2023-2024学年山东省青岛五十八中高三(上)期初数学试卷

2023-2024学年山东省青岛五十八中高三（上）期初数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤5}，集合B＝{x|x（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4，5} C．[2，5） D．（2，5]2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝3﹣i，则＝（）A．5 B． C． D．23．（5分）已知一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为＝﹣30.4+13.5x，则在样本点（9，53）处的残差为（）A．38.1 B．﹣38.1 C．22.6 D．91.14．（5分）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高5．（5分）已知函数的最小正周期为T．若，则＝（）A．﹣2 B．2 C． D．6．（5分）已知底面半径为3的圆锥SO，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为（）A． B． C． D．7．（5分）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为a＝cosθ，b＝sinθ+cosθ，c＝cosθ﹣sinθ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局对方tanθsinθ当0＜θ＜时，则我方必胜的排序是（）A．a，b，c B．b，c，a C．c，a，b D．c，b，a8．（5分）已知函数的两个极值点分别为x1，x2，若过点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的直线l在x轴上的截距为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．或﹣2 D．或2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的有（）A．一组数据19242532283645434557的中位数为34 B．（1﹣2x）8展开式中x4项的系数为1120 C．相关系数r＝﹣0.89表明两个变量相关性较弱 D．若ξ∼N（60，4），则P（ξ≥64）＝P（ξ≤56）（多选）10．（5分）已知向量，其中x∈R，下列说法正确的是（）A．若，则x＝6 B．若与夹角为锐角，则x＜6 C．若x＝1，则在方向上投影向量为 D．若（多选）11．（5分）已知点M为直线l：x﹣y+8＝0与y轴交点，P为圆O：x2+y2＝45上的一动点，点A（﹣1，0），B（3，0），则（）A．|PM|取得最小值时， B．MP与圆O相切时， C．当BP⊥MP时， D．sin∠APB的最大值为（多选）12．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则（）A．直线A1G，C1E为异面直线 B．B1D⊥平面EFG C．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为 D．点P是侧面B1BCC1内一点（含边界），D1P∥平面BEF，则|DP|的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N（100，102），从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80＜X≤100为事件A，记该同学的成绩70＜X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝．（结果用分数表示）附参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9914．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2021）＝．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣2n，若am＞560，则正整数m的最小值是．16．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），过双曲线C的右焦点F作直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足＝，|AF|＝a，则双曲线C的离心率为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知数列{an}满足a1＝2，____，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题．①n（2an+1﹣an）＝an，②，③．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项积为Tn，求Tn的最大值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，b＝3．（1）求B的大小；（2）求的最大值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，CD＝4．（1）证明：AD⊥PC；（2）若M为线段PB的靠近B点的四等分点，判断直线AM与平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由．20．（12分）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图频率分布直方图：（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？