2026年函数单元过关测试题及答案

2026年函数单元过关测试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值且f(1)=3，f(2)=5，则a+b+c的值为A.3B.4C.5D.62.若函数g(x)=ln(x²+1)在区间[0,m]上的最小值为0，则m的取值范围是A.[0,1]B.[0,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,1]3.设h(x)=|x−2|+|x+1|，则h(x)的最小值为A.0B.1C.2D.34.函数p(x)=eˣ+ae⁻ˣ为偶函数，则a的值为A.−1B.0C.1D.e5.若函数q(x)=x³−3x²+3x+1在R上单调递增，则其导数q′(x)的判别式Δ满足A.Δ<0B.Δ=0C.Δ>0D.不存在6.函数r(x)=sinx+cosx的最大值为A.1B.√2C.2D.√37.设s(x)=log₂(x²−4x+5)的定义域为A.RB.(−∞,1)∪(5,+∞)C.R\{2}D.[1,5]8.若t(x)=kx³−3x²+2x+1在x=1处切线斜率为4，则k=A.1B.2C.3D.49.函数u(x)=x/(1+|x|)的值域为A.(−1,1)B.[−1,1]C.RD.[0,+∞)10.设v(x)=min{x²,2x+3}，则v(x)的最大值为A.1B.3C.4D.9二、填空题（每题2分，共20分）11.若f(x)=x²−4x+5在区间[t,t+2]上的最小值为2，则t=________。12.函数g(x)=ln(x+√(x²+1))的奇偶性为________函数。13.若h(x)=ax²+bx+c满足h(0)=1，h(1)=2，h(2)=5，则a=________。14.函数p(x)=|x−1|+|x−3|+|x−5|的最小值为________。15.设q(x)=e²ˣ−keˣ+1有且仅有一个零点，则k=________。16.函数r(x)=√(4−x²)的单调递减区间是________。17.若s(x)=x³+px²+qx+r在x=−1处取得极值且极值为4，则p+q=________。18.函数t(x)=log₀.₅(x²−2x+2)的递增区间是________。19.设u(x)=sinx+cosx+sinxcosx的最大值为________。20.若v(x)=x+1/x在区间(0,a]上的最小值为5/2，则a=________。三、判断题（每题2分，共20分）21.函数f(x)=x³在R上既是奇函数又是增函数。22.若g(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增，则其反函数也单调递增。23.函数h(x)=|x|²与k(x)=x²在R上完全相同。24.函数p(x)=eˣ−x在R上有最小值但无最大值。25.若q(x)=ax²+bx+c在x=1处取得极值，则必有q′(1)=0。26.函数r(x)=sinx²是周期函数。27.函数s(x)=log₂(x²+1)的值域为[0,+∞)。28.若t(x)=f(g(x))为偶函数，则g(x)必为偶函数。29.函数u(x)=x/(1+x²)在R上存在水平渐近线y=0。30.函数v(x)=|x−1|−|x+1|的最大值为2。四、简答题（每题5分，共20分）31.已知f(x)=x³−3x+1，求f(x)在区间[−2,2]上的最大值与最小值，并指出取得最值时的x值。32.设g(x)=ln(x²+1)−kx，讨论k取何值时g(x)仅有一个极值点。33.函数h(x)=ax²+bx+c在[0,1]上满足h(0)=h(1)=0且最大值为1，求a,b,c。34.利用函数单调性证明：对任意x>0，eˣ>1+x+x²/2。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论函数f(x)=x⁴−4x³+6x²−4x+1在实数范围内的零点个数，并说明理由。36.设g(x)=|x−a|+|x−b|+|x−c|(a<b<c)，讨论g(x)的最小值随x变化的规律，并给出最小值的表达式。37.对于函数h(x)=x+sinx，讨论其在R上的单调性、极值及拐点情况。38.构造函数p(x)使其同时满足：①在R上连续；②在x=0处不可导；③在R上严格递增；④值域为R。给出具体表达式并论证其满足全部条件。答案与解析一、1.C2.A3.D4.C5.A6.B7.A8.B9.A10.B二、11.1或312.奇13.114.615.216.[0,2]17.−218.(−∞,1)19.(1+√2)/220.2或1/2三、21.√22.√23.√24.√25.√26.×27.√28.×29.√30.×四、31.最大值3在x=−1取得，最小值−1在x=1取得。解析：求导得f′(x)=3x²−3，临界点±1，比较端点及临界点函数值即可。32.当k≤0或k≥1时g(x)仅有一个极值点。解析：g′(x)=2x/(x²+1)−k，令g′(x)=0得二次方程判别式≤0即可。33.a=−4,b=4,c=0。解析：由h(0)=h(1)=0得c=0,a+b=0；最大值在顶点x=−b/2a=1/2处为1，代入得a=−4,b=4。34.设φ(x)=eˣ−1−x−x²/2，求导得φ′(x)=eˣ−1−x，φ″(x)=eˣ−1>0对x>0，故φ′(x)增且φ′(0)=0，于是φ′(x)>0，φ(x)增且φ(0)=0，得证。五、35.f(x)=(x−1)⁴，故仅有一个零点x=1，四重根。36.最小值在x=b处取得，最小值为g(b)=b−a+c−b=c−a。解析：分段讨论x≤a,a≤x≤b,b≤x≤c,x≥c，利用绝对值几何意义。37.h′(x)=1+cosx≥0，等号仅在