考研数学二（解答题）模拟试卷129

考研数学二（解答题）模拟试卷129

一、解答题（本题共20题，每题1.0分，共20分。）

」im1,一I+

1、求极限

1

标准答案：2；

知识点解析：暂无解析

ln(l+%)1**->

Jim

2、求极限-0x

标准答案：该极限式为严型未定式，可直接利用重要极限公式

增⑺八进行计算,

则有

lim±=exp{lim[ln(l

…Ix」I“yLxe-1J乂仃

-/+0()

lim[瓜]，4)-1]^—=limEQP--yl—=lim—~j------二T，

*-•01xJe-1xe*-1*-«o%"2

1

故原式二爪。0

知识点解析：暂无解析

3、设f(x),g(x)在⑶b]上连续，且满足Hf(t)dGVg⑴出，xG[a,b),

bb

faf(t)dt=Jag(t)dto证明Lbf(x)dx4abxg(x)dx。

标准答案：令F(x)=f(x)—g(x),G(x)=foxF(t)dt,由题设C(x)K),xG[a,b],且

,b

G(A)=G(B)=0,G(x)=F(x)o从而LbxF(x)dx=JabxdG(x尸xG(x)a-faG(x)dx=一

b

faG(x)dXo由于G(x)加，xG[a,b],故有一aG(x)dxW0,即axF(x)dxW0。因此可

bb

Wfaxfdx<faXg(X)dx

知识点解析：暂无解析

"220”

820

4、设矩阵A=L。&6」相似于对角矩阵.(1)求a的值：(2)求一个正交变换.将

二次型f(X],X2，X3)=X'AX化为标准形，其中X=(X],X2，X3)T.

标准答案：⑴A的特征值为6,6,-2,故由A可相似对角化知矩阵6E-A=

-4-20-

-840

-。—a0J的秩为1,回

a=0.(2)f=xTAx=(xTAx)T=xTATx=(xTAx+xTATx)=xTx.故f的矩阵为(A+A1)==B,

计算可得B的特征值为Q=6,九2=3,入3=7,对应的特征向量分别可取为m=(0.

0,1)T,^2=(1,-1,(J)'。=(1,1,0产，故有正交矩阵使得P-

1BP=PTBP=diag(6,-3,7),所以，在正交变换下，可化f成标准形f=6y，-

3yi2+7y32.

知识点解析：暂无解析

5、设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+r(x)的零点.

标准答案：构造辅助函数F(x尸f(x)e",由于f(x)可导，故F(x)可导，设X]和X2为

f(X)的两个零点，且X]VX2，则F(x)在[xi，X2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理,

至少存在一点乐(xi，x2),使得F©=0,即『(95+4&)£=占『化)+出初=0.由于

舟o,因此必有r«)+f@=o.

知识点解析：暂无解析

6、设函数f(x)在(a,b)内存在二阶导数，且f*'(x)V0.试证：(1)若x0W(a,b),则

对于(a,b)内的任何x,有f(xo)Nf(x)—f(xo)(x—xo),当且仅当x=xo时等号成立；

(2)若X],X2,...»xnG(a,b),且XiVxi+i(i=l,2,…，n—1)»则

七自/(/)、，S

iI,其中常数ki>0(i=l,2,…，n)且

—

标准答案：⑴将f(x)在X0点泰勒展开,即f(x)=f(xo)+f(xo)(x--X0)+2!(x--

3

x())2,自在x()与x之间.由已知F'(x)V0,x€(a,b)得2!(x—•xo)24)(当且仅当

x=xo时等号成立)于是f(x)<f(xo)+r(xo)(x—xo),即f(xo)>f(x)—f(xo)(x—xo)(当且

仅当x=x0时等号成立).(2)因为xi=

v=三，故X32如

»-ii'-I6(a,b).取xo=i,对

Xi(i=l,2,n)利用⑴的结果有f(xo)Nf(x。一f(x())(xLxo),i=l,2,n,当

且仅当Xi=XO时等号成立.而X(#X|且X(#Xn»将上面各式分别乘以ki(i=l,

2,n）后再求和，有

SkJG。）＞七”（工）一£，（及油（国一的），

i«l21101

即

/(Xo)>X鬲—/M)2aH一5。)・

9】，,】"】

又七包=1,及、QH—Mo)=Sk,Xi—JCo£>=o,故/(XO)>方丸f(£)，所以

3】i-1i-1i-1i-1

/(色g)>W尢/(")

知识点解析：暂无解析

7、求J\Zr(4x-1)

d.r*—=ln(27T―八1—1)$

标准答案：石"”T）7（2/7）2-1

知识点解析：暂无解析

求「警dr.

8、Jcos'"

I*包爱dr=Itanxsinjd(tanz)

jrd(tan2x)

JcosdjrJ

=ysinxtan2x—yjsinxtanxdx

=ysinjrtan2x+y|tanxd(cosjr)

1..1

=­sinxtan2zxH--tanxcos

=~tanJC(sinxtanx+cosx)—xdr

=-1-tanxsecx--1*In'secz+tan*|+C.

标准答案：乙L

知识点解析：暂无解析

(1-H)arcsin(l一力於

9、计算定积分

标准答案：令1一x=sint,则

(1-z)arcsin(1一7)山

h工一m

卅8st=­(/cosr-sinZ)|=1—

知识点解析：暂无解析

.人)

10、设f(%)在％=0的邻域内二阶连续可导，D1-COSZ=2,求曲线y=f(%)在点

(0,f(0))处的曲率.

