广东省珠海市香洲区某中学2023-2024学年高一年级数学下册开学收心练习试卷（解析版）

广东省珠海市香洲区香樟中学2023-2024学年高一下学期数学开学收心练习试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.命题FxZO,2*+x-QW0”的否定是()

A.Vx<0,2X+x-a<0B.Vx>0,2X+x-a>0

C.3x<0,2x+x-a>0D.3x>0,2x+x-a>0

【答案】B

【解析】【解答】解：命题FxNO,2"+%-。工0''的否定是"小:皂0,2X+x-a>0".

故答案为：B.

【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.

2.设全集U={1,2,3,4},4=(1,2},则CuA=()

A.[1,2}B.{1,3}C.{3,4}D.{2,3,4)

【答案】C

【解析】【解答】解：因为集合(7={1,2,3,4},4={1,2},所以Cu4={3,4}.

故答案为：C.

【分析】由集合的补集运算求集合即可.

3.函数/Xx)=—，+/=！的定义域为()

A.[1,+00)B.(1,+00)

C.[1,3)U(3,+8)D.(1,3)U(3,+8)

【答案】C

【解析】【解答】解：要使函数/■(%)=三+VFG有意义，则{:二解得无N1且XH3,

故函数/(幻的定义域为[1,3)U(3,+00).

故答案为：C.

【分析】根据分式、偶次根式有意义，列关于》的不等式，求解即可・

4.若“X)=户3°,财⑶=()

1-2x,x>0

A.9R.10C.-6D.6

【答案】C

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N+1,x<0

【解析】【解答】解：因为/（%）=一,3>0,所以/■⑶=一2・3=—6.

-2x,x>0

故答案为：C.

【分析】直接代入计算即可.

5.sinl50°=（）

A.-1B.1C.一室D.空

【答案】B

1

【解析】【解答】解:sinl500=sini；180°-30°）=sin30°=右

故答案为：B.

【分析】根据诱导公式结合特殊角的三角函数值求值即可.

6.已知a、b都是自然数，则“a+b是偶数”是“a、b都是偶数”的（）条件

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】【解答】解：因为a、b都是自然数，若a、b都是偶数，则a+b是偶数；

a+匕是偶数，则a、b都是偶数或a、b都是奇数；

故“a+b是偶数”是“a、b都是偶数”的必要而不充分条件.

故答案为：B.

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

7.已知2sin8-cos。=0,则cosg+s吗=（）

cosO-sinO

A.1B.2C.2D.3

【答案】D

【解析】【解答】解：由讥可得。另，=黑黑=

2s6—cos”0,tan2c鬻osd一-si望nu1—tant/3.

故答案为：D.

【分析】由题设可得tan。=发利用同角三角函数基本关系化弦为切代值求值即可.

8.16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“v”和"/符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发

展影响深远.若Q=（笨，匕=吗2,c=log23.则小仇c的大小关系为（）

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

【答案】A

【解析】【解答】解：因为指数函数y=（犷单调递减，所以O<Q=（装<（》。=1，

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因为对数函数y=log2不单调递增，所以c=log23>log22=1,

因为y=bgy单调递减，所以°=1°gi2<bgp=°,所以c>a>b.

333

故答案为：A.

【分析】利用对数函数、指数函数的单调性以及中间量进行大小比较即可.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.若a>b,则Q2>反B.若|a|>|b|,则>庐

C.若a>b,则a。？>be?D.若Q>b>0,则工v：

ab

【答案】B,D

【解析】【解答】解：A、取。=一2>匕=一3,满足Q>b,但〃<仁故A错误；

B、cz>b>0=>a2>b2>0；设c=\a\>0,d=\b\>0=>c>d>0

由不等式的性质可知：c2>d220,即同2>向220=小>庐；故B正确；

C、当02=0时，。/=儿2,故C错误；

D、因为a>b>0,所以0<工<：.故D正确.

ab

故答案为：BD.

【分析】利用不等式的性质与反例排除法逐项判断即可.

