考研数学二（解答题）模拟试卷69

考研数学二（解答题）模拟试卷69

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

设工.=W~~r•求limr..

*-111--

1、

标准答案：，

击七邑《:封拉.

"十I…I“+_Ln*=»

k

3’

lim—；533*=lim

18n>1.一]方-8〃卜】…HJ。ln3oln3*

2

由迫敛定理得，

.l—im8而.

知识点解析：暂无解析

2、设A,B和C都是n阶矩阵，其中A,B可逆，求卜阶矩阵的逆矩

•°1,0AC

(1)(2)⑶（叫;：）­

阵.0BiBOJ0B

标准答案：因为A,B都可逆，所以这几个矩阵郝可逆.①1J的逆矩阵可用

A0/0]rF。*・

B\Q0E：01J

A00Ai

BJ的逆矩阵也可用

初等变换法计算：‘°B②

A：£°U[a°：°°;0I.

1:0：0fl^0A\E:H：£：A-10J

0AC

午=1°"'1

初等变换法计算:BoJ0J0B

%%

dJ,求

的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为外1

AC%%AD]]+CD2iADnfCD

由

ID28%

Dij.。BHD221=1::1i

得D2]=0(因为B可逆).BD22=E,得D22=B1.ADH+CD2I=E,即AD]尸E,得

,］

DH=A_1.得】［：ItB-

ADi2+CD22=0,Di2=—A—CB-L

CAi0B1

④用③的方法，得B(J

知识点解析：暂无解析

..e-e-x

hm

3、求极限：fe^+e]

此题为“工”型未定式，若用洛必达法则，则

洛必达法则场守.连续

标准答案:她一।e—e-x

使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变

1—pTx

Ilim

*er=%TT^=i

形.分子分母同乘ex,即去

知识点解析：暂无解析

=0,求］而L±2(x)

limsin6R+"(»

4、若LO

标准答案：方法一由

O=limsin6~r+zf(*)_.sin6z-67+67+z/(z)

3

l。1r3LOx

=63lim嚏辞+lim^±4^

LO(6X)3Zx

631淅叫工+痴!6+/Gr)

t，・。

6+代工)

63lim+hmL---J---

…3c1。

=-36+lim6+个于)，

，一0X

得lim6+4电=36.

，-oX

方法二由sinx=or-2+。(彳，)得sin6x=6N—.+O(F)=67—3634-o(x3).

3!J!

3

--36x+6z+。(/3)+“⑺=_36+lim64-/(x)

于是由0J-0x2'

得lim=36.

x-0

知识点解析：暂无解析

b-a(出皮vb-a

5、设b>a>0,证明：b°aa

b-a

标准答案：令f(t)=lnt,由微分中值定理得f(b)-f(a尸「@(b-a)=&其中S年⑶

b-aV小v~.即『vln上Vj

b).因为0,从而一厂abaa

知识点解析：暂无解析

6、求极限

fUnx______

ysin/dz

\Zsintanx•sec2x_.

-----------—,------------=1.

4I出x-M)*vtansinx•cosx

标准答案：Jo

知识点解析：暂无解析

7、设函数y=y(x)满足微分方程y”-3y，+2y=2eX,其图形在点(0,I)处的切线与

曲线y=x2—x+1在该点处的切线重合，求函数y=y(x).

标准答案：y=(l—2x)ex：

知识点解析：暂无解析

8、设y=/l”，求yS)(nN3).

(n)1n-，2n2

标准答案:y(n)=cnY(]nx)+Cn2x.(lnx)+Cn2.(lnx)-

由(Inx严==匕二”D!得

XX,

<.)_(-l)^1(n-1)!,2n(-l)-2(n-2)!.,[、(-l)-3(n-3)!

yM--------点-----+-------左-------+〃(〃一D・----------i----------

«4JL

-UL£”3)!(23).

知识点解析：暂无解析

9、证明：当X>1时0<4+112(x・l)2.

4

标准答案：对xNI引入函数f(x尸Inx+x♦1-2,则f(x)在|1,+8)可导，且当x>l

时口从而f(x)在［1,+8)单调增加，又f(l)=0,所以当X>1时，f(x)>f(l)=O,

即lnx+-2>0.令g(x)=(x-l)3,则g(x)在［1,+8)可导，且当x>1时故g(x)在区间

(L+8)上单调减少，又g(l)=O,所以当X>1时g(x)Vg(l)=O,即lnx+(x-l)2当x>

1时成立.

知识点解析：暂无解析

10、设f(x)在⑶b］上可导，且『(a).f(b)<o.试证：存在乐(a,b),使f©=0.

