2023-2024学年青海省西宁市大通县高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年青海省西宁市大通县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）化简AB→A．AD→ B．CB→ C．DB→2．（5分）已知集合A={x|(12)x＜1A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|x＞1} D．R3．（5分）下列说法中错误的是（）A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线4．（5分）一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的85%分位数是（）A．3 B．4 C．4.5 D．55．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝g（x）的图象，则g（xA．﹣3cos2x B．3cos2x C．−3sin(2x+π4)6．（5分）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）A．13 B．12 C．237．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，在△CMD1中，CM⊥MD1，CD＝4，DD1＝3，则AD＝（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．82π9 B．83π9 C．28π3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z=2+3A．z的虚部为3 B．z是纯虚数 C．z的模是7 D．z在复平面内对应的点位于第四象限（多选）10．（6分）下列化简正确的是（）A．sin（2023π﹣α）＝sinα B．tan（α﹣2023π）＝﹣tanα C．sin(11π2+α)=−cosα（多选）11．（6分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=1A．△BEF的面积为定值 B．EF⊥AC C．点A到直线EF的距离为定值 D．二面角E﹣BD﹣C的大小为60°三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝．13．（5分）已知e1→和e2→是两个不共线的向量，a→=e1→−2e14．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）﹣log5|x|的零点个数有个．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球．（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A＝“摸到球的号码小于5”，事件B＝“摸到球的号码大于4”，事件C＝“摸到球的号码是偶数”．16．（15分）（1）（07年江苏卷.11）已知cos(α+β)=15，cos(α−β)=35，求tan（2）已知cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=13，求cos（17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinC﹣b﹣c（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c．18．（17分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，∠A1AB＝∠A1AD．（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（2）证明：平面A1BD⊥平面ACC1A1．19．（17分）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；（3）已知落在[50，60）的平均综合评分是54，方差是3，落在[60，70）的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50，70）的总平均综合评分z和总方差s2．

2023-2024学年青海省西宁市大通县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）化简AB→A．AD→ B．CB→ C．DB→【考点】平面向量的减法．【答案】B【分析】由已知结合向量减法运算法则即可求解．【解答】解：若化简AB→根据向量减法的三角形法则可知，AB→故选：B．2．（5分）已知集合A={x|(12)x＜1A．{x|x≥2} B．{x|x≤2} C．{x|x＞1} D．R【考点】集合的交并补混合运算．【答案】B【分析】先求出集合A，再结合补集、并集的定义，即可求解．【解答】解：集合A={x|(12)x则∁UA＝{x|x≤2}，B＝{x|x≤1}，B∪（∁RA）＝{x|x≤2}．故选：B．3．（5分）下列说法中错误的是（）A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】C【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断．【解答】解：由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确．故选：C．4．（5分）一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的85%分位数是（）A．3 B．4 C．4.5 D．5【考点】百分位数．【答案】D【分析】将数据从小到大排序，根据第85百分位数的定义可得答案．【解答】解：将数据从小到大排序为1，1，2，2，2，2，3，3，5，5，因为10×85%＝8.5，8.5不是整数，故取第9个数，第9个数为5，故这组数据的第85百分位数为5．故选：D．5．（5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝g（x）的图象，则g（xA．﹣3cos2x B．3cos2x C．−3sin(2x+π4)【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【答案】B【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，再得到伸缩变换后的解析式．