10.下列结论正确的是（）

A.lk3nEN,nz-n+l=0”的否定是WN,n2-n+10,T

B.VQER,方程X2一-1=o有实数根

C.BnEN,n2+i是4的倍数

D.半径为3,且圆心角为今的扇形的面积为37r

【答案】A,B

【解析】【解答】解：A、命题FriCN,M—九+1=0”的否定是6N,n2-n+1故A正确；

B、方程%2一一1=o的判别式d二（一。）2—4x（-1）=Q2+4>0,则方程有实数根，故B正确；

C、当九是偶数时，小+i是奇数不是4的倍数；

当"是奇数时，设九=2k+l,kWZ,则n2+1=（2k+1）2+1=4廿+4左+2,所以M+1不是4的倍数，

故C错误；

D、根据扇形的面积公式，可得5=N旌=鼻132=等，故D错误.

故答案为：AB.

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【分析】根据命题的否定、一元二次方程的跟、奇数和偶数、扇形面积计算公式选项分析判断即可.

11.已知函数/Xx)=(2〃2-/)/加为幕函数，则下列结论正确的为()

A.m=lB.f(x)为偶函数

C.f(x)为单调递增函数D.f(x)的值域为[0,+oo)

【答案】A,C

【解析】【解答】因为函数/。)=(26一瓶2)炉狙为辕函数，所以27n一巾2=1,所以m=l,所以A对：

由选项A知m=L则f(%)=x3,

因为函数/■(%)=/的定义域为R,所以函数的定义域关于原点对称，

又因为/'(—%)=(-》)3=-/=一/〔为，所以函数为奇函数，所以B错；

由选项A知m=l,则/(乃=/，

=

Vx€R,当X]<X?时,则f(xj-/(%2)=%1-%2(%1一%2)(宿+XiX2+xf)<0,则f(%i)<f(x2)f

所以函数f(x)在R上为增函数，所以C对；

因为XER,所以必£凡所以函数/Q)的值域为R,所以D错.

故答案为：AC.

【分析】利用已知条件结合事函数的定义得出m的值，从而得出塞函数的解析式，再结合奇函数和偶函数的

定义判断、增函数的定义判断、函数的值域求解方法，进而找出结论正确的选项.

12.关于函数/(x)=tan2x,下列说法中错误的是()

A.最小正周期是3

B.图象关于点G，0)对称

C.图象关于直线％=今对称

D.在区间(一会今上单调递增

【答案】C,D

【解析]【解答】解：A、函数f(x)=tan2x的最小正周期为丁故A正确；

B、因为函数丫=tanx的对称中心为(当加，0),k€Z，所以/'(%)=tan2x的对称中心为(。兀，0),kWZ，故B

4I

正确；

C、因为函数y=tanx无对称轴，所以/(x)=tan2x也无对称轴，故C错误；

D、因为函数旷=tan%的单调递增区间为(一?+上兀，S+kzr),keZ,所以函数f(x)=tan2K的单调递增区

间为一3+而<2无<?+人即一3兀<％<[+4兀，keZ，故D错误.

乙乙4242

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故答案为：CD.

【分析】由函数y=tanx的周期性，对称中心，对称轴和单调区间，对函数f0)=tan2x逐项判断即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知m>0,n>0且m+几=3,则3+9的最小值为.

mn

【答案】3+2企

【解析】【解答】解：因为m>0,n>0且m+n=3,

所以/人3舄+刍=舄+刍8+九)=1+黑2+萼之3+2^^=3+2日

n_2m

m+n=3，即m=3鱼—3,几=6-3或时等号成立，所以抖，的最小值为3+2企.

(m>0,n>0

故答案为：3+2鱼.

【分析】根据“1”的代换，化简整理可得2+号=1+3+2+器，再根据基本不等式求解即可.

14.重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们

的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大

阅读''活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占

我校学生总数的比例是.

【答案】69%

【解析】【解答】解：设只喜欢“大阅读”的有工人，两者都喜欢的有y人，只喜欢“科技嘉年华”的有z人，

X+y+z=0.96

x+y=0.78,解得y=0.69,即我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总

(y+z=0.87

数的比例是69%.

故答案为：69%.

【分析】根据集合关系列方程组求解即可.

15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就

是勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧脑的长度为生则该勒洛三角形的面积是.

【答案】淖

【解析】【解答】解：由弧”的长度为条则48=1,所以S须孔另xl2x^=9

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则勒洛三角形的面积是3s幽sc一25^c=3x^-2xlxlx^l-(l)2=写叵

故答案为：与应

【分析】由题意，根据弧长计算公式求出三角形边长，再根据扇形面积公式和三角形面积公式求解即可.

