考研数学（数学二）模拟试卷285

考研数学(数学二)模拟试卷285

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设f(x)=xsinx+cosx,下列命题中正确的是().

A、f(0)是极大值，f(兀/2)是极小值

B、f(0)是极小值，［兀/2)是极大值

C、f(0)是极大值，f(兀/2)也是极大值

D、f(0)是极小值，f(/2)也是极小值

标准答案：B

知识点解析：因为f(x)在［0,兀/2］上可导，f(x)=xcosx>0在区间(0,兀/2)上成立，

所以函数f(x)在区间［0,加⑵上单调增加.所以f(0)Vf(x)VfW2),即f(0)是最(极)

小值，f(#2)是最(极)大值.故选(B).

2、设f(x)在⑶+oo)连续，则也(常数)是f(x)在⑶+8)内有界的().

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

标准答案：A

知识点解析：由“定义知,存在xo>a使得a曰xo,+8)时f(x)有界，又

f(x)S［a,xo］连续，则f(x)在［a,xo］有界，因此f(x)在［a,+oo)内有界，但f(x)在［a,

+co)内有界，!吧/3不一定存在，如f(x)=sinx,故选(A).

3、考察一元函数f(x)的下列四条性质：①f(x)在区间［a,b］上连续②f(x)在区间

［a,b］上可积③f(x)在区间［a,b］上存在原函数④f［x)在区间［a,b］上可导若用

P-Q表示可由性质P推出性质Q，则有().

A、④一②一③

B、①一③-④

C、④一①一②

D、④—③—①

标准答案：C

知识点解析：f(x)在区间［a,b］上可导，则f(x)在区间［a,b］上必连续，由f(x)在区

间［a,b］上连续可得到f(x)在区间［a,b］上可积的结论，同时也说明f(x)在区间［a,

b］上存在原函数，故选(C).

4、设f(x)=3x3+x2IxI,则使符)(0)存在的最高阶数n为().

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：C

知识点解析：3x3处处任意阶可导，只需考查(p(x)=x2|xI,它是分段函数，x=0

是连接

点.

又"（0）«（Ii,0,^（0）-（-，）」.•=0=d（0）«0;

即，（>）=｛；）同理可得小;“（0）=0；

I3x,CO；I6x,x>0

Mn...f-6x,x^O,,,,,

即中⑴=16x,QO=6图，因JI在4=0不可等巾飞。）不存在，应选（C）.

5、二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是

0/)V(0,0)]=0

(B)y-30)?(""=0,且**泮_叽o

(C)lim£也以必？也)=0

(D)lim/(孙0)-/：(0.0)1=0,且5/(0,y)-/；(0,0)]=0

().……

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：选项(A)相当于已知f(x,y)在点(0,0)处连续.选项(B)相当于已知两

个一阶偏导数fx'(O,0),fy,(0,0)存在，因此(A),[B)均不能保证f(x,y)在点(0,

0)处可微，选项(D)相当于已知两个一阶偏导数凄(0,0),fy'(0,0)存在，但不能推

导出两个一阶偏导数fx'=(x,y),fy'(x,y)在点(0,0)处连续，因此也不能保证

&.一)-〃,。)肛

f(x,y)在点(0,0)处可微，对于选项(C),若mJR则

匕巫。)-〃。,0)=",0)-〃%。).这=0

IxI"Hx'即fx'(o,0)=0.同理有

r[/(Ax.Ay)-〃O.0)】-(/：(0,O)Ax♦/；((),0)2)

Ip

uii1nZL区_垃2幽_叽5A跖切力0,”=o

fy'(0,0)=0.从而有IP"AX)'-AT

根据可微的定义，知函数f(x,y)在(0,0)处可微.放应选(C).

6、已知函数y=y(x)在任意点x处的增量।其中a是比AxlAx—>0)高阶

的无穷小,且y(0)=7r，则y(l)=().