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移π4可得y=sin2(x+π再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得g（x）＝3cos2x．故选：B．6．（5分）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（）A．13 B．12 C．23【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】C【分析】利用列举法，结合古典概型分析求解．【解答】解：将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有{234，243，324，342，423，432}，共6种，其中偶数有{234，324，342，432}，共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为46故选：C．7．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，在△CMD1中，CM⊥MD1，CD＝4，DD1＝3，则AD＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【答案】B【分析】设AD＝a，利用勾股定理求得CM，CD1，MD1，再利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：如图，连接DM，由M为AB的中点得CM＝DM，设AD＝a（a＞0），则CM=a2+4MD因为CM⊥MD1，所以MC即a2+4+a2+13＝25，解得a＝2（负值舍去）．故选：B．8．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．82π9 B．83π9 C．28π3【考点】球的体积和表面积．【答案】C【分析】取BD的中点E，设△ABD和△BCD的外接圆的圆心P，G分别在AE，CE上，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，可得O为三棱锥的外接球的球心，且可得∠OEC＝60°，由等边三角形的边长为2，可得EG，G及OG的值，进而求出外接球的半径OC的值，再求出外接球的表面积．【解答】解：由题意如图所示：设E为BD的中点，连接AE，CE，设P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，过P，G分别作两个半平面的垂线，交于O，则可得O为该三棱锥的外接球的球心，连接OC，OE，则OC为外接球的半径，由△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形，则AE=CE=又AC＝3，则由余弦定理可得cos∠AEC=A所以∠AEC＝120°，因为P，G分别为△ABD，△BCD的外接圆的圆心，所以CG=23CE=可得△OPE≅△OGE，可得∠OEC＝60°，而∠OGE＝90°，所以OG=3在△OGC中：R2所以外接球的表面积S=4πR故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知复数z=2+3A．z的虚部为3 B．z是纯虚数 C．z的模是7 D．z在复平面内对应的点位于第四象限【考点】复数的运算；虚数单位i、复数；纯虚数；复数的代数表示法及其几何意义；复数的模．【答案】AC【分析】根据复数的基本概念，以及复数的几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．【解答】解：对A：由虚部定义知z的虚部为3，故A正确；对B：纯虚数要求实部为0，故B错误；对C：|z|=22+(对D：z在复平面内对应的点为(2，3)，位于第一象限，故故选：AC．（多选）10．（6分）下列化简正确的是（）A．sin（2023π﹣α）＝sinα B．tan（α﹣2023π）＝﹣tanα C．sin(11π2+α)=−cosα【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的恒等变换及化简求值．【答案】AC【分析】借助诱导公式计算即可求解．【解答】解：对A选项，∵sin（2023π﹣α）＝sin（2022π+π﹣α）＝sin（π﹣α）＝sinα，∴A选项正确；对B选项，∵tan（α﹣2023π）＝tanα，∴B选项错误；对C选项，∵sin(11π2+α)=sin(6π−对D选项，∵cos(7π2−α)=cos(故选：AC．（多选）11．（6分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=1A．△BEF的面积为定值 B．EF⊥AC C．点A到直线EF的距离为定值 D．二面角E﹣BD﹣C的大小为60°【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角；点到直线的距离公式．【答案】ABC【分析】根据B到EF的距离为定值即可求解A，根据B1D1⊥AC可得EF⊥AC即可求解B，根据A到直线EF的距离等于A到D1B1的距离即可求解C，根据面面垂直即可求解D．【解答】解：对于A，因为在△BEF中，高为B到EF的距离，即BB1的长度，为定值，底边为EF的长度，也为定值，所以△BEF的面积为定值，故A正确；对于B，因为EF在B1D1上，B1D1∥BD，BD⊥AC，所以B1D1⊥AC，即EF⊥AC，故B正确；对于C，A到直线EF的距离等于A到D1B1的距离，由于△AD1B1为边长为2的等边三角形，故A到D1B1的距离为32×2=62，因此A到直线对于D，易知在该正方体中，D1D⊥平面ABCD，又D1D⊂平面D1DBB1，所以平面D1DBB1⊥平面ABCD，即平面DEB⊥平面ABC，故二面角E﹣BD﹣C的大小为90°，故D错误．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知x、y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）+yi＝﹣1+i，则x+y＝．【考点】复数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部都相等，由此利用（x﹣2）+yi＝﹣1+i，能求出x+y的值．【解答】解：∵（x﹣2）+yi＝﹣1+i，∴x﹣2＝﹣1且y＝1；解得x＝1，y＝1，∴x+y＝2，故答案为：2．13．（5分）已知e1→和e2→是两个不共线的向量，a→=e1→−2e【考点】平面向量的相等与共线．【答案】﹣4．【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求解即可．【解答】解：以e1→和e2→为基底，利用坐标表示a→由a→与b→是共线向量，得k﹣（﹣2）×2＝0，解得故答案为：﹣4．