考研数学（数学二）模拟试卷489

考研数学(数学二)模拟试卷489

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

/Cr,y)=|(三十/A‘''Cr，30W(0,0),

1、设I。.

(“，？)=(°，°)，则以，丫)在点0(0,Oj处

()

A、两个偏导数存在，函数不连续.

B、两个偏导数不存在，函数连续.

C、两个偏导数存在，函数也连续,但函数不可微.

D、可微.

标准答案：C

知识点解析:

LH<r-0

<(0,0)-=/(。‘°)

v-0y-0

|/(八.\，)一/(0・0)|=+y)'?f0((。.0))

(M+卜-所

以函数在点(0,0)处连续，且f'x(0,0)与f'y(0,0)均存在.再看可微性，若

x

f(x,y)在点(0,0)处可微，贝Ijf(2x,绚)一f(0,0户f'x(0，O)AX+fy(0,0)Ay+

z

"(+(")?)成立.上面已有f'x(o，0)=0,fy(o,0)=0,于是应有

f(Ax,Ay)\/?Ar)-+(^,v)-).而

/(r.T)---麦工J(八v)^(0.0)).

(・r+v)*

」(八y)v',/

(.r+r),?一万斗访7((八丁)工(仇())),

厂当(x,y)->(0,0)时.不妨设

y=kxT),则(/十)‘)'"小).并不趋于0所以当(Ax,Ay)->(0,0)时，

f(Ax,Ay)不是/(△''1+(△>')’的高阶无穷小.故f(x,y)在点0(0,0)处不可

微.选C.回

X2C08—,X>0,

设函数/(*)=X则下列结论正确的是

x2,4W0,

(A)/(%)有间断点.

(B)/(X)在(-8,+8)上连续，但在(-8.+8)上有不可导的点.

(C)f(x)在(-8,+8)上处处可导,但/'(2)在(-8,+8)上不连续.

(D)/'(*)在(-8.+0O)上连续.

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

【分析】本题主要考查分段函数的连续性和可导性问题.

/(x)的定义域是(-8,+8)，它被分成两个子区间(-8,0］和(0,+8).在(-8,0］内

/(x)=/，因而它在(-8,0］上连续，在(-8,0)内导函数连续，且/［(0)=0；在(0,+8)内

/(X)=/CO8；,因而它在(0,+00)内连续且导函数连续.

注意=limX2CO8—=0=/(0),因而f(%)在(-8,+8)连续•可见(A)不正

x-0+0+X

确.又因

21

XC08

..KG-f(。)rTn

hm----------4-----=lim------------=0,

jrf.x-0x-0.x

即/(外在工=0右导数(0)存在且等于零，这表明/'(0)存在且等于零.于是,/'«)在

(-8,+8)上处处存在,可见(B)不正确.

注意，当4>0时，/*(*)=(3cos!)'=2xcos+sin：,

于是lim/*(%)不存在，这表明广(%)在/=0间断.可见(C)正确，(D)不正确.

1-4)♦

评注~在讨论有关分段曲数的连震性和可导性时，常可利用初等函数的性质来得出函数在

各分段子区间内的连续性和可导性，但在各分界点处,则常常需按照连续与可导的定义来进

行讨论，，,________

3、

已知6=(-1,1皿,4)兀6=(-2,1,5,.)丁,5・Q,2,10,1》是四阶方阵4的属于

三个不同特征值的特征向址，则a的取值为().

(A)a#5(B)a^-4

(C)aX-3(D)一3且〃工一4

A、

B、

C、

D、

标准答案：A

知识点解析：

【解析】因为6,。2，。3是A的属于三个不同特征值的特征向帽，所以它们必线性无关,

即秩(6，。2必)=3.由

知，其秩为3时.故选(A).

4、

设4=(卬)]da,其中f为连续的奇函数,D是由y=-o?,j：==l,y=l所国

D

成的平面闭域,则4等于()

(A)0(B)|(C)—|(D)2心个兄。

D

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

【解析】Jx2d(r-+-jJ*/(a^)d(T=jJjdx4-0=y.

t>D~

5、

[(x2+y:)cos--1J+y2声0

函数/(x,y)=<Jm+<

Io,x>4-y=0

在点(0,0)处().

(A)不连续(B)偏导数不存在(C)可微(D)偏导数连续

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：

易知买=翌=0,而f(O.O)=0.

〃<o.o)dy(o曲

（X2+y2）cos•1；

这时lim7TT7=0.而知在(0,0)可微.

X-0

L

6、

设f(z)为连续函数，且下列极限都存在，则其中可推出/(3)存在的是

<A)limA[/(34-4-)-/(3)].

I"H«ofl

(B)limxC/(3+-)-/(3)].

X

(C)|im/^4-3)-/(3)

J**ox1

(D)/ijS+D.

Ll1-X

L]

A、

B、

C、

D、

标准答案：B

知识点解析：

分析：(A)中.”二]->o*a-*+8),表明只是右极限；(c)中,[=l2-0+(7—0),与(人)类

似;而⑴)式,只有当，(3)预先存在的情形下，才与/(3)相等;在(B)式中,Ar=1•一OGr-8),符合导

数定义，故选项(B)正确.