A、兀产

2兀

C、7U

D、泗4

标准答案：A

空=-2__解

知识点解析：由题设，机—且a是比人(人一。)高阶的无穷小.从而

y'=lim学=-^―：+lim*=」」,即y'=,

・0必】♦/uMIrZ'W1+/此为可分离变量的微分方程,则

虬

71+/，两边积分得InIyI=arclanx+C.由已知y(0尸兀，代入上式解得

C=ln7i,于是丫=;93叫因此川尸枕叫选(A).

7、设A为反对称矩阵，且|A|，O,B可逆，A、B为同阶方阵，A*为A的伴随

矩阵，则[ATA(B“)T「

匕().(A)-|f[⑻击⑹-喘(D)UI

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

[4Z・(5)r]“=[(炉了/W/)T=[(『)/]『击(-A尸=-备

8、设向量组32*...»a$,其秩为门♦向量组(U)Ri♦p2*---*Ps*其秩为

⑵且Pi(i：1，2,…，s)均可以由a”…，as线性表示，则().

A、向量组ai+01，az+M…，aS+0s的秩为口+「2

B、向量组ai-pi,a2-2,...»的秩为口-「2

C、向量组ai,ai,...»as>pi»也，…，C的秩为门+12

D、向量组ai，a2,...»aa,pi，能，…，0s的秩为口

标准答案：D

知识点解析：设囚，a2，…，ario为a】，a2，…，as的极大无关组，则它也是

ai，az，…，as,pi，®…,0s的极大线性无关组，所以(D)结论成立.

二、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

2

Xcon—।,x00

*

9、若Io.x=0=_____________

标准答案：0

/、,八、x'cos------0

,(0)=]加虱”)=|而---------=0

♦9”・TV

而枭/L(X)]II・・。=，[g(0)]・』o)=6

知识点解析:

10、设f(x)连续，Mf(x)=foxe'f(l)dt,则f(x)=.

标准答案：InIx+1|.

知识点解析：令尸f(X),两边对X求导数，得器"'=e5="=e-.C.即

ef(x)=x+C,因为f(0)=0,所以在e[x)=z+C两边令x=0,得C=l,所以有e*x)=x+l=

f(x)=lnIx+1I.

।।hm(nin:♦cos十)—

标准答案：e

知识点解析：原式

=limf1+而工+3工-1「=e：W・TT“)Le=IT刃

1I..IX

sin-♦«»------1sin--r-j

lira------------:------------=lim-3.lim-卢-=1,故原式«e.

I・11I

XXX

z=arctan-----*-

12、*7则出=

ydx+xdy

标准答案:

dz一1-y-x-yx

dx(x-y)2一/寸

>(*)

宁中一，则&,》耍

的I(>-y)

知识点解析：1

产=/.3,♦I

13、设函数y(x)由参数方程I."，'・3«.1确定，则曲线y=y(x)向上凸的x取值范围为

标准答案：xVl.

知识点解析：由题设，

dydt3尸-3--1

疝

.也_正⑷_(141_

网”・dx-3八3xJTTTTj7

dt

<0,则，厂#7Q<0,即，<0,又由已知*=八3，/，则噂=3八3>0,/、曰

3(«*1)也从而x=x⑴是

严格单调递增的，且x(0)=l,所以IVO,所以x的取值范围为xVl.

14、若矩阵A=(23),B=A2-3A+2E,则B/;

(0勺

标准答案：1-1-I厂

知识点解析：B=A2-3A+2E=(A-2E)(A-E)=(21)(：2)=(

0/故

八(，力

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

..1.sinx

15、求极限用7nx,

lim-^ln皿=lim21d1+=1加，吟

"94'X«-0x*\X/••<!X

标准答案：虫中=西丁=节

知识点解析：暂无解析

16、曲线4的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a.试求切线

方程和这个图形的面积.当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？

,从而切点卜・白)处的切线方程为

y=g得八"yx

标准答案：由该切线与X轴和

(o.%

y轴的交点分别为(3a,0)和IRa),因此此切线与x轴和y轴所围成的平面图形

_3_=9而

的面积为京一4a•当切点沿曲线趋于无穷远时，分两种情况：(1)当切

点沿x轴正向趋于无穷远时，』吗'=2吗=*°8；(2)当切点沿y轴正向趋于无

穷远时，.吧§士2石0

知识点解析：暂无解析

17、设f(x)在闭区间［0,c］上连续，其导数f'(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少

f(0)=0.试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(a+b)<f(a)+f(b),其中常数a,b满

足条件0<a<b<a+b<c.

