考研数学一（线性代数）模拟试卷55

考研数学一(线性代数)模拟试卷55

一、选择题(本题共9题，每题上0分，共9分。)

1、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC二E,其中E是n阶单位阵，则必有()

A、ACB=Eo

R、CRA=F.

C、BAC=Eo

D、BCA=Eo

标准答案：D

知识点解析：由题设ABOE,可知A(BC)=E或(AB)C=E,即A与BC以及AB与

C均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E或C(AB尸CAB=E,比较四个选项，应选

Do

2、设A是mxn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为

口，则()

A、r>r(o

B、r<rjo

C、r=r]©

D、r与n的关系依C而定,

标准答案：C

知识点解析：因为B=AC=EAC,其中E为m阶单位矩阵，而E与C均可逆，由矩

阵等价的定义可知，矩阵B与A等价，从而r(B)=r(A)。所以应选C。

3、假设A是n阶方阵，其秩r(A)=rVn,那么在A的n个行向量中()

A、必有r个行向量线性无关。

B、任意r个行向量线性无关。

C、任意r个行向量都构成最大线性无关向量组。

D、任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表示。

标准答案：A

知识点解析：由矩阵秩的定义可知，A的n个行向量组成的向量组的秩也为r,再

由向量组秩的定义，这n个向量中必然存在「个线性无关的向量，所以应选A。

4、设r，a2,(13是三维向量空间R3的一组基，则由基⑴，彳“'5.到基

10r120-

(A)2200(B)023O

-033--103-

"1「-1"一11

T4-62TT

111111

(C)一■(D)"■"■■———

24T444

11111

-7了~6666

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

£

知识点解析：由基ai，22a3至lja1+(x2，012+013,。3+四的过渡矩阵M满足

0r

20,

33」所以选A。

(ai+a2»a2+ct3，as+ai)

a1r

1a1

5、设A=l1Q」，方程组Ax=O有非零解。a是一个三维非零列向量，若

Ax=O的任一解向量都可由出线性表出，则a=()

A、lo

B、-2o

C、1或2

D、-lo

标准答案：B

知识点解析：由于Ax=O的任一解向量都可由a线性表出，所以a是Ax=O的基础

解系，即Ax=O的基础解系只含一个解向量，因此r(A)=2。由方程组Ax=O有非零

解可得IAI=(a-l)2(a+2)=0,即a=l或-2。当a=l时，r(A)=l,舍去：当a=-2时，

r(A)=2o所以选B。

6、设%4q则三条直线aix+biy+ci=O,

a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=O(其中@[2+氏2#0,i=l,2,3)交于一点的充分必要条件

是()

A、aj,a2，a3线性相关。

B、ai，(X2，013线性无关。

C、r(ai，。2，as)=r(ai»a2)。

D、⑴，(⑵⑵线性相关，»口2线性无关。

标准答案：D

知识/解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组

严速+bxy+C[=U,

+b2y^c2=0,(1)

ax

3++C3=0或xai+ya2+a3=o(2)

—一、0

有唯一解。由(2)式可得a3=-xai-ya2。而方程组(2)(或(1))有唯一解(13可由a”

012线性表示，且表示式唯一。四，012,(X3线性相关，⑺，。2线性无关。所以应选

Do

7、设九=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值()

(A)*。(B)-2-a

J4

(C)y0(D)十。

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

1

知识点解析：因为大为A的非零特征值，所以九2为A2的特征值，乂为(A?)”的特

征值。因此凶的特征值为3x。所以应选B。

:io-r

(A)o23

--135-

■io-r

(C)20-2

--303-

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以杓似对角化。选项B是下

三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以

矩阵必可以相似对角化。选项C是秩为1的矩阵，由IE-AI=2-4/,可知矩阵

的特征值是4,0,0。对于二重根i=0,由秩r(0E-A)=r(A)=l可知齐次方程组(0E-

A)x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即九=0时有两个线性无关的特征

向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素

1,1,-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值九=1,由秩

0-2-3'

r(E-A)=r00-3=2

002可知齐次线性方程组［E-A)x=0只有3-2=1个线

性无关的解，即入=1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，

所以应当选D。

9、下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是()

A、A'1正定。

B、A没有负的特征值。

C、A的正惯性指数等于n。

D、A合同于单位矩阵。

标准答案：B

知识点解析：A"正定表明存在可逆矩阵c,使CTA"C=E,两边求逆得到c-

1A(CT)"=C"A(C")T=E,即A合同于E,A正定，因此不应选A。D选项是A正

定的定义，也不是正确的选择。C选项表明A的正惯性指数等于n,故A是正定

阵。由排除法，故选B。事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征

值，而正定阵的特征值必须全是正数。

二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)

