2026届北京市海淀区高一数学专题突破数形结合与分类讨论分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第031组

2026届北京市海淀区高一数学专题突破数形结合与分类讨论分层训练卷（含答案解析、评分细则与学生作答区）第031组2026届北京市海淀区高一数学专题突破

数形结合与分类讨论分层训练卷

（含答案解析、评分细则与学生作答区）第031组

适用对象：北京市海淀区高一学生考试时间：100分钟总分：120分答案解析状态：含参考答案、逐题解析、评分细则与常见失分提醒姓名：______________班级：______________学号：______________本卷为黑白打印版，试题区与答案区分离，适合课堂检测、自主订正和家长打印。

卷头说明考试时间100分钟总分120分适用对象北京市海淀区高一学生；用于数形结合与分类讨论专题突破答案提示参考答案与逐题解析置于试题后分页处，题目区不提前泄露答案。作答说明：请在题号对应区域内作答。选择题用字母表示；填空题写出最简结果；解答题、探究题须写出必要的数形分析、分类讨论依据、运算过程和结论。注意事项：本卷所有题号均采用Q01至Q18，核对答案时请以Q编号为准。请保持卷面整洁，作图可用铅笔，结论须写在对应题目的答题区域内。一、选择题（Q01-Q08，每题5分，共40分）每题只有一个选项符合题意，请将答案填入下方选择题答题卡。题号Q01Q02Q03Q04Q05Q06Q07Q08答案Q01.（5分）已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，结合数轴上点到1与-2的距离和可知f(x)的最小值为（）。A.1B.3C.4D.与x的取值有关Q02.（5分）直线y=kx+1与圆x²+y²=1的公共点个数随k变化而变化。下列判断正确的是（）。A.任意k均无公共点B.任意k均有两个公共点C.k=0时有一个公共点，k≠0时有两个公共点D.k=0时有两个公共点，k≠0时有一个公共点Q03.（5分）不等式x²-2ax+a²-1<0的解集长度为（）。A.1B.√2C.2D.与a有关Q04.（5分）关于x的方程|x-2|=m恰有一个实数根，则m的值为（）。A.0B.1C.2D.m<0Q05.（5分）二次函数f(x)=x²-4x+a满足最小值不大于0，且f(0)>0，则a的取值范围是（）。A.a≤4B.a>0C.a<4D.0<a≤4Q06.（5分）平面直角坐标系中，A(-1,0)，B(3,0)。动点P(x,y)满足PA=PB，则P的轨迹方程为（）。A.x=0B.x=1C.y=0D.x=2Q07.（5分）设函数f(x)=x+1（x<0），f(x)=x²-1（x≥0）。方程f(x)=0的实数根为（）。A.1B.-1C.-1和1D.0和1Q08.（5分）抛物线y=x²与直线y=x+b相切，则b的值为（）。A.-1/4B.0C.1/4D.1二、填空题（Q09-Q12，每题5分，共20分）请将结果写在题后横线上，并同步填入填空题答题区。题号Q09Q10Q11Q12答案Q09.（5分）不等式|2x-3|≤5的解集是________________。Q10.（5分）若二次函数f(x)=x²-2tx+3的图象与x轴有两个不同交点，则t的取值范围是________________。Q11.（5分）方程x²-4x+a=0的两个实数根均在区间[1,5]内，则a的取值范围是________________。Q12.（5分）数轴上A={x|x²-5x+6≤0}，B={x||x-a|<1}。若A∩B=∅，则a的取值范围是________________。三、解答题（Q13-Q16，每题8分，共32分）写出必要的分类依据、图象或数轴分析、计算过程和结论。Q13.（8分）已知f(x)=|x-2|+|x+1|。

（1）按x的取值范围写出f(x)的分段表达式；

（2）解不等式f(x)≤5。Q13学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q14.（8分）已知直线l：y=x+t与抛物线C：y=x²-2x+1。