14．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）﹣log5|x|的零点个数有个．【考点】函数的零点；奇偶函数图象的对称性．【答案】见试题解答内容【分析】f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[﹣1，1]上，图象是2条斜率分别为1和﹣1的线段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象；y＝log5|x|也是个偶函数，图象过（1，0），和（5，1），结合图象可得函数y＝f（x）的图象与函数y＝log5|x|的图象的交点个数，从而得到函数零点个数．【解答】解：由题意知，函数y＝f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[﹣1，1]上，图象是2条斜率分别为1和﹣1的线段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象．函数y＝log5|x|也是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍．在（0，+∞）上，y＝log5|x|＝log5x，图象过（1，0），和（5，1），是单调增函数，与f（x）交于4个不同点，∴函数y＝f（x）的图象与函数y＝log5|x|的图象的交点个数是8个，故答案为8．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球．（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示事件A＝“摸到球的号码小于5”，事件B＝“摸到球的号码大于4”，事件C＝“摸到球的号码是偶数”．【考点】样本点与样本空间；随机事件．【答案】（1）Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；（2）A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，7，8，9}，C＝{2，4，6，8}．【分析】（1）根据样本空间的定义求出样本空间Ω即可；（2）根据随机事件的定义分别求出A，B，C即可．【解答】解：（1）从标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9中随机摸出一个球．则样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；（2）事件A＝“摸到球的号码小于5”，则A＝{1，2，3，4}，事件B＝“摸到球的号码大于4”，则B＝{5，6，7，8，9}，事件C＝“摸到球的号码是偶数”，则C＝{2，4，6，8}．16．（15分）（1）（07年江苏卷.11）已知cos(α+β)=15，cos(α−β)=35，求tan（2）已知cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=13，求cos（【考点】同角三角函数间的基本关系；两角和与差的三角函数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用二倍角公式把题设的余弦函数展开，两式分别相加，相减后相除即可求得答案．（2）把题设等式分别平方后相加，整理求得cos（α﹣β）的值．【解答】解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=15cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=35①+②得cosαcosβ=25，②﹣①得sinαsinβ∴tanα•tanβ=sinα⋅sinβ（2）cosα+cosβ=(1)+(2)得2+2cos(α−β)=13∴cos(α−β)=−17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3asinC﹣b﹣c（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c．【考点】正弦定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=12．即可求出（2）若a＝2，由△ABC的面积为3，求得bc＝4．①，再利用余弦定理可得b+c＝4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+3asinC﹣b﹣c即sinAcosC+3sinAsinC＝sinB+sin∴sinAcosC+3sinAsinC＝sin（A+C）+sinC即3sinA﹣cosA＝1∴sin（A﹣30°）=1∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积=1∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cosA＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．18．（17分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，∠A1AB＝∠A1AD．（1）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（2）证明：平面A1BD⊥平面ACC1A1．【考点】平面与平面垂直．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意可证BD∥B1D1，A1D∥B1C，结合线面平行、面面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可证BD⊥平面ACC1A1，结合面面垂直的判定定理分析证明．【解答】证明：（1）由题意可知：BB1∥DD1，BB1＝DD1，可知BB1D1D为平行四边形，则BD∥B1D1，且BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，可得BD∥平面CD1B1，又因为A1B1∥CD，A1B1＝CD，可知A1B1CD为平行四边形，则A1D∥B1C，且A1D⊄平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，可得A1D∥平面CD1B1，且BD∩A1D＝D，BD，A1D⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD1B1．（2）因为ABCD为正方形，则AC⊥BD，因为∠A1AB＝∠A1AD，A1