2025-2026学年吉林省某中学九年级（上）期末数学试卷（含部分答案）

2025.2026学年吉林省实验中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列实数中，比-2小的数是（）

A.-3.5B.-1C.0D.

2.新时代十年来，我国建成世界.L规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加

到13.6亿，参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为（）

A.13.6XIO8B.136X1（）8c.I.36XIO9D.I3.6XI09

3.下列计算正确的是（）

A.c.（3«）2=6«2D.（a+1）W+1

5.如图，一座正四棱锥金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损，已知该金字塔的卜底面是一

个边长为230〃?的正方形，且每一个侧面与地面成51。角，则金字塔原来高度为（）

、ns

D.

6.如图，C。是。。的直径，4?为。。的弦，且其。||。4.若/84。=110。，则立。的度D

数为（）//

A.45°

B.4O0

C

C.35°

D.30°

7.如图，在△人中，以点B为圆心，适当长为半径画弧,分别交边人8,BC于A

点。，分别以点。，£为圆心，大于上长为半径画弧,交内部于点

E.7AABC/\G

E连结AF,CF,连结8尸并延长交AC于点G,添加下列条件，不能使AG=CGB

成立的是（）

A.BA=BCB.4BAG+乙CBG=90°

C.BA=BGD.乙BAF二乙BCF

8.如图，^ABCD的顶点A在反比洌函数"«VU）的图象上，点。在y轴,4

X

AL_lp

上，点从C在x轴上，A3与3，轴交于点£,连接C£若BC=3OB,\

・九。“尸=L则上的值为（〕

t）

A.-6o|BC

B.-10

C.-8

D.-12

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.因式分解：m2-2m=_____.

10.计算vI8-V1=_____.

11.已知关于x的方程『-3a上0有两个不相等的实数根,则女的取值范围是______.

12.如图，在矩形A4c。中，AB=2,AD=\,以点A为圆心4。长为半径画弧，交A4于点AD

七，则图中阴影部分的面积为）

E/

B'-------'c

13.如图，将正五边形纸片ABODE折叠，使点3与点E重令，折痕为AM,展开

后，再将纸片折叠，使边43落在线段4M上，点4的对应点为点后，折痕为AR

则的大小为度.

14.如图，正方形ABCO边长为2,在正方形ABCO内部，以A8为直径作半

圆、点£是CO中点，AE、分别与半圆交于点G,点忆连接

CF.①AG=BF；②cos乙D4E=2'2③”一？：④5mc尸匕⑤点G、尸是

5EF35

半圆的三等分点.以上说法正确的有一.（只需填写序号即可）

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题6分）

先化简，再求值：（J-2）（x+2）・x（43）,其中了,:.

16.（本小题6分）

清明节假期期间，某电影院有三部影片可供顾客选择观看，分别为猫猫的奇幻漂流（记为A）、哪吒之魔

童闹海（记为4）、唐探1900（记为C）,小明和小红各随机从中购买一张电影票，用画树状图（或列

表）的方法，求他们看同一部影片的概率.

17.（本小题6分）

如图，在△ABC中，AB=AC,点。是BC的中点，过点A作4E平行于BC,且AE=CO,连接BE.求证：

四边形AE8O是矩形.

18.（本小题7分）

为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树

60C0棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%,结果提前4天

完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？

19.（本小题7分）

如图，在一个7X7的正方形网格中，格点A,&C均在圆上，请按要求画图，仅用无刻度的直尺（不能

用直尺的直角），保留必要的作图痕迹.

（1）在图1中作图，画出直径CP.

（2）在图2中作图；在T•上找一点，使充，而.

（3）在图3中作图：在，/上找一点E,使方？一病.

图⑴图⑵

20.（本小题7分）

随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，4聊天机器人的智能化水平显著提高，有关

人员开展了对甲、乙两款川聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整

理、描述和分析（满分100分，分为四个等级：A.80Vx/85；B.85VxW90；G90<x<95：D.95<

x<100.）下面给出了部分信息.

