x4x4

22

=28,

故答案为：28.

17.［问题提出］

图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张aXb的方格纸（aXb

的方格纸指边长分别为a,b的矩形，被分成aXb个边长为1的小正方形，其中a22,b22,

且a,b为正整数）.把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种

不同的放置方法？

［问题探究］

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最较简单的情形入手，再逐次递进，最后

得出一般性的结论.

探究一,:

把图①放置在2X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图③，对于2X2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法.

探究二:

把里①放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图④，在3X2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论可知,

把圈①放置在3X2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2X4=8种不同的放

置方法.

由baiiaia田田田田

mm

图①图②

密3HS

图⑤图⑥

探究三：

把图①放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图⑤，在aX2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论

可知，把图①放置在aX2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方彩，共有种不同

的放置方法.

探究四：

把图①放置在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方

法？

如图⑥，在aX3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2X2方格，依据探究一的结论

可知，把图①放置在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，种不同的放

置方法.

［问题解决」

把国①放置在aXb的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置

方去.

［问题拓展］

如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a,

b,c(a>2,b>2,c>2,且a,b,c是正整数)的长方体，被分成了aXbXc个棱长为1的

小立方体，在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体.

【答案】解：探究三：

根据探究二，aX2的方格纸中，共可以找到(a-1)个位置不同的2X2方格，

根据探究一结论可知，每个2X2方格中有4种放置方法，

所以在aX2的方格纸中，共可以找到(a-1)X4=(4a-4)种不同的放置方法.

故答案为：(a-1),(4a-4);

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a,有(a-1)条边长

为2的线段，同理，边长为3,则有3-1=2条边长为2的线段，

所以在aX3的方格中，可以找到2(a-1)=(2a-2)个位置不同的2X2方格，

根据探究一，在aX3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有(2a-2)X4=

(8a-8)种不同的放置方法.

故答案为：(2a-2),(8a-8);

问题解决：

在aXb的方格纸中，共可以找到(a-1)(b-1)个位互不同的2X2方格，

依照探究一的结论可知，把图①放置在aXb的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，

共有4(a-1)(b-1)种不同的放置方法.

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则分别可以找到(a-1)、(b-1)、(c-1)条

边长为2的线段，

所以在aXbXc的长方体共可以找到(a-1)(b-1)(c-1)个位置不同的2X2X2的正方

体，

再根据探究一类比发现，每个2X2X2的正方体有8种放置方法，

所以在aXbXc的长方体中共可以找到8(a-1)(b-1)(c-1)个图⑦这样的几何体.

故答案为：8(a-1)(b-1)(c-1).

三、解答题

18.如图，△ABC三△BAD,请指出两个全等三角形的对应边和对应角.

【答案】解：VAABCBAD,

・••对应边：AB与BA,BC与AD,AC与BD;对应角：4CAB与乙DBA,zABC与4BAD,zC与

/P.

19.在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关

系更加清晰.实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略.

我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》(1299年)一书中有一道题目是：“今有良马日行二百四

十里，驾马日行一百五十里.苜马先行一十二日，问良马几何日追及之.”译文是：快马每天

走240里，慢马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？

［直观分析］

(1)设快马x天可以追上慢马，请你将如下的线段图补充完整；

［解决问题］

(2)根据(1)中线段图所反映的数量关系，列方程解决问题.

慢马

快马240力

【答案】解：(1)补充线段图如下：

慢马

|12X15OI150」

IK

快马240r

(2)12X150+150x=240x,

解得x=20,

答：快马20天可以追上慢马.

20.如图，小明和小华两家位于A,B两处，隔河相望.要测得两家之间的距离AB,两人分别设

计了不同的方案：

小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取CD=BC,过点D作

DE/7AB,取点E使E,C,A在同一条直线上，则DE的长就是A,B两点间的距离；小华设计的

方案：如图，在B点同侧选择一点C,测得NABC=75°,ZACB=35°,然后在M处立了标杆，

使NMBC=75°,NMCB=35°,此时测得MB的长就是A,B两点间的距离.请你分别说明两人

设计方案的道理.

EM

【答案】解：・・・DE〃AB,

AZA=ZE,

在AABC和4EDC中，

2A=NE

<ZACB=ZECD,

BC=DC

AAABC^AEDC(AAS),

ADE=AB.

即DE的长就是A、B两点之间的距离.

在AABC与aMBC中，

rZABC=ZMBC

■BC=BC,

ZACB=ZMCB

/.△ABC^AEDC(ASA),

ADE=AB.

即DE的长就是A、B两点之间的距离.

21.如图，阅读下列材料，回答问题.

［任务］如图1,测量车祸现场A、B两点之间的距离.车祸现场因保护需要，测量不能进入场内.

［工具］如图2,一把皮尺（测量长度略小于AB的两倍）和一个量角器，皮尺的功能是直接测量

任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；量角器的功能是测量

18。。以内的角.除笔纸和上述工具外，再无任何工具可借用.

小明利用皮尺测量，求出了车祸现场A、B两点之间的距离，测量及求解过程如下：

①［测量过程］如图3,在车祸场地外选点C,测量AC=2Q来，取AC中点0,测量OB=b来，

并将皮尺延长至D,使OD=OB=b米，测量CD=c米.

②［求解过程］由测量知，OA=OC=a,OB=0D=b,

VrAOB=ZCOD,・•・△OABOCD,AAB=CD=c（米）.

答：A、B两点之间的距离为c米.

（1）小明求得AB,用到的几何知识是;

（2）小明仅利用皮尺，通过4次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和量能器，通过测量长度

（用字母a、b、c…表示）和函度（用字母a、0表示），并利用初二年上学期所学知识，求出

车祸现场A、B两点之间的距离，并写出你的测量及求解过程.

【答案】解：（1）根据题意可知：小明求得AB,用到的几何知识是全等三角形判定与性质.

故答案为：全等三南形判定与性质.

（2）如图：测量过程：在场外选择点C,用皮尺从点A起到C再到B拉直摆放.

①测量BC=b米，

②测量4ACB=a,

然后将量角器沿AC翻折，将发尺CB绕点C旋转至D,

③使々ACD=a（zACD需要测量，CD由CB旋转所得，不需要测量）

④最后测量AD=c米就是AB的距离.

求解过程：

在△ACB与△ACD中，

AC=AC

Z.ACB=zACD,

CB=CD

/.△ACB=AACD中，

AB=AD=c米.

22.已知，在四边形ABCD中，AB=AD,zB+zD=180°,E、F分别是BC、CD边上的

点.JLzEAF=|zBAD.探究线段BE、EF、DF的数量关系.

(1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当N