Xy%+y

yx+yx

i。、行列式4+yxy=

标准答案：-2(x'+y3)

知识点解析：将后两列加到第一列上

xyy%+y1y%+y

X=2("+y)1

y4+y+yx+yx

x-¥yxXy1xy

y%+y

X一y

X-y=2(4+y)

*-y-X

4-y-x

rl0On

220

11、设A」345」，A*为A的伴随矩阵，贝lJ(A")/=

「1

lbo

1fI0

3_2__L

标准答案：LioTTJ

321

Lio5-f」

知识点解析：由A*=IAIA/可得(A*)J=

3-1r12-2-

045I=2a0

6」L-1

12、已知A=00-33,且AXA*=B,r(X)=2,则

标准答案：。

知识点解析：根据Auj逆叫知，其伴随矩阵A"也是"J逆的，因此

r(AXA*)=r(X)=2=r(B),因此可得IBI=0,则

12-210-2

IBI=2a02a0=0。

-1-33-103

13、设ai=(L2,-I>0)T,a2=(1>1,0,2)T,(13=(2,I,1,a)T,若由cq,ai>

a3形成的向量空间的维数是2,则a=o

标准答案：6

知识点解析：由题意知向量组ai，a2,a3线性相关，而其中两个向量线性无关，

所以r(ai，。2,。3户2,对四，az，组成的矩阵作初等行变换

■11T112'112'

r

2112-2r,0-1-3勺+80-1-3

-101勺013%+2》000

-02a--02a--00a-6-*贝!]a-6=0>且

a=6o

14、设A是秩为3的5x4矩阵，ai，a2,(13是非齐次线性方程组Ax二b的三个不同

TT

的解，如果ai+a2+2a3=(2,0,0,0),3ai+a2=(2,4,6,8),则方程组Ax=t^J

通解是O

1

标准答案：(20,0,0)T+k(0,2,3,4)T,后为任意常数

知识点解析：由于r(A)=3,所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4-r(A)=l个解

向量。乂因为(ai+a2+2a3)-(3a]+a2)=2(a3-ai)=(0,46-8)1是Ax=0的解，所以

其基础解系为(0,2,3,4)[，由A(ct]+a2+2a3)=Aai+Aa2+2Aa3=4b,可知4

(ai+a2+2a3)是方程组Ax二b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其

通解是(2,0,0,0)T+k(0,2,3,4)TO

-121-

-2-3a

15、已知矩阵A=L00-1」有两个线性无关的特征向量，则a=

标准答案：-1

A-1-2-1

2A+3-a

知识点解析：A的特征多项式为I入E-AI=0°A+1=(X+1)2,所以

矩阵A的特征值是-1,且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，

故r(-E-A)=l,因此a=-l。

16、设A是mxn矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=TE+ATA是正定阵，则a的取值

范围是o

标准答案：aVO

知识点解析；BT=(-aEIATA)T=-aEiATA=B,故B是一个对称矩阵。B正定的充要

条件是对于任意给定的X/),都有xTBx=xT(-aE+ATA)x=-axTx+xTATAx=-

axTx+(Ax)TAx>0,其中(Ax)T(Ax)K),xTx>0,因此a的取值范围是-a>0,即aV

Oo

三、解答题(本题共9题,每题7.0分，共9分。)

