2023-2024学年北京市怀柔区高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）在复平面内，复数z对应点的坐标是（2，﹣2），则i•z＝（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i2．（4分）已知向量a→=(2，t)，b→=(1，−2)A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．43．（4分）下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（）A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y=sin2(x+π4) D．4．（4分）为了得到函数y＝sin（2x−π4）的图象，可以将函数y＝sin2A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π85．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=8，b=5，cosA=35，则角A．π6 B．π3 C．π6和5π6 6．（4分）sin75°cos15°﹣cos75°sin15°＝（）A．32 B．12 C．07．（4分）已知在△ABC中，cosA+1=b+cc，则判断△A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形8．（4分）已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥b，a⊥α，b⊂β，则α⊥β C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊥l，则a⊥b9．（4分）设非零向量a→，b→，则“(aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）已知向量OA→=(1，3)，向量|OB→|=2A．[0，3+23] B．[3−23，3+23]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝．12．（5分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则tanα＝；cosα＝．13．（5分）已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该圆锥的体积为14．（5分）“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．《九章算术•商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑．其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为．15．（5分）设函数f(x)=2cos2(ωx−①当ω＝1时，f（x）的最小正周期为2π；②若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω③将f（x）的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于原点对称，则ω＝3k+2（k∈Z④函数f（x）的图像与直线y=12相交，若存在相邻两个交点间的距离为π6三、解答题：共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（14分）已知向量a→（1）若m＝2，求a→⋅b（2）若2a→+b→（3）若a→与b→的夹角为45°，求实数17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1边长为2．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）证明：BD⊥A1C；（3）求三棱锥B﹣A1B1C的体积．18．（13分）在△ABC中，bsin2A=−27asinB，a＝8，（1）求b值；（2）求角C和△ABC的面积．19．（14分）已知函数f(x)=3从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在且唯一．条件①：f(π条件②：f（x）在区间[−π3，条件③：函数g(x)=f(x)−12相邻两个零点间的距离为选_____作为条件（1）求ω值；（2）求f（x）在区间[−π6，20．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置（A1与C不重合），连A1C，A1B，如图2．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1CD；（2）若平面A1DE与平面A1CB交于过A1的直线m，求证DE∥m；（3）线段A1B上是否存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由．21．（15分）在平面直角坐标系xOy中，定义向量OA→=(m，n)为函数f（x）＝msinx+ncos（1）设h(x)=2sin(x−π3)(x∈R)，写出函数h（x（2）若f（x）的有序相伴向量为OB→=(0，1)，若函数h（x）＝f（x）+|sinx|，x∈[0，2π]，与直线y＝k有且仅有二个不同的交点，求实数（3）若f（x）的有序相伴向量为OB→=(m，0)，当函数f（x）在区间[a，b]上时值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数的“和谐区间”．当m＝﹣3时，f（x）是否存在“和谐区间”？若存在，求出f（

2023-2024学年北京市怀柔区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）在复平面内，复数z对应点的坐标是（2，﹣2），则i•z＝（）A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i【考点】由复平面中的点确定复数．【答案】A【分析】由已知可得z，再由复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由已知可得，z＝2﹣2i，则i•z＝i（2﹣2i）＝2i﹣2i2＝2+2i．故选：A．2．（4分）已知向量a→=(2，t)，b→=(1，−2)A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】B【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：a→=(2，t)，b则2﹣2t＝0，解得t＝1．故选：B．3．（4分）下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（）A．y＝sinx B．y＝cos2x C．y=sin2(x+π4) D．【考点】三角函数的周期性．【答案】D【分析】根据三角函数的性质逐项判断即可．【解答】解：A项，y＝sinx是奇函数，周期为2π，不符；B项，y＝cos2x是偶函数，周期为π，不符；C项，y＝sin（2x+π2）＝cos2x，是偶函数，周期为D项，y＝tanx，是奇函数，周期为π，符合．故选：D．4．（4分）为了得到函数y＝sin（2x−π4）的图象，可以将函数y＝sin2A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π8个单位长度D．向右平移π8【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】D【分析】由题意利用y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移π8个单位长度可得函数y=sin(2x−故选：D．