勾股定理-2025年中考数学试题分类汇编（含答案）

专题16勾股定理-2025年精选中考数学真题分类汇编

一、选择题

1.如图1,在AABC中，。是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿A8,两边匀速运动，运动到点

C时停止.设点P运动的路程为x,OP的长为），，），关于x的函数图象如图2所示.其中M,N分别是两段曲线

的最低点.点N的纵坐标是（）

A116R120112D116

~1TD.TTrJFu'~15

2.如图，在矩形/1BCD中，点£在边AD上，BE=BC,连接CE,若4B=3,4E=4,贝l」CE的长为（）

A.1B.5C.2X/2D.yJTO

3.如图，在菱形ABCD中，NB=45°,4B=6,点E在边BC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠，若点B落

在BC延长线上的点F处，则CF的长为（）

C.2V2D.6V2-6

二、填空题

4.如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为

m.

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5.如图，在RtaABC中，Z.ACB=90°,40平分乙。48,已知cos/G4D=窿，AB=26,则点8至必。的距

离为_________

6.如图，点4。在8C同根lj,AB=BC=CA=2,BD=CD=O，贝必。=

7.如图所示，正方形48co的边长为2,其面积标记为Si，以CO为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三

角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2..........按照此规律继续下去，则S2025的值

8.如图，在平面直角坐标系中，正方形4BC。的边4B在x轴上，点B的坐标为(1,0).点E在边CO上.将

△40E沿AE折叠，点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3).则点E的坐标为.

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9.如图，在矩形力BC。中，48=8,40=6,点E、F分别是边40、C0上的动点，连接BE、EF,点G为

8E的中点，点H为E尸的中点，连接GH,则GH的最大值是

10.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅

简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了卜.列几组勾股数：

①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25：@9,40,41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数

为.

11.如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为

12cm,则折成立方体的棱长为cm.

12.如图，在矩形力BCO中，点E、f分别在AC、C。上，且“II8D,把△ECF沿E/翻折，点C恰好落在矩形

对角线BD上，M处.若A、M、E三点共线，则罂的值为.

DFC

13.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0),8(0,26),点C在直线,〃：丫=噂％_挛上，且4c=3,连接

AB,BC,将4ABC绕点C顺时针旋转到△A$iC］点B的对应落在直线m上，再将点当△481cl绕点％顺

时针旋转到△A282C2,点"1的对应点乂2也落在直线”?上•如此卜去，…，则41001的纵坐标是.

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14.如图，在△A8C中，AB=3a,BC=5,ZBAC=45°.动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长

度的速度向终点。匀速运动.当点〃出发后，以A/为边作正方形APDC,使点。和点。始终在边AC同

侧.设点月的运动时间为x(s)(x>0),正方形APDE与△A8C重叠部分图形的面积为y(平方单位).

(1)AC的长为.

(2)求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围.

(3)当正方形人PQE的对称中心与点8重合时，直接写出x的值.

15.宽与长的比是与1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.现有一张黄金矩形纸片4BC。，长石+

1.如图1，折叠纸片A8CD,点8落在AD上的点七处，折痕为HF,连接EF,然后将纸片展开.

图1图2

(1)求48的长；

(2)求证；四边形CDEF是黄金矩形；

(3)如图2,点G为力E的中点，连接FG,折叠纸片4BCD,点8落在FG上的点”处，折痕为FP,过点

P作PQLEF于点Q.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由.

16.【定义新运算】

对正实数a,b,定义运算“③”，满足aG)b=空.

a+b

例如：当a>°时，(2°)合1=船=磊,

(1)当Q>0时，请计算：(2a)0(2a)=；

【探究运算律】

对正实数a,b,运算“③”是否满足交换律Q«)b=b⑥a?

•••a㊁”倦

,qba

中，

a®b=b0a.

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••・运算“③”满足交换律Q0b=b0a.

（2）对正实数a,b,c,运算“软，足否满足结合律9（8）6）。^=。8（。00?请说明理由；

（3）【应用新运算】

如图，正方形4BG）是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH拼成，AF=a,BF=b,且a>

b.若正方形48co与正方形EFG”的面积分别为26和16,则（2Q）⑥b㊈（2a）的值为.

17.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有

重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾

股数.

3,4,57,24,2511,60,6115,112,11319,180,181

4,3,58,15,1712,35,3716,63,6520,21,29

5,12,139,12,1513,84,8517,144,14521,28,35

6,8,1010,▲，2614,48,5018,80,8222,120,122

（1）请补全上表中的勾股数.

