2023-2024学年山西大学附中高三(上)第三次月考数学试卷(9月份)

2023-2024学年山西大学附中高三（上）第三次月考数学试卷（9月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．（5分）已知复数z满足：i•z＝a+i，其中i是虚数单位，则“﹣1＜a＜0”是“在复平面内，复数z对应的点位于第一象限”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件2．（5分）已知A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为（）A．0或1或2 B．1或2 C．0 D．0或13．（5分）10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A． B． C． D．4．（5分）设函数，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣35．（5分）在等比数列{an}中，若，，则＝（）A．1 B． C．﹣3 D．6．（5分）若tanθ＝2，则＝（）A． B． C． D．7．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若OQ∥PF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．8．（5分）已知e为自然对数的底数，f′（x）为函数f（x）的导数．函数f（x）满足e2（x+1）f（x+2）＝f（﹣x）（x∈R），且对任意的x≥1都有f′（x）+f（x）＞0，则下列一定判断正确的是（）A．e2f（2）＞f（0） B．ef（3）＞f（2） C．e4f（3）＞f（﹣1） D．e5f（3）＞f（﹣2）二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.（多选）9．（5分）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中正确的是（）A．C与D互斥 B． C．A与C相互独立 D．B与D不相互独立（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝，∃t∈R，使方程f（x）＝t有4个不同的解：分别记为x1，x2，x3，x4，其中x1＜x2＜x3＜x4，则下列说法正确的是（）A．0＜t＜2 B．x3+x4＝6 C．32＜＜35 D．x1+x2+x3+x4的最小值为14（多选）11．（5分）已知C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则（）A．p＝2 B．F为线段AD的中点 C．2|BD|＝|BF| D．|BF|＝2（多选）12．（5分）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A．直线AE与PB所成的角为 B．△ABE的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t+（1﹣t）．若•＝0，则t＝．14．（5分）已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为．15．（5分）设m∈R，直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，点Q是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为．16．（5分）意大利著名画家、数学家，物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计，经过计算，悬链线的函数方程为cosh（x）＝，并称其为双曲余弦函数．若cosh（sinθ+cosθ）≥cosh（m﹣sin2θ）对∀θv∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若4a2，2a3，a4成等差数列，且S4＝8a2﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，且数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2sin（B+）＝．（1）求角A的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，c＝4，求△ABC面积的取值范围．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1＝2，E，F分别为CC1，BC的中点．（1）若AB⊥BC，证明：平面ABE⊥平面AB1F；（2）若，求二面角E﹣AF﹣B1的正弦值．20．（12分）近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考查学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50，100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．（1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；（2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩合计优秀不优秀男生45女生合计参考公式与数据：α0.10.050.01xα2.7063.8416.63521．（12分）已知椭圆T：＝1（a＞b＞0）的离心率为，并且经过点P（1，），A为椭圆T的右顶点，直线l的方程为x＝﹣2a，M，N为直线l上任意两点，yM，yN分别为点M，N的纵坐标，且满足yM•yN＝﹣9，连接AM，AN分别交椭圆T于C，D两点．（1）求椭圆T的方程；（2）求证：直线CD过定点．22．（12分）已知函数和函数有相同的最大值．（1）求a的值；（2）设集合A＝{x|f（x）＝b}，B＝{x|g（x）＝b}（b为常数）．①证明：存在实数b，使得集合A∪B中有且仅有3个元素；②设A∪B＝{x1，x2，x3}，x1＜x2＜x3，求证：x1+x3＞2x2．