（1）讨论l与C的公共点个数；

（2）若l与C有两个公共点，且两个公共点的横坐标均为正数，求t的取值范围。Q14学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q15.（8分）解关于x的不等式(x-a)(x-2)>0，并说明分类讨论的分界点。Q15学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q16.（8分）如图象化理解：点A(0,2)、B(4,2)，点P在x轴上运动。求PA+PB的最小值，并写出取得最小值时P的坐标。Q16学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________四、探究题（Q17-Q18，每题14分，共28分）本题型重在方法迁移。请完整呈现分类讨论、数形结合和结论核验。Q17.（14分）对参数a，设gₐ(x)=|x-a|+|x+2|。

（1）求gₐ(x)的最小值；

（2）求方程gₐ(x)=4恰有两个不同实数根时a的取值范围；

（3）若方程gₐ(x)=4的两个根为x₁<x₂，求x₂-x₁。Q17学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Q18.（14分）已知hₘ(x)=x²-2mx+m。

（1）写出图象的对称轴和顶点坐标；

（2）求方程hₘ(x)=0有两个不同实数根且两根均不小于0时m的取值范围；

（3）求使hₘ(x)≥0对任意x∈[0,2]恒成立的m的取值范围。Q18学生作答区________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案与解析本部分按Q01至Q18逐题给出答案、解析、评分细则和常见失分提醒。题号Q01Q02Q03Q04Q05Q06Q07Q08答案BCCADBCA题号Q01答案：B解析：在数轴上，|x-1|+|x+2|表示点x到1与-2的距离和。两定点距离为3，当x位于[-2,1]之间时距离和最小，最小值为3。评分细则：选对B得5分；选错、不选或多选均0分。常见失分提醒：只代入x=0得到3但未理解最小原因，容易误认为答案偶然成立。Q02答案：C解析：代入圆得x²+(kx+1)²=1，即(1+k²)x²+2kx=0。恒有公共点(0,1)。当k=0时方程只有x=0；当k≠0时另有x=-2k/(1+k²)，故有两个公共点。评分细则：选对C得5分；只写出一个交点但未分类不得分。常见失分提醒：忽略k=0这一特殊情形，是本题主要失分点。Q03答案：C解析：原不等式可化为(x-a)²<1，所以解集为(a-1,a+1)，区间长度恒为2，与a无关。评分细则：选对C得5分。常见失分提醒：把a当作未知数继续讨论，或把开区间长度误写为1。Q04答案：A解析：|x-2|=m要有解需m≥0；m>0时在x=2两侧各有一个根，m=0时只有x=2一个根。评分细则：选对A得5分。常见失分提醒：未先排除m<0，或把m>0时的两个对称根漏掉一个。Q05答案：D解析：f(x)=(x-2)²+a-4，最小值为a-4。条件给出a-4≤0，即a≤4；又f(0)=a>0，故0<a≤4。评分细则：选对D得5分。常见失分提醒：只关注最小值或只关注f(0)>0，导致条件交集不完整。Q06答案：B解析：PA=PB说明P在AB的垂直平分线上。A、B的横坐标中点为1，且AB在x轴上，所以垂直平分线为x=1。评分细则：选对B得5分。常见失分提醒：把“到两点距离相等”误判为圆，或把中点横坐标算成2。Q07答案：C解析：当x<0时，x+1=0得x=-1，符合x<0；当x≥0时，x²-1=0得x=1或-1，其中只有x=1符合条件。因此根为-1和1。评分细则：选对C得5分；若只写一个根不得分。常见失分提醒：解出代数根后未回代分段条件。