标准答案：由E(a).P(b)V0先证明f(x)在［a,b］上的最大值或最小值必在(a,b)内

取得.

知识点解析：暂无解析

245-2

-3784

5-9-57

11、设》=2-522求一A|3-A23+2A33+A43.

标准答案：所求的是此行列式第3列元素的代数余子式A|3,A23,A33,A43依次

乘一1，—1，2,1后的和.A13,A23，A33，A43和行列式的第3列元素是无关

的，此如果把第3列元素改为-1,-1,2,1,则A13，A23,A33，A43不改

变.于是修改后的行列式的值=它对第3列的展开式=-A13—A23+A33+A43!

24-1-2

-37-14

一43"+2演+443

5-927

2-512

24-1-2

-5306(第二行减第一行.第三行加第一

9-103的2倍，第四行加第一行.)

4-100

-536

对第3列展开

===-9-13

4-10|

-2350

第一行减第二行的2倍-235

F:，=-9—13=3

4

4-10

=9.

知识点解析：暂无解析

0TT~~F也dy

12、计算D"Y,其中D={(%,y)Ix+y>l,X2+y2<l).

2dardy=l[?：加dy

,十^,则

标准答案：由对称性得1=

1dzdy=:/dd

(sin6+cos。)dr

2"+y

J1)由=£(2_])=]

(sin8+cos。)(1—

2osinO+cosZ?

知识点解析：暂无解析

2

13>设炉>0时，f⑺可导，且满足：f(X)=l+xfixf(t)dt,求f(%).

_if、…

标准答案：由f(x)=l+jJ1f(。出得为f(%)=%+JFf(l)dl,两边对无求导得f(x)+

工

Zf(x)=l+f(x)，解得「")="，f(x)=lnx+C,因为f(l)=l,所以C=l,故故)=

ln%+1.

知识点解析：暂无解析

14、设z=z(u,v)具有二阶连续偏导数，且z=z(x-2y,x+3y)满足

6#z।*z__2匹+匹

af砺川2-3]dyt①求z=z(u,v)的一般表达式.

标准答案：以z=z(u,ui,u=x—2y,v=x+3y代入式④，得到z(u,v)应满足的微

分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解

匹=三七匹=_2匹匹，

BjCdu3vdydudv

小％dZZ,«d2Z.32ZdZZ_.d2Z32zd2Z

后一波十2薪+赤，行—4犷-1y29薪+Q9行,

l2

表__9dz,/7dz

dxdydu2dudv'

代入式①，化为

即

*£(S)=1®)-

令/=必得

d(D_1

它可以看成一个常微分方程(其中视V为常数)，解得

3=<p(.V)t

其中以，)为具有连续导数的，的任意函数.再有

言=3=*

所以

z=e?jp(u)dv+欢”),

或写成

之N=取1;)邕+-〃)，

其中嗔U)为具有连续导数的U的任意函数，①(V)为具有二阶连续导数的V的任意函

数，其中u=x—2y,v=x+3y.

知识点解析：暂无解析

1.工41,

<L>1

15^设有方程y'+P(x)y=x2,其中P(x)=1x*'试求在(-8,+8)内的连续函

数y=y(x),使之在(一8,1)和(1,+8)内都满足方程，且满足初值条件y(0尸2.

，+了=x2,

标准答案：当烂1时，方程及其初值条件为1乂0)=2，求解得y=3

fldx(Jx2e,ldx+C)=e-x(fx2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x.由y(0)=2得C=0,故y=x2一

当i时,方程为y+乡=工?,求解得

y=-卜4卜』±&41：+0=110]（jx^eS^dr+C）

二+（卜如+c）="+§

2x+2.综上，得

/-2了+2,141,

y（z）=,1C、1

一*工>1.

7

工又y(x)在(一8,+oo)内连续，有f(「尸f(广尸f(l),即

/—2%+2,。41,

，（工）=VU-L.3、1

J+C,从而C=，・l/+j?N>L

1—2+2=44所以

知识点解析：暂无解析

16、设f(x,y)是定义在区域OWxgl,OgySl上的二元连续函数，f(0,0)=—1,求

fdrff(t9u)du

lim——j-----

极限「J1-

2

标准答案：?

知识点解析：暂无解析

17、已知⑴，口2都是3阶矩阵A的特征向量.特征值分别为一|和1,又3维向量

。3满足Aa3=(X2+a3.证明四，。2，(X3线性无关.

标准答案：根据特征向量的性质，ai，。2都是A的特征向量，特征值不相等，于

是它们是线性无关的.用反证法.如果a3可用ai，a2表示，设a3=C]ai+c2a2，

用A左乘等式两边之，得