2023-2024学年山西大学附中高三（上）第三次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．（5分）已知复数z满足：i•z＝a+i，其中i是虚数单位，则“﹣1＜a＜0”是“在复平面内，复数z对应的点位于第一象限”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【考点】复数的代数表示法及其几何意义；充分条件与必要条件．【答案】B【分析】根据复数的几何意义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：复数z满足：i•z＝a+i，则z＝1﹣ai，若在复平面内复数z所对应的点位于第一象限，则a＜0，则“﹣1＜a＜0”是“在复平面内，复数z对应的点位于第一象限”的充分不必要条件，故选：B．2．（5分）已知A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|ax﹣2＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值为（）A．0或1或2 B．1或2 C．0 D．0或1【考点】集合的包含关系判断及应用．【答案】A【分析】求出A集合，根据A∩B＝B，说明B⊆A，对B进行：B≠∅，B＝∅讨论，即可得到答案．【解答】解：A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，∵A∩B＝B，∴B⊆A当B＝∅时，ax﹣2＝0无解，∴a＝0．B≠∅时，x＝，∴或，解得：a＝2或a＝1，所以：实数a的值为：a＝0或a＝1或a＝2．故选：A．3．（5分）10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A． B． C． D．【考点】排列、组合及简单计数问题．【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：①，从后排6人中抽2人调整到前排，②，将选出的2人安排到前排，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，从后排6人中抽2人调整到前排，有C62种选法，②，将选出的2人安排到前排，有A62种选法，则有C62A62种不同调整方法，故选：C．4．（5分）设函数，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【考点】函数奇偶性的性质与判断．【答案】D【分析】先计算出f（﹣3）的值，由奇函数的性质得到f（3）＝﹣f（﹣3），再由f（3）＝g（3）+1可计算出g（3）的值．【解答】解：∵函数为奇函数，∴f（﹣3）＝log2[1﹣（﹣3）]＝log24＝2，∴f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣2，∵f（3）＝g（3）+1＝﹣2，∴g（3）＝﹣3．故选：D．5．（5分）在等比数列{an}中，若，，则＝（）A．1 B． C．﹣3 D．【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【答案】C【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a3a4＝﹣，由及a2a5＝a3a4＝﹣，变形可得答案．【解答】解：根据题意，在等比数列{an}中，若，则a3a4＝﹣，若，则+++＝＝﹣3，即＝﹣3，故选：C．6．（5分）若tanθ＝2，则＝（）A． B． C． D．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的三角函数．【答案】C【分析】根据正弦的二倍角公式、两角差的余弦公式与同角三角函数的关系求解即可．【解答】解：＝．故选：C．7．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若OQ∥PF2（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的性质．【答案】B【分析】由OQ∥PF2，O是F1F2的中点，所以Q为F1P的中点，又PF1⊥OP，F1到渐近线的距离为b，且|F1O|＝c，得出∠PF1O的余弦值，在△QF1F2中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可．【解答】解：因为OQ∥PF2，O是F1F2的中点，所以Q为F1P的中点，因为PF1⊥OP，所以点F1（﹣c，0）到渐近线的距离，又|F1O|＝c，所以，连接QF2，易知，则由双曲线的定义可知，在△QF1F2中，由余弦定理，得，整理，得a＝b，所以双曲线的离心率为，故选：B．8．（5分）已知e为自然对数的底数，f′（x）为函数f（x）的导数．函数f（x）满足e2（x+1）f（x+2）＝f（﹣x）（x∈R），且对任意的x≥1都有f′（x）+f（x）＞0，则下列一定判断正确的是（）A．e2f（2）＞f（0） B．ef（3）＞f（2） C．e4f（3）＞f（﹣1） D．e5f（3）＞f（﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【答案】B【分析】构造函数F（x）＝exf（x），对F（x）求导，根据已知条件可得F（x）在[1，+∞）上单调递增．由F（x+2）＝ex+2•f（x+2），F（﹣x）＝e﹣x•f（﹣x），e2（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），可得F（x+2）＝F（﹣x），则F（x）关于x＝1对称，再由F（x）在x≥1时的单调性，化简即可得出结果．