由lim।/乜)-=2=1而4^得/(0)=/(0)=0,

了一01-COSTx-osinx

又lim=lim仆)―/(0)=/(0)=2.

标准答案：一。sinz—。x则

2

y=f(%)在点(0,f(0))处的曲率为K=(l+0)T=2.

知识点解析：暂无解析

11、设F(x)在［0,1］上连续,且f(»<l,证明：2「J(/f(。出=1在(0,1)内有且仅

有一个实根.

标准答案：令(p(%)=2%—J(/f(l)dl—l,(p(0)=-l,蛆)=1一八饰)出由政)〈1得

Ef⑴dtVl,从而(p(l)=l-Jo1f(t)dt>O,由零点定理,存在cE(0,1),使得(p(c)=

0,即方程2%—Jo'f(t)dt=l至少有一个实根.因为(ph)=2—f(%)>0,所以(p(N)在

［0,1］上严格递增，故欢一Jo/0出=1在(0,1)内有且仅有一个实根.

知识点解析：暂无解析

dr

12、2x+

4-(arcsiru:+21n|2x+-1—fI)+C

标准答案：5

知识点解析：暂无解析

2

13、(1)求二元函数f(%,y)=£(2+y2)+ylny的极值.(2)求函数f(%,y)=(Z+2%+

y)e''的极值.

标准答案：（1）二元函数f（1,y）的定义域为D={（%,y）Iy>0},由

表

石=21（2+/）=0.

石

分=2xzy+Iny+1=0»—

得(%，y)=(O，e),

■=2(2+/),笠^-=5，*=212+L

OXoxdySy1y

则=2(2+3),B=0,C=7-7

工1

d(0.1)e^Xdy<0,1)dy(0

x=0

41

y=—

因为AC-B?>。且A>0,所以e为f（y,y）的极小点，极小值为

ee

I上=(2N+2)e，=0,

.\ox

(2)由W、•r=-1,

强=(i+2z+y+l)e，=0,y=0.

富=2e，,需=(2z+2)e，春=(z-)e，,

A==|=2,B=^|=0，C=M|=】，

(fjcffyI<^i.o>dyIc-1.0)山AC—R2

=2>0及A=2>0得(%,y)=(-l,0)为f(%,y)的极小值点，极小值为f(一1,0)

=—1.

知识点解析：暂无解析

1000'

0100

1010

14、设矩阵A的伴随矩阵A*=1。-308」，且ABA'=BA'+3E,其中E为

四阶单位矩阵，求矩阵B。

标准答案：由AA*=A*A=IAIE,知IA*1=1Al因此有8=1A*1=1Al

3,于是1A|二2。在等式ABA「=BAr+3E两边先右乘A,再左乘A*,得

2B=AB+3AA,即(2E—A)B=6E。于是B=6(2E—A)*=

-1000--16000'

01000600

6

-10106060

L

-030-6-030-1-O

知识点解析：暂无解析

22

232

15、设A=223,B〜A”，求B+2E的特征值.

322

14|=>232-7.

223

；-3-21

由I闺-A|=-2A-3-2Q-7)Q-1),-0

标准答案:-2-2A-3得猫=7,

=

入2=入3=1，A对应的特征值为X'船'As即=P2M3=7.因为B〜A”,所

以B的特征值也为囚=1,N2=N3=7,从而B+2E的特征值为3,9,9.

知识点解析：暂无解析

x1+2«r3+2彳$=6,

2JCi+z2+3z3+。/$=0，

3x।+Q/3+6/&=18,

16、当a,b取何值时，方程组4x|一工2+973+13I4=A无解、有唯

一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解.

U022610226

213001-1a-412

H=

3061800a-600

4-1913b(0-1156-24

10226

01-1a-4-12

*

00a——600

标准答案:000a+1b—36

⑴当今一1且时6时,方程组有唯一解;⑵当a=6时,

10226

01-12-12

00076-36

00000因为r(A)=r(A)=3V4,所以方程组有无数个

114-26

020-7-

26+12

-01-10

A-7-

b—36

0001

7

解；再由1°00001得通解为

114-26

—

7

-2

26+12

1

X=k7-

1

0

0

6-36

7(3)当a=-1时,

10226

01-1-5一12

A

00100

0000b--36当a=-l,b,36时,方程组无解;当a=

-1,b=36时，方程组有无数个解，由

10226[10026

01-1-5-12010-5-12

A

0010000100

0000000000

得通解为

X=k

知识点解析：暂无解析

2

已知二二次型f(X1,X2,X3)=4X2_3X32+4XIX2―4xIX3+8X2X3O

17、写出二次型f的矩阵表达式;

-02-2'

A=244

标准答案：二次型的矩阵为L-24-3」则二次型的矩阵表达式为

f=xTAxo

知识点解析：暂无解析

18、用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

4-22

-2A-4-4

标准答案：矩阵A的特征多项式为I入E—AI=2-4A+3=(X-1)(X

一6)(九+6),矩阵A的特征值为入尸1,=2=6,九3二一6。由(％E—A)x=O(i=l,2,

3)解得特征值入.1,入2=6,履=一6对应的特征向量分别为四二(一2,0,1)T,

T

a2=(l,5,2),a3=(l,一1,2)丁，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向

量正交，所以可直接将ai，(Z2,单位化，即

T

%=~U(-2,0,1),y2=—1,5,2)\%=1,-1,2),

心.30J6则正交变

21

示730示