2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第10讲 直线与抛物线的位置关系

第九章直线与圆、圆锥曲线第10讲

直线与抛物线的位置关系1.理解直线与抛物线的位置关系，会求直线被抛物线所截的弦长.2.通过直线与抛物线的位置关系，进一步体会数形结合的思想．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合切交离

(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径为过焦点且与对称轴垂直的弦，其长为2p.1．“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：由“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”，“直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行或重合，此时不相切，故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件．故选A.2．(人教A选择性必修第一册习题3.3T12改编)直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y的位置关系为(

)A．相交

B．相切C．相离

D．不能确定解析：直线y＝k(x－1)＋2过定点(1，2)，∵12<4×2，∴(1，2)在抛物线x2＝4y内部，∴直线y＝k(x－1)＋2与抛物线x2＝4y相交．故选A.

3．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若AB的中点M的横坐标为2，则|AB|＝(

)A．4 B．5C．6 D．7解析：设点A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝2xM＝4.由过抛物线的焦点的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6.故选C.5．(人教B选择性必修第一册习题2－8BT4改编)已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．解析：直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.综上，k的值为0或1.0或1核心考向突破考向一

抛物线的切线(2)已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，则实数a的值为_____________．(1)直线与抛物线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切．(2)在讨论时应考虑全面，不要忽略二次项的系数为零的情况．1.过点P(2，－1)作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(

)A．x－4y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．4x－y＋1＝0考向二

焦点弦问题考向三

直线与抛物线的综合问题解：

(1)由题意，得直线l的方程为y＝kx＋1，代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)直线l与抛物线C只有一个公共点等价于方程(*)只有一个根，当k＝0时，y＝1，符合题意；当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1.综上可得，当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C只有一个公共点．求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式．课时作业3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点E(2，0)，线段EF与抛物线C相交于点M，若抛物线C在点M处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，则抛物线C的方程为(

)A．x2＝3y

B．x2＝12yC．x2＝9y

D．x2＝6y7．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(

)A．16 B．14C．12 D．108．已知抛物线y2＝2px上三点A(2，2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为(

)A．x＋2y＋1＝0 B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0 D．x＋3y＋2＝010．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l绕点P(－2，1)旋转，点Q为C上的动点，则(

)A．以Q为圆心，|QF|为半径的圆与直线x＝－1相切B．若直线l与抛物线有且只有一个公共点，则这样的直线l有两条C．线段PF的垂直平分线方程为3x－y＋2＝0D．过点F的直线交C于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有两条11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(

)A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2三、填空题12．(2025·云南昆明模拟)过抛物线C：y2＝3x的焦点作直线l交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于点M，N