2023-2024学年甘肃省武威市高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年甘肃省武威市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（5分）复数的虚部为（）A． B． C．1 D．22．（5分）已知AD是△ABC的中线，＝，＝，以，为基底表示，则＝（）A．（﹣） B．2﹣ C．（﹣） D．2+3．（5分）sin164°sin44°﹣cos16°sin46°＝（）A． B． C． D．4．（5分）有下列命题：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确的命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（）A．线段AB与GH所在的直线异面 B．线段CD与EF所在的直线平行 C．线段CD与GH所在的直线所成的角为60° D．线段AB与EF所在的直线相交6．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n7．（5分）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件A：小明选大寨村，事件B：小明选荆竹村，事件C：小明选绿江村．已知P（A）＝0.3，，则P（A+B）＝（）A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.98．（5分）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元．现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分。）（多选）9．（6分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2（多选）10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（）A．三棱锥D1﹣PA1A的体积为定值 B．AP+PC的最小值为2 C．A1P∥平面ACD1 D．直线A1P与AC所成的角的取值范围是[0，]（多选）11．（6分）设A，B，C为随机事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0，下列说法正确的是（）A．事件A，B相互独立与A，B互斥不可能同时成立 B．若三个事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） C．若事件A，B独立，则 D．若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）12．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为cm．13．（5分）已知复数z＝a+bi，其中a∈{﹣2，0，1}，b∈{0，1，4，9}，则复数z＝a+bi是纯虚数的概率为．14．（5分）设b和c分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程x2+bx+c＝0有实根的概率是．四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。）15．（13分）已知平面向量，．（1）求的值；（2）求与夹角的余弦值．16．（15分）已知，（1）求cosα，tanα的值；（2）求sin2α，cos2α的值（3）求的值．17．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AB∥平面A1DCB1；（2）求直线A1B与B1C所成的角的大小；（3）求证：BC1⊥平面A1DCB1．18．（17分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝2，E、F分别是SC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面SAB；（2）若二面角S﹣AB﹣D的大小为，（ⅰ）求SA与BD所成角的余弦值；（ⅱ）求直线SD与平面ABCD所成角的大小．19．（17分）龙年春晚精彩的魔术表演激发了人们探秘魔术的热情，小明从一幅扑克牌中挑出10和K共8张牌（每个数字四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））．现从8张牌中依次取出2张，抽到一张红10和一张红K即为成功．现有三种抽取方式，如下表：方式①方式②方式③抽取规则有放回依次抽取不放回依次抽取按数字等比例分层抽取成功概率p1p2p3（1）分别求出在三种不同抽取方式下的成功概率；（2）若三种抽取方式小明各进行一次，（i）求这三次抽取中至少有一次成功的概率；（ii）设在三种方式中仅连续两次成功的概率为p，那么此概率与三种方式的先后顺序是否有关？如果有关，什么样的顺序使概率p最大？如果无关，请给出简要说明．

2023-2024学年甘肃省武威市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（5分）复数的虚部为（）A． B． C．1 D．2【考点】复数的运算．【答案】B【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：＝，则复数的虚部为．故选：B．2．（5分）已知AD是△ABC的中线，＝，＝，以，为基底表示，则＝（）A．（﹣） B．2﹣ C．（﹣） D．2+【考点】平面向量的基本定理．【答案】B【分析】由向量的三角形法则进行运算即可得解．【解答】解：如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝（+），则＝2﹣＝2﹣．故选：B．3．（5分）sin164°sin44°﹣cos16°sin46°＝（）A． B． C． D．【考点】求两角和与差的三角函数值．【答案】A【分析】结合诱导公式与两角差的正弦公式，求解即可．【解答】解：sin164°sin44°﹣cos16°sin46°＝sin16°cos46°﹣cos16°sin46°＝sin（16°﹣46°）＝﹣sin30°＝﹣．故选：A．4．（5分）有下列命题：①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确的命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【答案】B【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的概念即可对逐个选项的正误作出判断．【解答】解：由棱柱的概念“有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱”知，③正确，排除①②；用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故④错误；如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥棱锥，故⑤错误．综上所述，正确的命题的个数为1个．故选：B．5．（5分）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（）A．线段AB与GH所在的直线异面 B．线段CD与EF所在的直线平行 C．