2026届高三数学三轮冲刺：必刷小卷1 解答题第18、19题 专练（一） 三角函数与解三角形（原卷版）

口题型一教材情境下双曲函数性质的深度探究

1.(2026•安徽六安2月高三学业水平检测，17分)双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基

于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为sinh(%)=《F,双曲余弦函数定义为cosh(x)="A.

(1)求双曲余弦函数cosh(x)在x=0处的切线方程；

(2)令f(x)=cosh(x)—cosx,讨论f(x)在(0,4-oo)的单调性；

(3)证明：2tan[cos/i0+3tQ7i[cos/i+…+n£an：cosh(，)>n+5—3(n>l,neA»*).

口题型二三角形的费马点

2.（2026•湖南长沙阶段检测，17分）正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一.“费马点”

是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其

与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当VA8C中的三个内

角均小于12（）。时，使得NAOA=NBOC=NCQ4=120。的点O即为费马点；当V48C有一个内角大于或

等于120。时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知VA8C的内角A,8,C所对

的边分别为a,b,c,若csinC-t/sinA=（c一〃）sinB.

（1）求A；

（2）若bc=2,求VABC的面积；

（3）设点。为V/WC的费马点，求PA-PB+PB・PC+PC，PA.

□题型三三角函数、不等式恒成立与参数最值问题

3.(2026•山西西安第八十五中学一模，17分)已知函数〃x)=sinx-gsin2x.

⑴求在(0.兀)上的最大值；

⑵求证：Vxe[O,+8),/(⑼工二/怛成立；

⑶若VxG[都有/(x)>a/85恒成立，求。的最大值.

口题型四三角函数性质与累加型数列不等式

4.(2026•广东东莞3月模拟测试，17分)已知函数/(x)=2sinx+sin2x

(1)判断了(x)是否为周期函数，并说明埋由；

(2)求/(工)的最大值和最小值；

万

(3)设〃EN",证明：sinx+sin2x+sin4x+••4-sin2nx<+1.

口题型五三角函数性质、恒成立与正切型数列不等式证明

5.(2026•黑龙江齐齐哈尔一模,17分)已知函数/(x)=2sinx-冰.

(1)当。=1时,求函数/(%)在［0,可上的值域;

(2)若对任意xe0彳，都有/(力之小双丫，求实数〃的取值范围；

—〃11118/

(3)证明,------<tan―r+tun—r+tan――+•,+tan-------<—I/?GN)

।,盟.2〃+4223242(〃+1)23兀\八

□题型六指数三角复合函数与周期区间根的大小比较

6.(2026•江苏南京栖霞区名校联盟一模，17分)已知函数/(x)=e'cosx,g(x)=sinx+l.

(I)求/(可在卜彳]内的单调性；

(2)若存在xe-/。，使得了(力一"⑴“，求实数〃的取值范围；

(3)设方程小)=4)在区间(2〃兀+5,2〃兀+]}〃=12・、2025,2026)内根从小到大依次为

阳，工2，…，工2025，工2026，试比较9026与工2025+2兀的大小，并说明理由.

口题型七三角塞指函数与数列放缩不等式深度探究

7.(2026•山东德州一模，17分)已知函数/；(x)=sin2[x-；J+cos2”(x-：

(1)证明：力(司(〃22)在0,：上单调递增；

1Lj|||

(2)记上(工)的最小值为。”也=2log2—+1,数列十一的前〃项积为人

\anJ

(i)求｛4｝的通项公式；

(ii)证明：对任意的〃wN”,7；,>而I成立.

口题型八正切函数导数应用与正切型数列不等式证明

8.(2026•重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分)设函数/a)=tanx-sinx.

(1)求曲线y=/(x)在x=()处的切线方程；

(2)若函数g(x)=/(x)-or3(aeR)在区间|0段)上单调递增，求。的最大值：

(3)已知数列｛《J满足：

a.+an*