（2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表

中所有的勾股数，并证明.

（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如题22图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组

成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.

如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花?

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：根据图2,AD=20,CD=8,BD=15

点D到AB的距离DE=12,点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF,如图

B

­­AE=>JAD2-DE2=16，BE=y/BD2-DE2=9

AAB=AE+BE=25

*/AD2+BD2=202+152=625=252=AB2

/.ZADB=90°

・•・ZBDC=180°-ZADB=90°

­­BC=^JBD2+CD2=17

,nr,BDCD120

・••点N的纵坐标为衅

故答案为：B

【分析】根据图2,AD=20,CD=8,BD=15,点D到AB的距离DE=12,点N的纵坐标表示点D到BC的

距离DF,根据勾股定理可得AE,BE,根据边之间的关系可得AB,再根据勾股定理逆定理可得

ZADB=90°,则NBDC=90。，再根据勾股定理可得BC,再根据三角形面积即可求出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：二•在矩形ABCD中，AB=3,AE=4,

r.ZA=ZD=90°,AD=BC,CD=AB=3,

-'­BE=\/AE2+AB2=5，

ABC=BE=5,

.\AD=BC=5,

.\DE=AD-AE=1,

:・CE=VCD24-DE2=V10

故答案为：D.

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【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的反，再

利用勾股定理求得CE.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示，

:、^BAF=90°

BF=y/AB2+AF2=+62=6&

•.•四边形ABCD是菱形

:.BC=AB=6

：・CF=BF-BC=6V2-6

故答案为：D.

【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知=乙F=LB,则可得△4BF是等腰直角三

角形，由勾股定理可得BF=6企，再由菱形的四条边相等，即8c=6,则CF可求.

4.【答案】2.4

・•・h.=\/AB2-BC2=V32-1.82=2.4

故答案为：2.4.

【分析】根据题意可知ZACB=90°,AC=h,然后利用勾股定理求出h的值.

5.【答案】10

【解析】【解答】解：过点D作DHJ_AB于点H

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c

VZC=90°,cos^CAD=7^=

・,•设AC=12k,AD=13k

ACD=>JAD2-AC2=5k

TAD平分NCAB,DC1AC,DH_AB

?.DH=DC=5k

设点B到AD的距离为h

11

••弓x13kx九=5x26x5k

解得:h=10

故答案为：IO

【分析】过点D作DHJ_AB于点H,设AC=12k,AD=l3k,根据勾股定理可得CD,再根据角平分线性质可

得DH=DC=5k,再根据三角形面积即可求出答案.

6.【答案】V3-1

【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E

VAB=CA,BD=CD

•••AE1BC,BE=CE

*：AB=BC=CA=2

ABE=CE=1

•'-AE=7AB2-BE?=V3

DE=yjBD2-BE2=1

•\AD=AE-DE=>/3-l

故答案为：V3-1

【分析】延长AD交BC于点E,根据等腰三角形性质可得AEJ_BC,BE=CE=1,再根据勾股定理可得AE,

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DE,再根据边之间的关系即可求出答案.

7•【答案】^22

【解析】【解答】解：如图，,••△CDE为等腰直角三角形,

/.DE=CE,ZCED=90°,

•・•正方形/1BCD的边长为2

・・・DE号企

・•・面积标记为5的正方形：边长为2,面积为：22；

面积标记为S2的正方形：边长为:=近，面积为：（0）2；

VZ

面积标记为S3的正方形：边长为*=1，面积为：（I）?；

面积标记为S4的正方形：边长为专，面积为：（+）2二发

面积标记为S5的正方形：边长为总二发面积为：&）2榛

面积标记为S6的正方形：边长为弓弄二泰，面积为：（飘产带;

以此类推，面积标记为S2025的正方形面积为：^23；

故答案为：^22-

【分析】先根据等腰直角三角形的计算发现后面每一个正方形的边长;前面一个巴形的边长,即可表示出面

42

积，发现第n个图标记的sn=白，计算即可解答.