5．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=8，b=5，cosA=35，则角A．π6 B．π3 C．π6和5π6 【考点】余弦定理．【答案】A【分析】由已直接结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．【解答】解：因为a=8，b=5，cosA=3所以sinA=4由正弦定理得，sinB=bsinA因为b＜a，所以B＜A，即B为锐角，所以B=π故选：A．6．（4分）sin75°cos15°﹣cos75°sin15°＝（）A．32 B．12 C．0【考点】两角和与差的三角函数．【答案】A【分析】由已知结合两角差的正弦公式进行化简即可求解．【解答】解：sin75°cos15°﹣cos75°sin15°＝sin（75°﹣15°）＝sin60°=3故选：A．7．（4分）已知在△ABC中，cosA+1=b+cc，则判断△A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【考点】解三角形．【答案】C【分析】利用正弦定理得到sinAcosC＝0，所以C=π【解答】解：∵cosA+1=b+cc，∴cosA由正弦定理可得cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，A∈（0，π），∴sinA≠0，故cosC＝0，C∈（0，π），∴C=π故选：C．8．（4分）已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A．若a∥α，b⊂α，则a∥b B．若a∥b，a⊥α，b⊂β，则α⊥β C．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊥l，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】B【分析】根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．【解答】解：对A选项，若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，∴A选项错误；对B选项，若a∥b，a⊥α，b⊂β，则α⊥β，∴B选项正确；对C选项，若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b可以成任意角，∴C选项错误；对D选项，若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，b⊥l，则a与b以成任意角，∴D选项错误．故选：B．9．（4分）设非零向量a→，b→，则“(aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充分条件的判断．【答案】B【分析】由已知结合向量数量积的性质检验充分及必要性即可．【解答】解：非零向量a→若(a→+b→)⊥(a→−若a→=b→或a→=−b故选：B．10．（4分）已知向量OA→=(1，3)，向量|OB→|=2A．[0，3+23] B．[3−23，3+23]【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】D【分析】根据题意不妨设A（1，3），B（2，0），P（2cosθ，2sinθ），再根据向量数量积的运算构建函数模型，通过函数思想，即可求解．【解答】解：根据题意不妨设A（1，3），B（2，0），P（2cosθ，2sinθ），∴PA→=(1−2cosθ，3∴PA＝4cos2θ﹣6cosθ+2+4sin2θ−23sin＝﹣（6cosθ+23sinθ=−43sin(θ+π3∴PA→⋅PB→的取值范围是[故选：D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）设复数z满足（1+i）z＝2i，则|z|＝．【考点】复数的模；复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z＝2i，得z=2i则|z|=2故答案为：2．12．（5分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则tanα＝；cosα＝．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】−43；【分析】根据任意角三角函数定义即可得．【解答】解：角α的终边经过点P（3，﹣4），则r=9+16则tanα=−43；cosα故答案为：−43；13．（5分）已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该圆锥的体积为【考点】圆锥的体积．【答案】8π．【分析】先根据圆锥的轴截面是顶角为2π3【解答】解：设圆锥的高为h，底面圆的半径为r，∵圆锥的轴截面是顶角为2π3∴等腰三角形的底角为π6∴cos30°=r4，∴r＝23，∴∴圆锥的体积V=13π×（23）2×2＝8故答案为：8π．14．（5分）“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章．《九章算术•商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑．其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为．【考点】棱柱的体积．【答案】5−5【分析】根据水用掉一半时，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为堑堵体积的12，设水面的高度为h，利用三角形相似得出CD=【解答】解：因为长方体的长为3，宽为4，高为5，所以长方体的体积为V长方体＝3×4×5＝60，所以V堑堵当水用掉一半时，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为12设水面的高度为h，（0＜h＜5）如图，BC＝h，AA1＝3，AB＝4，EB＝5，因为CDAB=EC解得CD=20−4h所以S梯形ABCD所以V四棱柱ABCD−A1B1C1D即2h2﹣20h+25＝0，解得h=5−5故答案为：5−515．（5分）设函数f(x)=2cos2(ωx−①当ω＝1时，f（x）的最小正周期为2π；②若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立，则ω③将f（x）的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于原点对称，则ω＝3k+2（k∈Z④函数f（x）的图像与直线y=12相交，若存在相邻两个交点间的距离为π6【考点】函数恒成立问题．【答案】②③④．【分析】化简得f（x）＝cos（2ωx−π对于①，代入ω＝1，利用周期公式计算后即可判断；对于②，由题意可得当x=π4时，函数取最大值，从而得2×πω4−π6=对于③，由题意可得g（x）＝f（x+π6）＝cos（2ωx+πω3−π6）及πω3对于④，令f（x）＝cos（2ωx−π6）=12，得x=kπ+π4ω，k∈Z【解答】解：对于①，当ω＝1时，f(x)=2cos2(x−π则最小正周期为T=2π2对于②，因为f(x)≤f(π4)所以当x=π又因为f(x)=2cos2(ωx−π12所以2×πω4−π6=2k解得：ω＝4k+13，k∈所以ω的最小正数为13对于③，因为f（x）＝cos（2ωx−πg（x）＝f（x+π6）＝cos（2ωx又因为g（x）的图象关于原点对称，所以πω3−π6=kπ+解得ω＝3k+2（k∈Z），故正确；对于④，令f（x）＝cos（2ωx−π6）则2ωx−π6=2kπ+π3，k∈Z，或2ωx−π6=2解得x=kπ+π4ω，k∈Z，或x=kπ+又因为存在相邻两个交点间的距离为π6当此相邻两个交点位于同一周期内时，则有kπ+11π12w当此相邻两个交点不位于同一周期内时，则有(k+1)π+π4ω综上，ω＝4或ω＝2，故正确．