X-10…00

0X[•••00

*•■**

•■••*•

000…X-1

ao%a册nnl

17、证明：2=anx+an-ix-4-...4-aix+aoo

标准答案：本题可利用递推法证明。

X-1•••00

*•*

**•*■

记a=，则

00…X-1

/…an

-10…0

X-1…o

左边=他+(-1),%•••

•*••

•••2n+2

0X-1=xDn+(-1)a=xDn+a()o显

然D|=an,根据上面的结论有左边=xDn+ao=x(xDn-i+ai)+ao=x2Dn-]+xai+ao=…

nn1n11-1

=xDj+an-ix'+...+aix+a()=anx+an-1x+...+aix+ao=右边，所以，命题成立。

知识点解析：暂无解析

18、己知AB=A-B,证明：A,B满足乘法交换律。

标准答案：由AB=A-B可得E+A-B-AB=E,即(E+A)(E-B尸E,这说明E+A与E-B

互为逆矩阵，所以(E・B)(E+A尸E,将括号展开得BA二A-B,从而可得AB二BA,即

A,B满足乘法交换律。

知识点解析：暂无解析

19、设向吊组a”a2，…，am线性相关，且ai¥O,证明存在某个向量akQWkgm),

使可能由ai，az，…,ak-i线性表示。

标准答案：因为向量组ai，a2，…，am线性相关，由定义知，存在不全为零的数

11，入2，…，Am，使人代|+入2a2+…+入mam=O。因入I，入2…，1m不全为零,所以必存

在匕使得履#0,且限+1=...=入m=0。当k=l时,代入上式有九四=0。又因为

a#0,所以入i=0,与假设矛盾，故"1。当九#0且kN2时，有

%=一-----+.1,,,,

4*儿因此向量ak能由ai，a2........ak线性表示。

知识点解析：暂无解析

(1+Q)X|+町++x,=0,

2%1+(2+a)x+…+2x=0，(n

2nN2),

+(n+/1)«„=0

20、设有齐次线性方程组试问a取

何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

0•••0=及

。」当a=0

时，r(A)=l<n,方程组有非零解，其同解方程组为xi+X2+...+xn=0,由此得基础

r

解系为中二(-1,1，0,…，0)1“2=(-1,0,1,…，0),...»r|n-i=(-l»0,

0,…，1)T,于是方程组的通解为x=k]]+…其中ki，…，kn-1为任意

常数。当a翔时，对矩阵B作初等行变换，有』当a=时，r(A尸n-lVn,方程

组也有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为n=(l,2，…，n)T,于是方程

组的通解为x=kn,其中k为任意常数。

知识点解析：暂无解析

T

21、设线性方程组(l)Ax=0的一个基础解系为ai=(l,1,1,0,2),a2=(h1,

0,1,l)T,a3=(l,0,1,1,2)兀线性方程组(2)BX=0的一个基础解系为m=(1,

TT

1,-1,-1,1),02=(1，・1，1，-1，2)T,p3=(l,-1,-1,1,l)o求(I)线性方程

(Ax=0,

组(3)1=0的通解；(口)矩阵C=(AT,Bb的秩。

标准答案：(I)线性方程组⑴Ax=0的通解为x=kiai+k2a2+k3a3；线性方程组

(Ax=0,

⑵Bx=0的通解为X=1M+12B2+13P3；线性方程组(3)1=°的解是方程组(1)和(2)

的公共解，故考虑线性方程组(4)k।a1+k2a2+k3a3=1巾|+12。2+13。3，将其系数矩阵作

初等行变换，即回则方程组(4)的一个基础解系是(-2,0,2,-I,0,l)To将其

代入(4)得到方程组(3)的一人基础解系9-2ai+2a2=-仰+生=(0,-2,0,2,0)To所

以方程组(3)的通解为x=K(0,-1,0,1,0)T,其中K为任意常数。(II)线性方程

组⑶与线性方程组XIALBT)=°等价，而方程组⑶的基础解系只含一个向量，故

矩阵C=(A'］，B5的秩r(C)=5・l=4。

知识点解析：暂无解析

'n1…1■

1n1

22、已知A=L11…是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可

逆矩阵P使P/AP=A。

标准答案：A的特征多项式为

A-n―1•••-1A-2n+1A―2n+1•••A•2n+1

-1A-n-1-1八・n•••

1AE—A|==-1

•*•••*

■••*•■*

-1-1…A-n-1-1•••A-n

11—1

-1A-n—1

二(A-2"+1)••

••

-1-1•••A-n

11…1

0A-n+10

=(A-2n+1)

**

00A-n+1

=(X-2n+l)(X-n+l)n-1,则A的特征值为入］=2n-l,九2=n-l,其中入2=n-l为n-1重根。

当入l=2n-l时，解齐次方程组(QE-A)x=0,对系数矩阵作初等变换，有凶得到

基础解系ai=(l,1,…，1)T。当入2=n-l时,齐次方程组(人2E-A)x=0等价于

T

X|+X2+...+xn=0,得到基础解系(12=(-1,1,0，...»0),(13=(-1,0,1,...»

0)T,…，an=(-l,0,0,…，1)T,则A的特征向量是kg和

k2a2+k3a3+…+kndn，其中ki/0,k2,k3，…，kn不同时为零。

知识点解析：暂无解析

23、已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A尸2,求矩阵A

的全部特征值，并求秩r(A+E)。

标准答案：设九是矩阵A的任一特征值，a(a#0)是属于特征值大的特征向量，则

Aa=Xa,于是人％=九%。用a右乘A4+2A2+A2+2A=O,^(X4+2X3+X2+2A,)a=0o因

为特征向量问0，故X4+2Z3+X2+2X=k(Z+2)(l2+1)=0«由干实对称矩