甲款A/聊天机器人的评分扇形统计图

甲、乙款4聊天机器人的评分统计表

平均数中位数众数

甲款89.9590.585

乙款91.4C86

乙款4聊天机器人的评分频数分布统计表

分组ABCD

频数3b74

乙款A/聊天机器人的评分。组的数据从低到高排列如下：91.91.92.93.94.95.95

（1）填空：67=»b=,C=.

（2）你认为哪款A/聊天机器人更受用户喜爱？请判断并说明理由.（写出一条理由即可）

（3）在此次调查中，分别有500人、400人对甲、乙款4聊天机器人进行评分.请通过计算，估计此次调

查中对两种A聊天机器人评分在90分以上的总人数.

21.（本小题8分）

甲、乙两家快递站分别接到了对自己所辖范围派送快递各4000,牛的任务.甲快递站前期先派送了500件

后，乙快递站才开始派送，且甲、乙两家快递站的派送速度相同.甲快递站经过。小时后共派送快递2500

件，由于人员变化，接下来派送速度变慢，结果1。小时完成派送任务.乙快递站8小时完成派送任务.在某

段时间内，甲、乙两家快递站的派送件数y（件）与派送时间x（小时）之间的关系如图所示.（1〉乙快递

站每小时派送件，。的值为；

（2）甲快递站派送速度变慢后，求y关于x的函数解析式；

<3）当乙快递站完成派送任务时，求甲快递站未派送的快递件数.

22.（本小题9分）

【问题原型】如图1,在矩形4BCO中，AB=2,40=2/2，点E在边4。上，点F在射线。C上，且。F二

v'2AE，连接97交于点M,若点P是A。边上的一个动点，连接PC、PM,试探究PC+PM的最小

值.

【问题分析】如图2,小明首先作点C关于直线AO的对称点U,连接PC'、PM,由对称性可知

PC1=PC,利用基本事实：“两点之间线段最短”，可知当C'、P、M三点共线时，

PC+PM=PC'+PM=C'M,进而问题转化为探究C'M的最小值问题，又进一步转化为探究点M的轨迹

的问题.其次，小明发现可通过证明尸saABE,得出AELBE,进而可知乙4MB=90"，即可确定点M

的轨迹.以卜.是证明乙4MB=90°的部分过程：

证明：在矩形A8C。中，

484。二乙40090°,

"B=2,4。=2、/2，

-AD=y/2

证明过程缺失

请你补全上述缺失的证明过程：

【问题解决】请结合上述探究过程，此时PC+PM的最小值为_____.

【方法应用】如图3,正方形A8CO中，AB=4、」2,点从产分别为8C,4。上的点，过点E、尸的直线将

正方形A3CQ的面积分为相等的两部分.过点A作于点G,连接OG,则线段OG长的最小值为

图①图③

23.（本小题10分）

如图，在m△ABC中，ZB=9O°,BC=8,A8=6.点尸在边AC上（点尸不与点C重合），点。在射线CB

上，KCQ=AP,连结PQ,以PQ为对角线作菱形PMQV,使乙WPN=乙4,且点加在PQ左侧.

(1)求A。的长.

(2)当点M在动4C上时，求AP的长.

连结MM当MN与△人BCIKJ边平行时，求CQ的长.

(4)作直线MN交边BC于点E,当为直角三角形时，直接写出4P的长.

24.（本小题12分）

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线产F+以-1经过点（2,-1）.点P在此抛物线上.其横

坐标为机；连接P。并延长至点。使。。=2Po.当点尸不在坐标轴上时，过点尸作x轴的垂线，过点。作

y轴的垂线，这两条垂线交于点M.

（1）求此抛物线对应的函数解析式.

（2）△PQM被），轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变

化，说明理由.

（3）当△尸。M的边M。经过此抛物线的最低点时，求点。的坐标.

（4）当此抛物线在△尸内部的点的纵坐标），随x的增大而减小时，直接写出用的取值范围.

备用图

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】m(/〃-2)

10.【答案】0

11.【答案】

*1

12.【答案】2-；

13.【答案】45

14.【答案】①②③

15.【答案】3x425.