2027届新高考数学热点突破复习 一元二次方程、不等式

2027届新高考数学热点突破复习一元二次方程、不等式课标要求1.

会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.

结合二次函数图象，会判断一元二次方程的实根的存在性及实根的个

数，以及解一元二次不等式.3.

了解简单的分式不等式、绝对值不等式的解法.目录/CONTENTS考点一一元二次不等式01考点二三个二次间的关系02提能点一元二次不等式恒（能）成立问题03课时跟踪训练0401PART考点一一元二次不等式1.

（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集不等式解集a＜ba＝ba＞b（x－a）·（x－

b）＞0{x｜x＜a或x

＞b}

⁠

⁠

⁠

⁠（x－a）·（x－

b）＜0

⁠

⁠⌀{x｜b＜x＜a}{x｜

x≠a}{x｜x＜b或x

＞a}{x｜a＜x＜

b}

角度1

不含参数不等式的解法

〔多选〕下列选项中，正确的是（

）A.

不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1}C.

不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3}√√

规律方法1.

可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不

等式的解集.2.

分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进

行限制，转化为不等式组.角度2

含参数不等式的解法

已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞

－ax－1.

规律方法解含参数的一元二次不等式的一般步骤

（2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.

02PART考点二三个二次间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）有两个相等的实数根x1＝x2＝

⁠没有实数根

判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集

⁠

⁠

⁠Rax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集

⁠

⁠⌀⌀提醒：解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形.{x｜x＜x1，或

x＞x2

}

{x｜x1＜x＜

x2}

（1）〔多选〕已知关于x的不等式a（x＋1）·（x－3）＋1＞0

（a≠0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则下列结论正确的是

（

ABD

）A.

x1＋x2＝2B.

x1x2＜－3C.

－1＜x1＜x2＜3D.

x2－x1＞4ABD

（2）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋

3≤0的解集为

⁠.解析：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c

＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－

cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）

≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.（－∞，－1]∪[3，＋∞）规律方法1.

一元二次方程的根就是对应一元二次函数的零点，也是对应一元二次不

等式解集的端点值.2.

对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋

∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解

集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，m＜n.练2〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－∞，1）∪

（5，＋∞），则下列结论正确的是（

）A.

a＞0B.

a＋b＋c＞0√√

03PART提能点一元二次不等式恒

（能）成立问题

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：88分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

不等式－x2＋3x＋10＜0的解集为（

）A.

（－2，5）B.

（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.

（－5，2）D.

（－∞，－5）∪（2，＋∞）1234567891011121314√解析：

由－x2＋3x＋10＜0得x2－3x－10＞0，解得x＜－2或x＞5.

A.

{x｜－2≤x≤1}B.

{x｜x≤－2}C.

{x｜－2≤x＜1}D.

{x｜x＞1}√

12345678910111213143.

不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（

）√

12345678910111213144.

若关于x的不等式kx2＋2kx－k－1＞0的解集为⌀，则实数k的取值范围

是（

）√

12345678910111213145.

〔多选〕设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式

[x]2＋[x]－12≤0的解可以为（

）B.3C.

－4.5D.

－5√√解析：

因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以（[x]－3）（[x]＋4）

≤0，即－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，所以不等

式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5，故选B、C.

12345678910111213146.

〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正

确的是（

）A.

当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}√√1234567891011121314

12345678910111213147.

不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为

⁠.

12345678910111213148.

当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围

是

⁠.

（－∞，－1）∪（3，＋∞）1234567891011121314

解析：由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，根据已知，可转化为存在x∈[－

1，3]，使得x2＋4x－（1＋a）≤0.令f（x）＝x2＋4x－（1＋a），易

知函数在区间[－1，3]上单调递增，故只需函数的最小值f（－1）＝－4

－a≤0即可，解得a≥－4.[－4，＋∞）1234567891011121314

10.

（10分）给以下三个条件：①x2－（2a－1）x＋a2－a＜0；②x2－2ax＋a2－1＜0；1234567891011121314

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1234567891011121314

11.

某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价p（元）之间的

关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为c（元），其中c＝500＋30x，

若要求每天获利不少于1

300元，则日销量x的取值范围是（

）A.

{x｜20≤x≤30，x∈N}B.

{x｜20≤x≤45，x∈N}C.

{x｜15≤x≤30，x∈N}D.

{x｜15≤x≤45，x∈N}√1234567891011121314解析：

设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160－2x）·x－（500＋

30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N.

根据题意知，－2x2＋

130x－500≥1

300，解得20≤x≤45，x∈N.

所以当20≤x≤45，x∈N

时，每天获得的利润不少于1

300元，故选B.

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