【解答】解：设F（x）＝exf（x），则F'（x）＝exf（x）+exf'（x）＝ex[f（x）+f'（x）]，∵对任意的x≥1都有f′（x）+f（x）＞0，∴F'（x）＞0，则F（x）在[1，+∞）上单调递增，F（x+2）＝ex+2•f（x+2），F（﹣x）＝e﹣x•f（﹣x），∵e2（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），∴ex+2•ex•f（x+2）＝f（﹣x），∴ex+2f（x+2）＝e﹣xf（﹣x），∴F（x+2）＝F（﹣x），∴F（x）关于x＝1对称，则F（﹣2）＝F（4），∵F（x）在[1，+∞）上单调递增，∴F（3）＜F（4），即F（3）＜F（﹣2），∴e3f（3）＜e﹣2f（﹣2）；即e5f（3）＜f（﹣2）成立．故D错误；∵F（3）＝F（﹣1），F（2）＝F（0），∴e3f（3）＝e﹣1f（﹣1），e2f（2）＝e0f（0），即e4f（3）＝f（﹣1），e2f（2）＝f（0），故A，C均错误；∵F（3）＞F（2），∴ef（3）＞f（2）．故B正确．故选：B．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.（多选）9．（5分）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中正确的是（）A．C与D互斥 B． C．A与C相互独立 D．B与D不相互独立【考点】条件概率与独立事件；随机事件；互斥事件与对立事件．【答案】ABC【分析】由已知，根据题意，分别写出事件A、B、C、D包含的基本事件，并计算出概率，然后根据选项一一验证即可做出判断．【解答】解：因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件，事件A表示结果向上的点数为1、2，所以；事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为3、6，所以；事件C表示结果向上的点数为（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6），共18种情况，而抛掷两次骰子共出现6×6＝36种情况，所以；事件D表示结果向上的点数为（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现6×6＝36种情况，所以；对于A：由上述事件C与事件D表示的结果可知，C∩D＝∅，所以事件C与事件D互斥且对立，故A正确；对于B：因为，P（AD）表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，其中AD有（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（1，2），（1，4）共6种情况，所以，所以，故B正确；对于C：因为，，P（AC）表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，其中AC有（2，2），（2，4），（2，6），（1，1），（1，3），（1，5）共6种情况，所以，所以A与C相互独立，故C正确；对于D：因为，，而P（BD）表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，其中BD有（2，3），（4，3），（6，3），（1，6），（3，6），（5，6）共6种情况，所以，所以B与D相互独立，故D错误；故选：ABC．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝，∃t∈R，使方程f（x）＝t有4个不同的解：分别记为x1，x2，x3，x4，其中x1＜x2＜x3＜x4，则下列说法正确的是（）A．0＜t＜2 B．x3+x4＝6 C．32＜＜35 D．x1+x2+x3+x4的最小值为14【考点】函数的零点与方程根的关系．【答案】AC【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解判断即可．【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图所示：如图，0＜t＜2时，方程存在4个不同根，故A正确，当t＝2时，，∴，∴|log2x|＝t时，|log2x1|＝|log2x2|得﹣log2x1＝log2x2，即，由正弦函数对称性知x3+x4＝12，故B错误，∴，∵在（4，5）上单调递增，∴32＜＜35，故C正确，∴，∵在上单调递减，∴，无最小值，故D错误．故选：AC．（多选）11．（5分）已知C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为且经过点F的直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则（）A．p＝2 B．F为线段AD的中点 C．2|BD|＝|BF| D．|BF|＝2【考点】抛物线的性质．【答案】AB【分析】由题意可得直线l的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出p的值，过点B作BN垂直准线于点N，得到F为线段AD的中点即得解．【解答】解：易知，由题意可得直线l的方程为．由，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，解得，．由，得p＝2，∴．过点B作BN垂直准线于点N，易知∠DBN＝60°，∴，∴|BD|＝2|BF|．∵，∴F为线段AD的中点．故选：AB．（多选）12．（5分）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A．直线AE与PB所成的角为 B．