线段CD与GH所在的直线所成的角为60° D．线段AB与EF所在的直线相交【考点】表面展开图．【答案】C【分析】把正方体的展开图还原为正方体，画出直观图，即可判断选项中的命题是否正确．【解答】解：根据正方体的展开图画出该正方体的图形，如图所示：由图形可知，AB与GH相交于点，不是异面直线，选项A错误；CD与EF是异面直线，选项B错误；线段CD与GH所在的直线是异面直线，所成的角为60°，选项C正确；AB与EF是异面直线，不相交，选项D错误．故选：C．6．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【答案】D【分析】通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．【解答】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．7．（5分）2022年12月20日，联合国世界旅游组织公布2022年“最佳旅游乡村”名单，中国广西大寨村和重庆荆竹村成功入选．辽宁绿江村也以景色别致的油菜花海吸引了众多游客．小明准备利用假期从中选一个乡村游玩，记事件A：小明选大寨村，事件B：小明选荆竹村，事件C：小明选绿江村．已知P（A）＝0.3，，则P（A+B）＝（）A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.9【考点】并事件积事件的概率关系及计算．【答案】C【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式即可得解．【解答】解：由题意，得事件A，B，C为互斥事件，所以，则P（A+B）＝0.3+0.4＝0.7．故选：C．8．（5分）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元．现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】B【分析】利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种情况，两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为：（1，3），（3，1），（1，1），（3，3），共4种情况；②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为：（5，6），（4，6），（2，6），共3种情况；③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为：（6，5），（6，4），（6，2），共3种情况，所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为P＝＝．故选：B．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分。）（多选）9．（6分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积为2πR2 B．圆锥的侧面积为2πR2 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】CD【分析】根据圆柱、圆锥侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案．【解答】解：A选项，圆柱的侧面积为2π×2R×R＝4πR2，故A选项错误．B选项，圆锥的母线长为＝R，圆锥的侧面积为πR×R＝πR2，故B选项错误．C选项，球的表面积为4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．D选项，圆柱的体积为πR2×2R＝2πR3，圆锥的体积为×πR2×2R＝πR3，球的体积为πR3，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3：πR3：πR3＝3：1：2，故D选项正确．故选：CD．（多选）10．（6分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（）A．三棱锥D1﹣PA1A的体积为定值 B．AP+PC的最小值为2 C．A1P∥平面ACD1 D．直线A1P与AC所成的角的取值范围是[0，]【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【答案】ACD【分析】对于A：根据平面DAA1D1∥平面BCC1B1，点B到平面DAA1D1的距离等于点P到平面DAA1D1的距离，即可判断；对于B：当P与B重合时，，即可判断；对于C：先证平面A1C1B∥平面ACD1，再利用面面平行性质定理即可判断；对于D：根据AC∥A1C1，得到∠PA1C1（或其补角）为直线A1P与AC所成的角，即可判断．【解答】解：对于A，由正方体可得平面DAA1D1∥平面BCC1B1，且B，P∈平面BCC1B1，所以点B到平面DAA1D1的距离等于点P到平面DAA1D1的距离，所以三棱锥D1﹣PA1A的体积，为定值，故A正确；对于B，当P与B重合时，，所以AP+PC的最小值不为，故B错误；对于C，连接A1C1，A1B，由正方体可得AA1＝CC1，AA1∥CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，同理可得BC1∥平面ACD1，因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1⊂平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故C正确；对于D，因为AC∥A1C1，所以∠PA1C1（或其补角）为直线A1P与AC所成的角，由图可得当P与B重合时，此时∠PA1C1最大为，当P与C1重合时，此时∠PA1C1最小为0，所以直线A1P与AC所成的角的取值范围是，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（6分）设A，B，C为随机事件，且P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0，下列说法正确的是（）A．事件A，B相互独立与A，B互斥不可能同时成立 B．若三个事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） C．若事件A，B独立，则 D．若，则【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【答案】ACD【分析】利用相互独立性的性质，相互独立事件是可以同时发生的，而互斥事件是不可能同时发生的；三个事件两两独立，不能确定三个事件相互独立，即不能判断P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）是否成立；利用概率公式P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）求解．【解答】解：若A，B相互独立，则P（A∩B）＝P（A）P（B）；若A，B互斥，则P（A∩B）＝0，而P（A）＞0，P（B）＞0，所以事件A，B相互独立与A，B互斥不可能同时成立，故A正确；当三个事件A，B，C两两独立时，P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）一般不成立．