（3）复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k（k＝1，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？附：若Z∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973；．21．（12分）已知椭圆C：经过点，且与椭圆有共同的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，O为坐标原点．若，求点P的坐标．22．（12分）已知函数，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求a的取值范围；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值h（a）＞3a+3，求a的取值范围．

2023-2024学年山东省青岛五十八中高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x≤5}，集合B＝{x|x（x﹣2）＞0}，则A∩B＝（）A．{2，3，4} B．{3，4，5} C．[2，5） D．（2，5]【考点】交集及其运算．【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求A∩B．【解答】解：由题设A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞2或x＜0}，所以A⋂B＝{3，4，5}．故选：B．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）＝3﹣i，则＝（）A．5 B． C． D．2【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】根据已知条件，先对z化简，再结合共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：∵z（1﹣i）＝3﹣i，∴＝2+i，∴．故选：A．3．（5分）已知一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为＝﹣30.4+13.5x，则在样本点（9，53）处的残差为（）A．38.1 B．﹣38.1 C．22.6 D．91.1【考点】线性回归方程．【答案】B【分析】在已知线性回归方程中，取x＝9代入求得预测值，减去实际值即可得残差．【解答】解：把x＝9代入＝﹣30.4+13.5x，得＝﹣30.4+13.5×9＝91.1，则在样本点（9，53）处的残差为53﹣91.1＝﹣38.1．故选：B．4．（5分）某调查机构抽取了部分关注济南地铁建设的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图．根据图中（35岁以上含35岁）的信息，关于该样本的结论不一定正确的是（）A．男性比女性更关注地铁建设 B．关注地铁建设的女性多数是35岁以上 C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多 D．35岁以上的人对地铁建设关注度更高【考点】频率分布直方图．【答案】C【分析】由等高条形图一一分析即可．【解答】解：由等高条形图可得：对于选项A：由左图知，样本中男性数量多于女性数量，所以男性比女性更关注地铁建设，故A正确；对于选项B：由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，从而得到关注地铁建设的女性多数是35岁以上，故B正确；对于选项C：由左图知男性人数大于女性人数，由右图知35岁以下的男性占男性人数比35岁以上的女性占女性人数的比例少，所以无法判断35岁以下的男性人数与35岁以上的女性人数的多少，故C不一定正确；对于选项D：由右图知样本中35岁以上的人对地铁建设关注度更高，故D正确．故选：C．5．（5分）已知函数的最小正周期为T．若，则＝（）A．﹣2 B．2 C． D．【考点】三角函数的周期性．【答案】D【分析】由三角函数的周期公式求出T＝π，再由可求得φ，再将代入即可得出答案．【解答】解：因为的最小正周期为，所以，则，因为，，所以，所以，．故选：D．6．（5分）已知底面半径为3的圆锥SO，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为（）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【答案】C【分析】作出圆锥的轴截面SAB，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得．【解答】如图作出圆锥的轴截面SAB，依题意OB＝OA＝3，OD＝OC＝1，SB＝6，所以，易知△BDF∽△BOS，则，所以，即圆锥的内接圆柱的底面半径r＝1，高，所以圆柱的侧面积．故选：C．7．（5分）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜．该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为a＝cosθ，b＝sinθ+cosθ，c＝cosθ﹣sinθ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局对方tanθsinθ当0＜θ＜时，则我方必胜的排序是（）A．a，b，c B．b，c，a C．c，a，b D．c，b，a【考点】进行简单的合情推理．【答案】D【分析】由三角函数值得大小的比较得：当0＜θ＜时，cosθ﹣sinθ＜cosθ＜sinθ＜sinθ+cosθ，sinθ，结合“田忌赛马”事例进行简单的合情推理得：我方必胜的排序是c，b，a，得解．