标准答案：当a=0时,f(0)=0,有f(a+b)=f(b尸f(a)+f(b)；当a>0时,在［0,a］和

［b,a+bl上分别应用拉格朗日中值定理有

a-Ua

「乙)/gb)-Rb)Xa+b)-/(b)小

'-(a♦6)-6a2,0<EI<a<b<£2<a+b<c,

小)J。)

因f(X)在［0,C］上单调减少，故f(£2)Sf(£|)，从而有«。•因为a>

0,所以有f(a+b)WRa)+f［b).总之，当0%SbSa+bSc时，Ra+b)WRa)+f(b)总成立.

知识点解析：暂无解析

.•TTX

1-ysin—

设/U・y)=jy________.>>0.y>0.求:

♦xyarctanx

(1)<(>)=lim>/lM.y);

18、(II)limf(x).

.・-rrx

I-ywn-

（1）由巳知/U,八=,x>0.y>0.

I.xyarvlaiu

而limr~^-=—(x>0),limysin-=-nx(y>0).

,一♦•Ixyxy

所以内”,则/（巴外Y咒占一嬴%加（1一加手）

E

(D)由(I)知=lim(------）=仲（〉；^卜,即G

an^tanx

加（十一短）是8-8型未定式.二里缶是?型未定式.

可见第一个极限liE

因为则＞短）1・arctanx-x..anlanx-x

hm---------------=hm---------；------

arclanx

I

3句心卷一物士=《映氏物（G）=T・。・I肛

FT?

4_一、八人一，所以limg（'）="lim--=w.

标准答案：・・•^-arctanx

知识点解析：暂无解析

19、设函数f（x）6[a,b],且f（x）＞0,D为区域aSxWb,aWygb,证明：

（b-a）2.

标准答案：因为积分区域关于直线y=x对称，所以

像2愣"于是阳…可照阳眄又因为f（x）＞0,所以

歌留必从而[僻T[隅♦留i।……

知识点解析：暂无解析

*=函粒

。，叱

20、y=[/（/）『，其中f（u）具有二阶导数，且f（u）,o,求

因琥=〃，）•$=4叭《»（/），

打

出

立

立dS

一/I

所

以-

S2一4LT(/)+2(/)广(尸)]

“

--辿

3dx市\J

一/(/)

标准答案：dr<k

知识点解析

21、一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数K

>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为ro的雪堆在开始融化

的3个小时内，融化了其体积的7/8,问雪堆全部融化需要多少小时？

标准答案：本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中

以时间t作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方

法：（1）以半径r为未知函数，雪堆在时刻t的体积丫=（2/3）兀广，侧面积S=27T£由

题设知¥=如'''="化简上式即可得到以「为未知函数的微分方程，

dr/dt=-kt解之得r=-kt+C,由初始条件rIt=o=ro，可得出C=ro，所以r=ro-kt又rfl

已知"'”号州皿从而:・卡,可求出A=/,因此…・/，•雪堆

全部融化时r=0,从而忆丁’得t=6,即全部融化需6小时.（2）以雪堆体积V为

未知函数，在时刻305。-不吃侧面积S=2M,即§=的谓，由题设，

“必A'此即以V为未知函数的微分方程，分离变量得

«-yiimkdij—----------

«两边积分得3,”=-EH*C.由已知，当t=o时，

y,%'当”3时."；）%=%九代入上式分别得到区联立此二式可

解出令V=0,则t=6,即雪堆全部融化需6小时.

知识点解析：暂无解析

«I+*J♦出=4，

-♦包♦盯=A'

22、k为何值时，线性方程组。-叼+2/=-4,有唯一解、无解、有无穷多组解?

在有解的情况下，求出其全部解.

标准答案：用初等行变奂化增广矩阵为阶梯形

4

2k-2

A8

(I〃)(4-4)

0HDJ当原.1和屏4时,