7、已知四维列向量川，az，Q3线性无关，若向量Bi(i=l,2,3,4)是非零向量且

与向量Cl],(X2，a.3均正交，则向量组仇，02.p3»。4的秩为().

A、1

B、2

C、3

D、4

标准答案：A

知识点解析：设5=((Xii，52，四3，34)%=1,2,3),由已知条件有。尸5=00=

1,2,3,4；j=l,2,3),即仇(i=l,2,3,4)为方程组

ai】Ni-Faizxa++4】4工4=0

azix：+。2212+a23Xj+。2户4=0

Zi+a3ix2+a3jXj^^34X4=0

的非零解.由于四，a2,(13线性无关，所

以方程组系数矩阵的秩为3,所以其基础解系含一个解向量，从而向量组仇，伤,

彷，饱，的秩为1，选A.

8、

2X

y=f(x)=J+沪」巨的渐近线有

(X-1)arctanx

(A)2条(B)3条(C)4条.(D)5条

A、

B、

C>

D、

标准答案：B

知识点解析：

【分析】由渐近线的定义求解即可.

【详解】由于=-2,

F7T

2.2

于是，=巴与y=-工是,=/(x)的两条水平渐近线.

7T77

X1

=8,lim/(x)=3lim--------=3lim--=0,

«-x>-»-o-arctanxi-x

于是m=0是，=/«)的一条铅直渐近线.

又1加«9=0,所以，=/(x)没有斜渐近线.

因此4=/(x)有三条渐近线，故选(B).

【评注】如在极液中含：『心淖池@110{(4)*00匕(光)，且0!(*)-8,则要对0[(*)-+8与a(%)

1-00进行讨轮.

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

9、

以v=eX.x=e%05为特解的最低阶数的常系数线性齐次方程为

标准答案：[」3

知识点解析：

【解析】因为3=47,所以Ab=E.

即(£—aaT)|E4--aaT)=E—craT-F-acr1——a(aTa)ar=E,

\aIaa

亦即crcrT^——1—5.2a“=O.

由于0X^X0,故上-1一加=0,再根据aVO可解得a=-1.

a

平行于直线6a+2y+1=0且与曲线y=V+3/-5相切的直线方程为_______•

标准答案：3x+y+6=0

知识点解析：

分析:解决本题的关键在于求出曲线7=户+3/-5的切点坐标，显然直线的斜率为一3,由于

求的切线平行于直线，故其斜率为=-3,又A=y'=3/+6],于是有

3X2+6x=-3,

则3(x4-IV=0,

即x-1.

将工一1代入曲线方程，有

y=(-1>+3(-1)2—5=-3.

故切点坐标为(-1.-3).从而所求直线方程为

1y+3=-3(x4-1).

即3t+_y+6—0.

11、已知三阶方阵A,B满足关系式E+B=AB,的三个特征值分别为3,—3,

0,则IB」+2EI=.

标准答案：一8

知识点解析：因为A的特征值为3,—3,0,所以A-E的特征值为2,-4,

1,从而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E,即B与A-E互为逆阵，则B

的特征值为彳'了，-1,的特征值为2,-4,-1,从而B「+2E的特征值

为4,-2,1,于是IB」+2EI=-8.

x半一》=]('+4/)

12、已知y=u(x)x是微分方程一的解，则在初始条件lx=2

下，上述微分方程的特解是丫=.

标准答案：2xtan(x—2)

dy=d[u(x)]I.v臼

知识点解析：由y=u(x)x,有如一"&十""’于是原方程化为口由于初值为

x=2,所以在x=2的不包含x=0在内的邻域上，上述方程可改写成以x=2,y=

0代入，得u=0,C=-2.从而得特解y=u(x)x=2xtan(x—2).

13、®f(x)=exsin2x,贝U伊(0尸.

标准答案：-24

/(x)=[14-x+?•[2JT-

Loo

—2x+2工？—3~x*+。(了’),

由仁(兽0)=一1得/卬(0)=-24.

知识点解析:4!

,2IO'850'

A2=110A5530

100-32」，那么矩阵八二

14、已知■004-

II0■

100

标准答案：00-2-

知识点解析:由于A(A?)2=A5,HIA=[(A2)2]-1A5=[(A2)-1]2A5.而

1

-2।ov'rt

20

“尸=II0

00400T.所以

II2-30-

?;l850-850•

4一12-350

A=530530

0000-320°h-00-32-

II0

=100

00-2注意

2।I更简捷

三、解答题（本题共8题，每题7.0分，共8分。）

15、

作变换，=tan%,把方程

+2co$2x(1sinxcosx)字+y

ax

变换成y关于£的微分方程,并求原方程的通解.

标准答案：

dydydt]dyd2y2sinxdy+1d2y

【分析与求解】(I)先求

(k也dxco»2x出'dx2cos'*d«cos'*dt2'

将它们代入原方程得

+2sinxcosx半+2(1-sinxcosx)?+y=£.