【解答】解：因为当0＜θ＜时，cosθ﹣sinθ＜cosθ＜sinθ＜sinθ+cosθ，sinθ，由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c，b，a，故选：D．8．（5分）已知函数的两个极值点分别为x1，x2，若过点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的直线l在x轴上的截距为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．或﹣2 D．或2【考点】利用导数研究函数的极值．【答案】B【分析】由题意f′（x）有两个不同的零点，则Δ＞0求参数a范围，再根据代入f（x1）、f（x1）确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值．【解答】解：由题意f′（x）＝x2+2ax+1有两个不同零点，则Δ＝4a2﹣4＞0，所以a2＞1，即a＞1或a＜﹣1，由，即，而＝，同理有，所以（x1，f（x1））、（x2，f（x2））均在上，令，则，得2a2+3a﹣2＝（2a﹣1）（a+2）＝0，综上，（舍）故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列说法正确的有（）A．一组数据19242532283645434557的中位数为34 B．（1﹣2x）8展开式中x4项的系数为1120 C．相关系数r＝﹣0.89表明两个变量相关性较弱 D．若ξ∼N（60，4），则P（ξ≥64）＝P（ξ≤56）【考点】众数、中位数、平均数；二项式定理；命题的真假判断与应用．【答案】ABD【分析】一组数据从小到大重新排列由中位数定义可判断A；利用（1﹣2x）8展开式的通项可判断B；根据相关系数定义及意义可判断C；根据正态分布的对称性可判断D．【解答】解：对于A，一组数据从小到大重新排列可得19242528323643454557，所以中位数为，故A正确；对于B，设（1﹣2x）8展开式的通项为，令r＝4可得（1﹣2x）8展开式中x4项的系数为，故B正确；对于C，相关系数取值一般在﹣1～1之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值越接近0说明变量间线性关系越弱，相关系数r的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到0.8之间，可以认为有弱的相关性，0.3以下，认为没有相关性，所以相关系数r＝﹣0.89表明两个变量相关性较强，故C错误；对于D，若ξ∼N（60，4），则μ＝60，则P（ξ≥64）＝P（ξ≤56），故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）已知向量，其中x∈R，下列说法正确的是（）A．若，则x＝6 B．若与夹角为锐角，则x＜6 C．若x＝1，则在方向上投影向量为 D．若【考点】平面向量数量积的性质及其运算；投影向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的概念与向量的模．【答案】AC【分析】对于A，结合向量垂直的性质，即可求解；对于B，结合平面向量的数量积公式，以及向量平行的性质，即可求解；对于C，根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解；对于D，结合向量模公式，即可求解．【解答】解：，若，则，解得x＝6，故A正确；若与夹角为锐角，则，解得x＜6，又当，，此时，与夹角为0，故x的取值范围为（﹣∞，）∪，故B错误；若x＝1，则，因为在方向上投影为，与同向的单位向量为，所以在方向上投影向量为，C正确；∵，∴，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知点M为直线l：x﹣y+8＝0与y轴交点，P为圆O：x2+y2＝45上的一动点，点A（﹣1，0），B（3，0），则（）A．|PM|取得最小值时， B．MP与圆O相切时， C．当BP⊥MP时， D．sin∠APB的最大值为【考点】平面向量数量积的性质及其运算；直线与圆的位置关系．【答案】ABD【分析】A：|PM|取得最小值时P位于OM即y轴上，根据三角形面积公式可得．B：直接在直角三角形APM利用勾股定理可得．C：运用向量的坐标表示和对于坐标运算可得．D：根据正弦定理，将求sin∠APB的最大值转化为求外接圆半径最小，此时，外接圆与圆O相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得．【解答】解：因l：x﹣y+8＝0，令x＝0，得y＝8，故M（0，8），O：x2+y2＝45，圆心（0，0），半径，选项A：如图，根据圆的性质当P位于y轴上时，|PM|取得最小值，此时，故A正确；选项B：当MP与圆O相切时，，故B正确；选项C：设P（x1，y1），则，，当BP⊥MP时，，故x1（x1﹣3）+y1（y1﹣8）＝0，又，得3x1+8y1＝45，，，，若，则﹣3x1+8y1﹣3＝0，又3x1+8y1＝45得，x1＝7，y1＝3，此时，这与点P在圆上矛盾，故C错误；选项D：设△PAB外接圆圆心为Q，半径为R，由题意可得Q在AB中垂线上，可设其坐标为（1，x），则，，由正弦定理知，所以，当R最小，即外接圆与圆O相内切时，sin∠APB的最大值，此时圆心距等于两圆半径之差，则，两边同时平方可得，，故D正确．故选：ABD．（多选）12．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱AD，DD1，CD的中点，则（）A．直线A1G，C1E为异面直线 B．B1D⊥平面EFG C．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为 D．点P是侧面B1BCC1内一点（含边界），D1P∥平面BEF，则|DP|的取值范围是【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征；异面直线的判定；直线与平面垂直．