考研数学三（解答题）专项练习试卷23

考研数学三（解答题）专项练习试卷23

一、解答题（本题共70题，每题1.0分，共70分。）

求limsin（/i'+】k）.

1、-a

标准答案：

limsin（＞//+1n）=limsin[W+1—〃）x+”]

.一3

=lim（-l）"sin（-/n24-1-n）K=lim（-D^sin—■.......=0.

……Jn“+1+n

知识点解析：暂无解析

2、设二维离散型随机变量只取（一1,一1）,（一1,0）,（1,一1）,（1,1）四个

_L_L_L」

值，其相应概率分别为了‘彳‘不’4.⑴求（X,Y）的联合概率分布；（II）求关于X

与关于Y的边缘概率分布；（DI）求在Y=1条件下关于X的条件分布与在X=1条件

下关于Y的条件分布.

的边缘概率分布分别为表中最右一列与最后一行.（IH）由于

PiX=M=三，PiX=11=4-

12一且在丫=1条件下，X只取1,因此关于X的条

pIx=1,y=11_1/4

件概率分布为P{X=1IY=l)=->\y=H-=1^4=1;在X=1条件下，Y取一

1和1两个值，其条件概率分布为

P\Y=-1|x=I；=Y；r=।|A=11=

JDe

知识点解析：暂无解析

3、设X?—3xy+y'=3确定隐函数y=y（x）,求y=y（xj的极值.

标准答案：k3-3xy+y3=3两边对x求导得3x2一3y-3xy，+3y2y=0,

解得，=g.

x-y

由闫=。得

X=-1X=y13

【彳3-3xy+/=3y=1y=%

n_—-，）一（z?—1y）（1—2»，）

yCx—yz）2,

因为/（一D=1>0,所以工=-1为极小点，极小值为y（-D=li

因为y"（我■）=-1V0,所以i=%为极大点，极大值为八打）=X

知识点解析：暂无解析

5b3

4、己知A」-‘°"ai|A|=-1,（一1,一1,是A*的特征向量，特征

值为九.求a,b»c,和X.

标准答案：a=2,b=一3,c=2,X=一1.

知识点解析：暂无解析

5、设f（x）为连续函数，，

（1）如果/（X）是奇函数，注明!;/⑺山为偶函数,并由此说明：八工）的任一原函数是偶函数।

（2）如果/（x）是偶函数,证明「/（。山为奇函数，并由此说明：/（力的原函数中只有・•个是奇函数.

标准答案：

【证】《】)由我设有/《一幻二一八工).从而

J/(/)df,Z-"1/(—u)(-du)=J/(u)du=J»

故［/《n&为偶函tt

记F(x)=£/(/)d/.<l>(x)为/(x)的任一原函数•则有

F(-x)=F(ar),8i)=F(x)4-C.

故0(-x)=»F(一工)+(?=F(x)+C=0(X>.

所以/(x)的任一原函数都是偶函数.

(2)若/(-z>=〃幻•类似可证FG)=［/《。山是奇函数,仍设66为/(工)的任一原函数，

这时有

F(—x)——F(i),4>(工)=F(x)4-C»

0(-x)=F(—x)4-C=>—F(x)+C.

要使0(—x)——0(i),即

—F(x)+C=-F(x)—C.

必须且只需C-。.即<P(JC)-F(x)4-0"J'/a)ck,因此/(x)的原函数中只有一个［八八出是奇

函数,

知识:点解析：暂无解析

6、求।+k及arctanx的麦克劳林级数.

1

标准答案：利用公式(5.13),并以X2代替其中的X,则有1+/=1—X2+X4

x6+…+(—l)nx2n+...,(|XI<

1).

由于「一/=arctanx,故对的展开式实行逐项积分即得

Jo1+产1+x2

:沙£(—7舄，(

arctanx

x

r2n*l

_7

由于arctanx在［-1,1］上连续，索级数”。在［一1,1］上收敛，故

8r2n*l

V(-1)"--------

当x=±l时上述展开式也成立.即arctanx=n«o2n+1(|xI<1).

知识点解析：暂无解析

f1+sinx+cos、

7、求J1+sinG

标准答案:

f上早畸箸业=I岛k工+J品"+J毋公

+Jn4^ds

—：-----d(cosx)

cosx-2

=[——^~=—d(tanx)4—ln^~~~4-arctansinx

Jl+2tan*12x3242V2+cosx

=4zarctan(V2\anx)+—^―In乌—+arctansinx+C.

42272724-cosx

知识点解析：暂无解析

「胆业=£,求「°华dz.

8、已知J。彳2J。z

sin2ar

标准答案：令1⑶斗产丁dx,a>0.上式两边对a求导得I'(a)=J()+8

2sinarcosaz.«rsin2az

x2dx=Jo+xxdx.令y=2ax,则dy=2adx,所以I'(a)=Jo+"

朝，dy=春JL

32,上式积分可得I(a)=2a+c.由于I(0)=0,所以C=0,令a=l,得到

辿Ndr=三

1(1)5,J52.

知识点解析：暂无解析

已知下列非齐次线性方程组:

巧+孙―2-=-6,X|+mx2-n3—zi=-5,

-

(I)：<4H]一N?一—一/$=1,(II)：<nr2vT3-2x4=-11»

3xj-x2-J3=3j二3一24=-z+1.

9、求解方程组⑴，用其导出组的基础解系表示其通解;

标准答案：设方程组⑴的系数矩阵为A],其增广矩阵为A|,对A1作初等行变换,

化成含最高阶单位矩阵的矩阵，得到

110一2一6100—1：-2

A,=[Aj：=4—1-1-1i1010—1i-4

00125.

3一1-10:3L一二

因(A])=秩(A|)=3V4=〃，故方程组⑴有无穷多解，其通解为X|=1—2,-

4,-5,0]+k|l,1,2,l](k为任意常数).

知识点解析：暂无解析

10、当方程组中的参数m,n,t为何值时，方程组⑴与(II)同解.

标准答案：将通解X尸[-2+匕k-4,2k〜5,k]代入方程组(口)，得到

(k—2)m(k—4)—(2k-5)—A=-5.①

*n(k—4)—(2k-5)—2万=—11«②

(2A—5)—2々=1一心③注

意到这里k为任意常数时，均满足方程组，于是令k