比如：设样本空间Ω＝{a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}，则，，所以P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），即三个事件A，B，C两两独立，但是，故B错误；若A，B相互独立，则也独立，故C正确；由得，所以，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）12．（5分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达A1点的最短路线的长为cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【答案】．【分析】沿着正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1剪开，把侧面展成一个平面图形，得到一个矩形，结合矩形的对角线长，即可求解．【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，沿着正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1剪开，如图，把正三棱柱的侧面展成一个平面图形，可得一个长为3×2＝6cm，宽为5cm一个矩形，可矩形的对角线长为，即最短路线的长为．故答案为：．13．（5分）已知复数z＝a+bi，其中a∈{﹣2，0，1}，b∈{0，1，4，9}，则复数z＝a+bi是纯虚数的概率为．【考点】虚数单位i、复数；纯虚数．【答案】．【分析】由纯虚数得出a，b的取值，即可求出复数z＝a+bi是纯虚数的概率．【解答】解：在z＝a+bi中，a∈{﹣2，0，1}，b∈{0，1，4，9}，∵复数为纯虚数，∴a＝0，b≠0，∴复数z＝a+bi是纯虚数的概率为：，故答案为：．14．（5分）设b和c分别是先后投掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下方程x2+bx+c＝0有实根的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】见试题解答内容【分析】在所有两次出现的点数有5的情形中：用列举法求得所有的（b，c）有11个，而满足判别式Δ＝b2﹣4c≥0的有7个，由此求得方程x2+bx+c＝0有实根的概率．【解答】解：在所有两次出现的点数有5的情形中：所有的（b，c）有：（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（1，5），（2，5），（3，5），（4，5），（6，5），共11个，而满足判别式Δ＝b2﹣4c≥0的有（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），共7种，因此所求概率为，故答案为．四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。）15．（13分）已知平面向量，．（1）求的值；（2）求与夹角的余弦值．【考点】平面向量数量积的坐标运算．【答案】（1）3，（2）．【分析】（1）计算出＝（3，﹣3），由公式求出模长；（2）利用向量余弦夹角公式进行求解．【解答】解：（1），故；（2）设与夹角为θ，，故与夹角的余弦值为．16．（15分）已知，（1）求cosα，tanα的值；（2）求sin2α，cos2α的值（3）求的值．【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．【答案】（1）；（2），；（3）．【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可；（2）根据二倍角公式求解即可；（3）根据两角差的余弦公式求解即可．【解答】解：（1）因为，，所以；（2），；（3）．17．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AB∥平面A1DCB1；（2）求直线A1B与B1C所成的角的大小；（3）求证：BC1⊥平面A1DCB1．【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直；异面直线及其所成的角．【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析．【分析】（1）根据线面平行的判定定理可证；（2）根据异面直线所成角定义求解；（3）根据线面垂直的判定定理可证．【解答】（1）证明：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知AB∥A1B1，而AB⊄平面A1DCB1，A1B1⊂平面A1DCB1，所以AB∥平面A1DCB1；（2）解：如图，连接A1D，BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知A1B1∥CD，A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D∥B1C，所以∠DA1B（或其补角）是直线A1B与直线B1C所成角，又A1D＝A1B＝BD，所以∠DA1B＝60°，所以直线A1B与直线B1C所成角为60°；（3）证明：因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可知A1B1⊥平面BB1C1C，且BC1⊂平面BB1C1C，所以A1B1⊥BC1，又因为BC1，B1C是正方形BB1C1C的对角线，因此BC1⊥B1C，又A1B1∩B1C＝B1，且A1B1，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1．18．（17分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝2，E、F分别是SC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面SAB；（2）若二面角S﹣AB﹣D的大小为，（ⅰ）求SA与BD所成角的余弦值；（ⅱ）求直线SD与平面ABCD所成角的大小．【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行；几何法求解直线与平面所成的角．【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）；（ⅱ）60°．【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明EF∥SA，即可证明；（2）（ⅰ）根据（1）的结果，转化为求EF与BD所成角的余弦值，利用图形的几何性质，结合余弦定理，即可求解；（ⅱ）根据线面角的定义，构造线面角，即可求解．【解答】解：（1）证明：如图，因为点F是正方形ABCD的对角线BD的中点，所以A，F，C三点共线，连结AC，点F是对角线AC，BD的交点，所以F是AC的中点，E是SC的中点，所以EF∥SA，EF⊄平面SAB，SA⊂平面SAB，所以EF∥平面SAB．（2）（ⅰ）连结BE，若二面角S﹣AB﹣D的大小为，则平面SAB⊥平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD＝AB，BC⊥AB，且BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面SAB，SB⊂平面SAB，所以BC⊥SB，