【答案】BC【分析】利用正方体的性质，结合每个选项的条件逐项判断或计算可得结论．【解答】解：对于A，连接EG，AC，A1C1，由题意可知EG∥AC，因为AC∥A1C1，所以EC∥A1C1，所以A1G，C1E共面，故A错误；对于B，由正方形A1D1DA，可得A1D⊥AD1，又A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1，又A1B1∩A1D＝A1，所以AD1⊥B1D，同理可证CD1⊥B1D，又AD1∩CD1＝D1，所以B1D⊥平面AD1C，又易证平面EFG∥平面AD1C，所以B1D⊥平面EFG，故B正确；所以过点B，E，F的平面截正方体的截面为等腰梯形EFC1B，又根据题意易得EB＝FC1＝，EF＝，C1B＝2，∴等腰梯形EFC1B的高为＝，∴等腰梯形EFC1B的面积为×（+2）×＝，故C正确．对于D，G，H分别为B1C1，BB1的中点，连接DG，DH，在△DGH中，DG＝＝3，DH＝＝3，HG＝＝，∴点D到GH的距离为＝＝，∴|DP|的取值范围为[，3]，故D错误；故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布N（100，102），从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩80＜X≤100为事件A，记该同学的成绩70＜X≤90为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝．（结果用分数表示）附参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.99【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；条件概率与独立事件．【答案】．【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可．【解答】解：由题知，事件AB为“记该同学的成绩80＜X≤90”，因为μ﹣2σ＝100﹣20＝80，μ﹣σ＝100﹣10＝90，所以，又，所以．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝，则f（2021）＝．【考点】函数的值．【答案】．【分析】由题意，利用函数的周期性，利用分段函数求出函数的值．【解答】解：∵函数f（x）＝，则f（2021）＝f（674×3﹣1）＝f（﹣1）＝e﹣1+ln2＝，故答案为：．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣2n，若am＞560，则正整数m的最小值是6．【考点】数列递推式．【答案】6．【分析】由题意得an+1＝3（an﹣1+1），可得数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出an，即可得出答案．【解答】解：∵2Sn＝3an﹣2n①，∴当n＝1时，2S1＝3a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣2（n﹣1）②，由①﹣②得an＝3an﹣1+2，即an+1＝3（an﹣1+1），∵a1+1＝3，∴数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，则an+1＝3n，即an＝3n﹣1，要使am＞560，即3m﹣1＞560，∵m∈N*，∴m≥6，故正整数m的最小值是6．16．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），过双曲线C的右焦点F作直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第四象限，且满足＝，|AF|＝a，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的性质．【答案】．【分析】设出直线l的方程并与双曲线的渐近线方程联立，求得A，B两点的坐标，根据△OAF与△OBF面积的关系，求得A点的坐标，根据|AF|＝a列方程，化简求得双曲线C的离心率．【解答】解：已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），则双曲线的焦点为F（c，0），渐近线方程为，依题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣c），联立．可得A（，），同理可求得，由于＝，所以yA＝﹣2yB，，解得k＝，此时，由于|AF|＝a，所以①，又b2＝c2﹣a2，所以①可化为81c4﹣72a2c2﹣128a4＝0，两边除以a4得81e4﹣72e2﹣128＝0，即（9e2﹣16）（9e2+8）＝0，又e＞1，即e＝．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知数列{an}满足a1＝2，____，以下三个条件中任选一个填在横线上并完成问题．①n（2an+1﹣an）＝an，②，③．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项积为Tn，求Tn的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）应用等比数列、等差数列的定义和通项公式，再通过构造法求通项公式；（2）由数列单调性的应用求出最大值．【解答】解：（1）若选①：已知数列{an}满足n（2an+1﹣an）＝an，则2nan+1＝（n+1）an，则，是首项为，公比为的等比数列，故，即；若选②：，则{2nan}是首项为2a1＝4，公差为4的等差数列，故2nan＝4+（n﹣1）×4＝4n，即；若选③：因为，所以当n≥2时，，两式作差得2n﹣2an＝n，即，又因为a1＝2满足上式，所以；（2），故{an}不是单调递增的，又a1＝a2＝2，a3＝，a4＝1，a5，a6，...