Q08答案：A解析：联立得x²=x+b，即x²-x-b=0。相切表示一元二次方程有两个相等实根，判别式1+4b=0，故b=-1/4。评分细则：选对A得5分。常见失分提醒：把相切误当作相交，或判别式符号写成1-4b。Q09答案：[-1,4]解析：由|2x-3|≤5得-5≤2x-3≤5，移项得-2≤2x≤8，故-1≤x≤4。评分细则：写出[-1,4]或-1≤x≤4得5分；只写端点且无区间符号扣1分。常见失分提醒：不等式两侧同时除以2时端点写错。Q10答案：t<-√3或t>√3解析：图象与x轴有两个不同交点等价于方程x²-2tx+3=0有两个不同实根，判别式Δ=4t²-12>0，故t²>3，即t<-√3或t>√3。评分细则：结论完整得5分；只写|t|>√3也可得5分；漏掉负半轴最多得3分。常见失分提醒：把“两个不同交点”误写为Δ≥0。Q11答案：3≤a≤4解析：方程可写为(x-2)²=4-a。要有实根需a≤4，根为2±√(4-a)。两根均在[1,5]内的关键是左根不小于1，即√(4-a)≤1，得a≥3。故3≤a≤4。评分细则：结论3≤a≤4得5分；有思路但端点错误酌情给2-4分。常见失分提醒：只检查较大根≤5而忽视较小根≥1。Q12答案：a≤1或a≥4解析：A={x|x²-5x+6≤0}=[2,3]，B=(a-1,a+1)。两区间不相交，应有a+1≤2或a-1≥3，所以a≤1或a≥4。评分细则：结论完整得5分；只写一侧情况得2分。常见失分提醒：忽略B为开区间，端点处a=1或a=4仍不相交。Q13答案：（1）f(x)=1-2x（x<-1），f(x)=3（-1≤x<2），f(x)=2x-1（x≥2）；（2）解集为[-2,3]。解析：以-1和2为分界点分类。x<-1时，f(x)=-(x-2)-(x+1)=1-2x，由1-2x≤5得x≥-2，合并为[-2,-1)；-1≤x<2时，f(x)=3，恒满足；x≥2时，f(x)=x-2+x+1=2x-1，由2x-1≤5得x≤3，合并为[2,3]。总解集为[-2,3]。评分细则：共8分：正确确定分界点-1、2得2分；三段表达式各1分，共3分；分段解不等式并合并得3分。常见失分提醒：分界点归属不影响最终不等式解集时可少扣，但漏掉中间恒成立区间会造成结果断裂。Q14答案：（1）t<-5/4时无公共点；t=-5/4时有一个公共点；t>-5/4时有两个公共点。（2）-5/4<t<1。解析：联立得x²-2x+1=x+t，即x²-3x+1-t=0。判别式Δ=9-4(1-t)=5+4t。按Δ与0比较即可得公共点个数。若有两个公共点且横坐标均为正，需Δ>0、两根和3>0、两根积1-t>0；因此t>-5/4且t<1。评分细则：共8分：联立并得到二次方程2分；按判别式分类3分；写出根和、根积条件2分；得出范围1分。常见失分提醒：只写Δ>0而不检查两个横坐标均为正，会把t≥1的情况误纳入。Q15答案：当a<2时，解集为(-∞,a)∪(2,+∞)；当a=2时，解集为(-∞,2)∪(2,+∞)；当a>2时，解集为(-∞,2)∪(a,+∞)。解析：不等式(x-a)(x-2)>0表示x在两个零点外侧。零点为a和2，分界点是a与2的大小关系。当a<2时外侧为x<a或x>2；当a=2时为(x-2)²>0，即x≠2；当a>2时外侧为x<2或x>a。评分细则：共8分：指出分界点a=2得2分；三种情形各2分，共6分。常见失分提醒：将“乘积大于0”误认为两因式都大于0，会漏掉两因式都小于0的左侧区间。Q16答案：最小值为4√2，取得最小值时P(2,0)。解析：把B(4,2)关于x轴对称为B′(4,-2)。对任意P在x轴上，有PB=PB′，故PA+PB=PA+PB′。当A、P、B′三点共线时距离和最小，最小值为AB′=√[(4-0)²+(-2-2)²]=4√2。直线AB′从(0,2)到(4,-2)，与x轴交于P(2,0)。评分细则：共8分：作对称点并说明PB=P