8.【答案】（-1.5,5）

【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴十点G,止方形ABCD的边长为a,

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VB(1,0),F(0,3),

/.OB=1,OF=3,

•・•四边形ABCD是正方形，

・•・ZD=ZC=ZB=ZBOG=ZAOG=9()°,AB=AD=CD=BC=a,

・•・四边形OBCG是矩形，

.\OG=BC=a,CG=OB=1,

.\OA=AB-OB=a-l,GF=OG-OF=a-3,

由折叠得AF=AD=a,DE=EF,

在RtAAOF中，VOA^OF^AF2,

解得a=5,

.\GF=5-3=2,

设EG=x,贝ljDE=EF=5-x-l=4-x,

在RtAEFG中，*.*EG2+GF2=EF2,

Ax2+22=(4-x)2

解得x=1.5,即EG=1.5,

・••点E(・L5,5).

故答案为：(-1.5,5).

【分析】设CD交y轴于点G,正方形ABCD的边长为a,由B、F的坐标可得OB=1,OF=3,由正方形四

边相等、四个内角都是直角得ND=/C=NB=NBOG=/AOG=90。，AB=AD=CD=BC=a,从而由有三个内角

为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a,CG=OB=1,然后根据线段

和差可得OA=a-1,GF=a-3,由折叠得AF=AD=a,DE=EF,在AOF中，由勾股定理建立方程可求出a

的值，从而可求出GF的长，设EG=x,则DE=EF=5xl=4-x,在RtZkEFG中，由勾股定理建立方程求出x

得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.

9.【答案】5

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【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD,

•・,四边形ABCD是矩形,

.\ZA=90°,

VAB=8,AD=6,

=V62+82=10,

丁点G为BE的中点，点H为EF的中点,

・・・614是4BEF的中位线，

ABF=2GH,

・••当BF最大时，GH最大，

•・•点F是CD上的动点，

・•・当点F与点D重合时，BF最大为10,

・・・GH的最大值为5.

故答案为：5.

【分析】连接BF、BD,由矩形性质得NA=90。，由勾股定理算出BD=1O,根据三角形的中位线等于第三边

的一半得出BF=2GH,故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10,据此即可求出答

案.

10.【答案】11,60,61

【解析】【解答】解：通过观察得：

第①组勾股数分别为：2x1+1=3,2x"+2x1=4,2x"+2x1+1=5;

第②组勾股数分别为：2x2+1=5,2x22+2x2=12,2x22+2x2+1=13;

第③组勾股数分别为：2x3+l=72x32+2x3=24,2X32+2x3+1=25;

第④组勾股数为：2x4+1=9,2x42+2x4=40,2x42+2x4+1=41；

所以第⑤组勾股数为：2x5+1=11,2x52+2x5=60,2x52+2x5+1=61.

故答案为：11,60,61.

【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+l,2M+2n,2M+27i+l,由此可写出第⑤组勾股

数.

11.【答案】绚2

【解析】【解答】解：如图，设8c=xcm,^iAB=(12—x)cm,BD=yflxcm,BE=4axem,

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在R£AA8E中，由勾股定理得，AE2+AB2=BE2,

即（12-%）2+（12一x）2=（4V2x）\

解得x=竽或%=-4=-4（舍去），

所以正方体的棱长为喈cm.

故答案为：萼.

°

故答案为：.

【分析】设BC=表示AE和EB长，在RtAEAB中根据勾股定理列方程求解即可.

12.【答案】■

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，

AAD=BC,AB=CD,4ABe=90。，

VEF//BD,

AzCEF=zCBA,zFEM=zEMB,

由翻折的性质可得：zCEF=zFEM,MF=CF,

.\^ENfB=zEBM,

ACE=BE=ME,

丁AD//BC,

.\ZADM=ZAMD,

・・・AD;AM,

设BE=ME=x,贝ljAD=AM=2x,AE=AM+EM=3x,

22

AB=V?IF-BE=2\[2x，

.AD_2x_/2

,,丽二访一丁

AD二旦

2

故答案为：乌

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【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE=BE=ME,再根据等角对等边推出AD=

AM,设BE=ME=x,贝ijAD=AM=2x,利用勾股定理求出AB=2«x,计算即可解答.

13.【答案】2004

【解析】【解答】解：当x=0时，y=_攀,

◊

・•・直线与y轴交于点（0,—竽），

・•・直线与X轴夹角的正切为主一迎，即夹角为30。,

2一3

AB=b24-(2通产=4,

:・BC=yjAC2+AB2=V32+42=5,

由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m匕且沿着直线m向.上移动3+4+5=12个单位长度,

V10014-3=333-2,

即4&0O1=333x12+12=4008,

•••Aooi的纵坐标是看X4008=2004,

故答案为：2004.