&atat

+2¥

即+7

(fl)求解这个常系数线性方程：

相应的特征方程A?+2A+1=0,有重特征根A=-1.

非齐次方程的特解y・=1-2.

因此方程(•)的通解为y=(C,+C2，)e-,+-2.

U，u

(Ifl)原方程的通解为y=(Ci+C2tanx)e-+lanx-2.

知识点解析：暂无解析

16、计算二重积分")dxdy,其中D为平面区域{(x,y)Ix2+y^Mx,

X>l}o

标准答案：二重积分先画出积分区域，如图3所示，为右侧的阴影部分，由于积分

区域关于x轴对称，根据被积函数中y的奇偶性，

被积函数,2、2、2是关于y的奇函数,所以有

(1+y)

!由E1号槽/

选用极坐标求二重积分

知识点解析：暂无解析

17、设V⑴是曲线y二1二-在x[0,U的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体

积，求常数c使得心厂会也“⑴。

y=----7

标准答案：曲线1在x曰0,I]的弧段绕x轴旋转一周所得的旋转体的体

=n[f-=y(l-，

JoJo(1+x)21+t

故lim-(£)=lim-y(1—-=*

联1+8i—♦»21+12

N/i」\_方

勺)，

积1rl”为2.1+/2—4d解得c=L

知识点解析：暂无解析

139'

已知人I为三阶非军方阵/=206，卅

-3I-7-

齐次线性方程缎Mr=。的三个射向量,且公=为有非零配

.求a,h的色;②求Rx的一蝌.

18、=0

标准答案：

【分析："=。如,"2.外为Hx=。的三个M向；/.：儿必行行列式|［从.从.出］|=0.出根树Ar

二出外研,卬。可由可..小人性我小(这里%诩.二包十工.从何华可由外.一线

件&示.又得h列1式|［",叫外”-»曲此两个句式力耐用明儿或由秩，(八/二

，(八"<),可用以再枳霖|［四.生优］|=0,又可新得“.

至于求Hx=0的通网,关耀是埔定>的粒

【惮解】I由⑶外凡均为人二。的归.饵”「0知.四网必必线性相关,于业

0ab

I［41/2/JI=I2IwQ.

-IIO

由此就得”="，.

.Ax=出方非―，儿出可由A的三个列向fit

I39

6:2g=0.a}=9段性衣小.而勺=3«1+2AZ.

-3IJ1-7」

可电可由叫・%线性表示,因此出•%a线性相关.干止

bI3

|「闭.<»i,6］|=I20=0.

0-3!

耕得6-5.从而“=15.

故。-15,A-5.

2由即设r(H)>I.TJ63-r(«)W2,而巴，佻为Bx=0的两个线性无关的解.故3-

B=2•可见场祖・qf|"X=0的茎砒解系.故通解为)*/*痔触/为任

总常数).

:【评注】财十参数，，・*.可吸据熊的九定交灵定.二所有非专利,切八A：出)一“A)W

知识点解析•：暂无解析

19、求f(x,y,z)=x+y—z?+5在区域Q：x2+y2+z?W2上的最大值与最小值.

标准答案：f(x,y,z)在有界闭区域。上连续，一定存在最大、最小值.第一步，

些=1=

先求f(x,y,z)在Q内的驻点.由切f(x,y,z)在Q内无驻点，因此f(x,

y,z)在。的最大、最小值都只能在C的边界上达到.第二步，求f(x,y,z)在。

的边界x?+y2+z2=2上的最大、最小值，方法：即求f(x,y,z)在条件x?+y2+z2-

2二0下的最大、最小值.令F(x,y,z,X)=x+y—z2+5+X(x2+y2+z2—2),解方程组

—=1-i-2Ax

=1+2Ay=0,

dF

=-2z+2Az=0,

dz

dFx2+y1+z?-2=0,

i办,

由①，②1x=y,由③1z=0或31.由小丫，z=0代入④-x=y=±l,z=0.当九=1

时由①，②，得x=y=-5'代入④得"一"爹.因此得驻点Pi(—1,—1,0),

MT)计算得知f(P|)=3,

P2(l，P0),P3

f(P2)=7,f(P3)=f(P4)=2.因此，f(x,y,z)在。的最大值为7,最小值为2.

知识点解析：暂无解析

+-x_2x

20、已知y*(x)=xe—、+e-2x,y(x)=xe+xe,y'(x)=xe~2x+x「2x是某二

阶线性常系数微分方程y"+py，+qy=f(x)的三个特解.(I)求这个方程和它的通解；

(II)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0,y'(0尸0的特解，求Jo+8y(x)dx.

标准答案：(I)由线性方程解的叠加原理一yi(x)=y3"(x)—y2*(x)=e—2x,

y2(x)=y3*(x)—yj(x)=xe-2x均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的.于是

该齐次方程的特征根是重根A=-2相应的特征方程为(A+2)2=0,即

入2+4入+4=0.原方程为y"+4y，+4y=f(x).①由于y，(x尸xe1乂是它的特解，求导得

y^(x)