都小于1，故当n＝3或4时，Tn最大，最大值为．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，b＝3．（1）求B的大小；（2）求的最大值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）根据正弦定理可得；（2）设t＝a+c，则，再根据基本不等式求最值即可．【解答】解：（1）∵，，且，∴2c﹣a＝2bcosA，根据正弦定理，∴2sinC﹣sinA＝2sinBcosA，∴2sin（A+B）﹣sinA＝2sinBcosA，∴2sinAcosB﹣sinA＝0，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴，∵B∈（0，π），∴．（2）根据余弦定理a2+c2﹣b2＝2accosB得a2+c2﹣ac＝9，得（a+c）2＝9+3ac，∵，∴，结合a+c＞3，∴3＜a+c≤6（当且仅当a＝c＝3时取等号），设t＝a+c，则t∈（3，6]，∴，设，则f（t）在区间（3，6]上单调递增，∴f（t）的最大值为，∴的最大值为．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，CD＝4．（1）证明：AD⊥PC；（2）若M为线段PB的靠近B点的四等分点，判断直线AM与平面PDC是否相交？如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直．【答案】（1）证明见解答；（2）相交，PH＝6．【分析】（1）依题意可得，∠BAC＝∠DCA＝45°，利用余弦定理求出AD，即可得到AC⊥AD，再由线面垂直得到PA⊥AD，即可得到AD⊥平面PAC，从而得证；（2）过点P作直线l∥AB，连接AM并延长交l于点H，即可证明点H为直线AM与平面PDC的交点，再利用三角形相似求出PH．【解答】解：（1）证明：连接AC，因为AB∥CD，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，CD＝4，所以△ABC为等腰直角三角形，，∠BAC＝∠DCA＝45°，∵在△DAC中，由余弦定理得AD2＝AC2+DC2﹣2AC⋅DCcos∠ACD，即，所以，∴AC2+AD2＝DC2，∴AC⊥AD．又PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD．又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴AD⊥PC．（2）过点P作直线l∥AB，连接AM并延长交l于点H，因为PH∥AB，且AB∥DC，所以PH∥CD，所以P、H、C、D四点共面，所以点P∈平面PDC，所以点H为直线AM与平面PDC的交点，易知△AMB∽△HMP，M为线段PB的靠近B点的四等分点，所以，所以PH＝3AB＝6．20．（12分）某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如图频率分布直方图：（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数的数学期望；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？（3）复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k（k＝1，2，…，n）；③每答对一题加2分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩，已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？附：若Z∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973；．【考点】离散型随机变量的期望与方差；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．【答案】（1）；；（2）有；（3）7或8．【分析】（1）确定X的取值，算出预赛成绩在[60，80）和[80，100）范围内的样本量，根据超几何分布的概率计算求得至少有1人预赛成绩优良的概率，继而可求得X的分布列，求得期望；（2）求出变量Z的均值，确定Z～N（53，362），即可求得P（Z≥91），算出不低于9（1分）的人数，可得结论；（3）设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，可得ξ～B（n，0.8），结合二项分布的均值计算公式可得E（Y）表达式，结合二次函数知识，可得答案．【解答】解：（1）预赛成绩在[60，80）范围内的样本量为：0.0125×20×100＝25，预赛成绩在[80，100）范围内的样本量为：0.0075×20×100＝15，设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0，1，2，则，又，则X的分布列为：X012P故．（2），σ2＝362，则σ＝19，又Z～N（53，362），故，故全市参加预赛学生中，成绩不低于9（1分）的有120000×0.02275＝273人，因为273＜300，故小明有资格参加复赛．（3）设学生甲答对的题目数为ξ，复赛成绩为Y，则ξ～B（n，0.8），故E（ξ）＝0.8n，Y＝100﹣0.2（1+2+3+⋯+n）+2ξ，故E（Y）＝100﹣0.2（1+2+3+⋯+n）+2E（ξ）＝，因为n∈N*，所以答题数量为7或8时，学生甲可获得最佳的复赛成绩．21．（12分）已知椭圆C：经过点，且与椭圆有共同的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于