【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落

在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出44。。】长，然后求出直线m与x轴的夹角度

数，然后利用30。的直角三角形的性质解答即可.

14.【答案】（1）7

（2）解：当D在线段AB上运动时，y=^AP-BP=^x2（0<x<3）,

当D在线段AB的延长线上运动时•，即点P在线段PC上运动，

如下图：AP=x,PP=x_3,CP=7-x,CP=4,BP=3,

VFPBP,

AZCFP=ZCBP,ZCPF=ZCPB,

；・△CFPs/XCBP,

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・CP'CF

，9~CP=CBf

.7-xFP'

解得：FP'=M产，

4

io।21-3xo

；・Y=SAAPD+S他杉PPTR=/X?।4乂(x-3)=—g(x-7)2+10.5,(3<x<7)

2

1x2,0<x<3

q；

-g(x-7)24-10.5,3<x<7

(3)解1：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，

APC

，力0=2AB=6&，

，AP=DP,AP2+DP2=AD2,

即2Ap2=72,

解得：AP=6,

••x=6.

【解析】【解答】

解：（1）当B,。重合时，如下图:

VZBAC=45°,以AQ为边作正方形APQE,

是等腰直角三角形，AP=BP,AB2=y/AP2+DP2f即18=2A产,

解得：AP=3(负的舍去)，

VBC=5,ZDPC=90°,

:・PC=7BC2-BP?=V52-32=4，

・・・AC=4P+PC=3+4=7,

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故答案为：7；

【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC的值解答即可；

（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质

表示面积即可；

（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.

15.【答案】（1）解：・・1。=遥+1，矩形48CD是黄金矩形，

・AB/5-1

••而二^-'

•'•AB=与ix（遥+1）=2

（2）证明：•・•折叠黄金矩形纸片48C。，点B落在40上的点E处，

：.AB=AE,LB=Z-AEF,

乂；四边形A8CD是矩形，

/.Z.BAE=乙R=Z.C=zD=90。，AB=CD,AD=BC—Vs+1»

：.Z-BAE=4B=^AEF=90°,

・•・四边形4BFE是矩形，

'：AB=AE,

・•・四边形48FE是正方形；

：.AB=BF=EF=AE,

由（1）可知，AB=2,

：.AB=BF=EF=AE=2,

ADF=CF=V5+1-2=V5-1，

VzC=4。=乙DEF=90°,

・•・四边形（TEO是矩形，

:・EF=CD=2,

・DE/5-1

F二

・♦・四边形CDEF是黄金矩形.

（3）解：四边形8PQ”是黄金矩形，证明如下：

■:PQ1EF,四边形48FE是正方形，

：.Z.B=乙BFE=乙PQF=90°,

・•・四边形8FQ0是矩形；

由（2）可知，AB=BF=AE=EF=2,

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・・・G为HE的中点,

•\AG—EG—1,

:.FG=y/EG2+EF2=Vl2+22=遮，

如图，连接PG,由对折可得：FH=FB=2,BP=PH,zPHF=zfi=90°,

设BP=PH=x,则力尸=2-x,

•.•SaAPG+S&PBF+S^PGF=S梯形ABFG

•x1x(2-%)+*x2.x+*x>[Sx=々x(1+2)x2,

解得：x=V5-1»

:・BP=VS-1»

・BP_后T

・•・四边形BFQP是黄金矩形.

【解析】【分析】(1)根据黄金矩形的定义即可求出答案.

(2)根据折叠性质可得48=AE,乙B=Z.AEF,再根据矩形性质可得=Z.B=Z.C=Z.D=90°»AB=

CD,AD=8C=遥+1,再根据正方形判定定理可得四边形A8FE是正方形，贝1*8=BF=EF=AE=2,根

据边之间的关系可得。£=。F=通-1,再根据矩形判定定理可得四边形CFEO是矩形，则£7=0)=2,

再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.

(3)根据矩形判定定理可得四边形8"QP是矩形，则4G=EG=1,根据勾股定理可得FG,连接PG,由对

折可得：FH=FB=2,BP=PH,^PHF=^8=90°,设8P=PH=%，则AP=2-x,根据割补法，结

合三角形，梯形的面积建立方程，解方程可得x值，再根据黄金矩形的定义进行判断即可求出答案.

16.【答案】(1)a

(2)解：对正实数a,b,c,运算“⑥”满足结合律(a③b)gc=aN(bgc),理由如下:

,ababc

左边：====

右边：a③(b®