伊普Vl+2sin280°-cos440°

16•化问：sin2600+cos800。=--------

【答案】-1

［解析］［解答］解・Vl+2sin2800cos4400_Jl+2sin(3600-800)-cos(3600+80°)_Vl-2sin80°cos80°

'sin260°+cos8000-sin(1800+80°)+cos(3600x2+80°)--sin800+cos80°

―2

_J(sin800-cos800)_|sin80。—COS801_sin80°-cos80°_.

--sin80°+cos80°--sin80°+cos80°--sin80°+cos80°—

故答案为：—1.

【分析】利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合4={幻/+2%-8N0},集合B={x|x+5<3},

(1)求4nB；

(2)求Cu(AUB).

【答案】(1)解：由题意，4={%匕工2或工工一4},B={x|x<-2),

则4CB={x\x<-4}.

(2)解：由(1)可知，41)8={%氏<一2或％22},

则Q(4U8)={x|-2WxV2}.

【解析】【分析】(1)解不等式求得集合4R,再根据集合的交集运算求解即可：

(2)根据集合的并集和补集运算求解即可.

18.已知函数/(x)=x+1(x>0).

X

(1)求fQ)的最小值;

(2)判断/(%)在(1,+8)上的单调性，并根据定义证明.

【答案】(1)解：因为乂>0,所以/(%)=%+；>2,当且仅当力一1时等号成立，

所以/(%)的最小值为2.

(2)解：函数/(%)在(1,+8)上单调递增，证明如下：

令句>%2>贝好01)-r(%2)=X1+；—=(%1一%，(：；..2一1).

X1x2xlx2

因为必>%2>1,所以与一刀2>0，X1%2>1>

所以/(与)-f(小)=01二磔呼12>0,即f(与)>/(%2)，

第6页

所以f(x)在(1，+8)上单调递增.

【解析】【分析】(1)利用基本不等式求解即可；

(2)根据函数的单调性的定义判断并证明即可.

19.已知函数/(工)=2sin(td%+刍(公>0)的最小正周期为兀.

(1)求/有的值;

(2)求函数/(%)的单调递增区间.

【答案】(1)解：由题可知，篇=叫又。>0,所以3=2,

IT

所以/(%)=2sin(2x+可)，

所以fG)—2sin(2x,+()=2sinr=0.

(2)解：令2/CTT—?W2x+葭W2ATT+?,kGZ,

解得/CTT—<x<kn+-^2»kWZ,

所以函数f(x)的单调递增区间为［kTT—驾，/C7T+金］,(keZ).

【解析】【分析】(1)利用正弦函数的周期公式求出3,从而可得函数的解析式，再将出弋入求值即可；

(2)整体代入，利用正弦函数的性质计算即可得函数f。)的单调递增区间.

20.中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温.某景区山下的海景酒店有50

间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升20x元

(0<x<50,xWN"),则入住的房间数会相应减少x间.

(I)求该温泉酒店每天的收入):元关于x的函数解析式；

(2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当口收入为多少元？

【答案】⑴解:由题意,y=(600+20x)(50-x)=300004-400x-20x2.ft{xe/V*|0<x<50}.

(2)解：由(1),y=-20(x-10)2+32000,

所以，当x=10时，-ax=320。。元，

故每间房的住宿费用可定为800元，当H收入为32000元.

【解析】【分析】(1)根据题意有y=(600+20x)(50-%),展开并确定其定义域，即得函数解析式；

(2)由(1)的结论，利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可.

21.已知函数/(X)=Q/+I5X+C,不等式f(x)>0的解集是(0,5).

(1)求/(%)的解析式;

(2)若存在1］,使得不等式£/(x)N3有解，求实数£的取值范围.

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【答案】(1)解：因为不等式/(x)〉0的解集是(0,5)

所以0，5是方程a%2+i5x+c=o的两个实数根，

可得愿+浣2=。={1二

所以f(x)=-3x2+15%.

(2)解：由t/(©N3,得£(-3/+15%)N3,BPtx2-5tx+1<0.

令g(x)=亡产—5£%+1,x6[-1,1],

由题可知g(x)<0有解,即g(x)minWo即可.

当t=o时，g(%)=1V0,显然不合题意.

当士*0时，g(x)图象的对称轴为直线％=

①当t>0时，g(¥)在[一1,1]上单调递减，

所以=g⑴=-4t+1<0,解得£>

②当tv0时，g(x)在[一1,1]上单调递增，

所以g(x)m»