故答案为：②③④．三、解答题：共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（14分）已知向量a→（1）若m＝2，求a→⋅b（2）若2a→+b→（3）若a→与b→的夹角为45°，求实数【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）a→⋅b（2）m＝1；（3）m＝0．【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，求出a→⋅b→的值；算出（2）先求出2a→+（3）利用平面向量数量积的定义与坐标表示，建立关于m的方程，再解方程得出实数m的值．【解答】解：（1）当m＝2时，b→=（1，2），结合a→因为a→+b→=（2）根据a→=(2，2)，b→=(1，m)若2a→+b→∥b→，则5（3）根据题意，|a→|=22+2若a→与b→的夹角为45°，则a→⋅b即2+2m=22•1+m2•22，整理得1+m17．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1边长为2．（1）证明：B1C∥平面A1BD；（2）证明：BD⊥A1C；（3）求三棱锥B﹣A1B1C的体积．【考点】棱锥的体积；直线与平面平行．【答案】（1）详见解答过程；（2）详见解答过程；（3）43【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案；（2）由线面垂直的判定定理可得答案；（3）根据VB−【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接AB1，交BA1于E，连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥CB1，因为CB1⊄平面A1BD，OE⊂平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD；（2）因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD，因为BD⊥AC，AC∩AA1＝A，所以BD⊥平面ACA1，所以BD⊥A1C；解：（3）因为VB−18．（13分）在△ABC中，bsin2A=−27asinB，a＝8，（1）求b值；（2）求角C和△ABC的面积．【考点】解三角形．【答案】（1）3；（2）C=π3；S△ABC＝6【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式可得cosA的值，再由余弦定理可得b的值；（2）由正弦定理可得sinC的值，再由角C为锐角，可得角C的大小，再由三角形面积公式可得该三角形的面积．【解答】解：（1）因为bsin2A=−27asin由正弦定理可得：sinB•2sinAcosA=−27sinAsin在△ABC中，可得sinA＞0，sinB＞0，可得cosA=−1又因为a＝8，c＝7，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，即64＝b2+49﹣2b•7•（−1可得b2+2b﹣15＝0，可得b＝3或b＝﹣5（舍），即b的值为3；（2）由（1）及△ABC中，可得sinA=1−co由正弦定理可得：csinC即7sinC=8437可得C=πS△ABC=12bcsinA=12×19．（14分）已知函数f(x)=3从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在且唯一．条件①：f(π条件②：f（x）在区间[−π3，条件③：函数g(x)=f(x)−12相邻两个零点间的距离为选_____作为条件（1）求ω值；（2）求f（x）在区间[−π6，【考点】三角函数中的恒等变换应用．【答案】（1）ω＝1；（2）f（x）的最大值为32，x=π6；f（x）的最小值为﹣1，【分析】（1）由已知结合所选条件，结合正弦函数的周期与ω关系即可求解；（2）结合正弦函数的性质即可求解．【解答】解：（1）f(x)=3sinωx⋅cosωx+cos2ωx=32sin2ωx+若选①：f(π3)=−1，则sin（2π3ω+π6）+1若选②：f（x）在区间[−π3，则π6−(−π若选③：函数g(x)=f(x)−12=sin（2ωx+则T＝π，即ω＝1；（2）由（1）得，f（x）＝sin（2x+π6）当−π6≤x≤所以−1所以−1≤f(x)≤3故f（x）的最大值为32，此时2x+π6=f（x）的最小值为﹣1，此时2x+π6=−π20．（15分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置（A1与C不重合），连A1C，A1B，如图2．（1）求证：平面A1DE⊥平面A1CD；（2）若平面A1DE与平面A1CB交于过A1的直线m，求证DE∥m；（3）线段A1B上是否存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由．【考点】平面与平面垂直；直线与平面垂直．【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解；（3）线段A1B上存在点Q为A1B的中点，使得A1C⊥平面DEQ．【分析】（1）由D，E分别为AC，AB的中点，可得DE∥BC，再由题意可得DE⊥CD，A1D⊥DE，进而可证得DE⊥平面A1CD，再证得结论；（2）由（1）可得DE∥BC，进而可证得DE∥平面A1CB，再由线面平行的性质可证得结论；（3）分别取A1C，A1B的中点P，Q，由题意可证得DE⊥平面A1DC，进而可证得A1C⊥平面DEQ．【解答】（1）证明：由图1知，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，可得DE∥BC，DE⊥AD，DE⊥CD，图2知，A1D⊥DE，A1D∩CD＝D，可得DE⊥平面A1CD，而DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1CD；（2）证明：因为DE∥BC，BC⊂平面A1CB，DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB，而DE⊂平面A1DE，平面A1DE与平面A1CB＝m，所以DE∥m；（3）解：线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ，理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC，又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP，由（2）知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C，又因为P是等腰△DA1C，底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，因为DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q为A1B的中点，使得A1C⊥平面DEQ．21．（15分）在平面直角坐标系xOy中，定义向量OA→=(m，n)为函数f（x）＝msinx+ncos（1）设h(x)=2sin(x−π3)(x∈R)，写出函数h（x（2）若f（x）的有序相伴向量为OB→=(0，1)，若函数h（x）＝f（x）+|sinx|，x∈[0，2π]，与直线y＝k有且仅有二个不同的交点，求实数（3）若f（x）的有序相伴向量为OB→=(m，0)，当函数f（x）在区间[a，b]上时值域为[a，b]，则称区间[a，b]为函数的“和谐区间”．当m＝﹣3时，f（x）是否存在“和