△ABE的周长最小值为 C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为【考点】球的体积和表面积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算；命题的真假判断与应用；棱锥的结构特征．【答案】ACD【分析】A选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B选项，把△ACD沿CD展开与平面BDC同一平面内，由余弦定理求出AE+BE的最小值，得到周长的最小值；C选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值．【解答】解：A选项，连接AD，由于D为PB的中点，所以PB⊥CD，PB⊥AD，又CD∩AD＝D，AD，CD⊂平面ACD，所以直线PB⊥平面ACD，又AE⊂平面ACD，所以PB⊥AE，故A正确；B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC同一个平面内，连接AB交CD于点E，则AE+BE的最小值即为AB的长，由于，AC＝4，cos∠ADC＝＝，，所以AB2＝BD2+AD2﹣2BD•ADcos∠ADB＝22+（2）2﹣2×2×2（﹣）＝16+，故，△ABE的周长最小值为，B错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，取AC的中点M，连接BM，PM，过点P作PF垂直于BM于点F，则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，因为AM＝2，AB＝4，所以，同理，则，故，设OF＝ON＝R，故，因为△PNO∽△PFM，所以，即，解得，C正确；D选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体Q﹣VKG，由C选项可知，其高为，由C选项可知，PF是正四面体P﹣ABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，则，SF＝r，由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的，如图正四面体P﹣HJI中，QZ＝r，QP＝3r，正四面体Q﹣VKG高为，解得，D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t+（1﹣t）．若•＝0，则t＝2．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】见试题解答内容【分析】由于•＝0，对式子＝t+（1﹣t）两边与作数量积可得＝0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴＝0，∴tcos60°+1﹣t＝0，∴1＝0，解得t＝2．故答案为2．14．（5分）已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱台的结构特征．【答案】见试题解答内容【分析】由题意画出图形，结合已知求得棱台上底面边长与侧棱长，求出斜高，即可求得棱台的表面积．【解答】解：如图，设截面四边形为A1B1C1D1，则两四边形相似，由截面面积与底面积的比值为1：4，由相似比等于面积比的平方，可得，∵PA1＝2，∴PA＝PB＝4，又已知BC＝2，∴B1C1＝1，取D为BC的中点，连接PD交B1C1＝D1，则DD1为正四棱台的斜高，可得．∴此棱台的表面积为＝．故答案为：5+3．15．（5分）设m∈R，直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，点Q是圆C：（x+1）2+（y+1）2＝2上的一个动点，则|PQ|的最小值为．【考点】直线与圆的位置关系．【答案】【分析】由两条直线的方程可得，两直线相互垂直，求出直线恒过的定点的坐标，可知P在以两个定点为直径的圆上，求出过点P的圆的方程，求出圆心距，进而可得|PQ|的范围，求出|PQ|的最小值．【解答】解：直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0整理可得m（x﹣3）﹣（y﹣1）＝0，所以直线恒过（3，1）点，直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0整理x﹣1+m（y﹣3）＝0，所以直线恒过（1，3）点，而两条直线又互相垂直，所以两条直线的交点P在以（1，3），（3，1）为直径的圆上，即P的轨迹为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，设圆心为M，圆C：（x+1）2+（y+1）2＝2，因为圆心距|MC|＝＝3＞+，所以两圆相离，|PQ|∈[|MC|﹣2，|MC|+2]所以|PQ|的最小值为，故答案为：．16．（5分）意大利著名画家、数学家，物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计，经过计算，悬链线的函数方程为cosh（x）＝，并称其为双曲余弦函数．若cosh（sinθ+cosθ）≥cosh（m﹣sin2θ）对∀θv∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围为[1﹣，1]．【考点】函数与方程的综合运用．【答案】[1﹣，1]．【分析】首先利用奇偶性、单调性定义可得cosh（x）为偶函数、在（0，+∞）上递增，（﹣∞，0）上递减，可将题设不等关系化为sin2θ﹣sin（θ+）≤m≤sin2θ+sin（θ+）在上恒成立，即可求参数范围．【解答】解：cosh（﹣x）＝＝cosh（x），故cosh（x）为偶函数，令x1＞x2＞0，则cosh（x1）﹣cosh（x2）＝＝（）（1﹣），又＞0，1﹣＞0，故cosh（x1）＞cosh（x2），∴cosh（x）在（0，+∞）上递增，故在（﹣∞，0）上递减，∴cosh（sinθ+cosθ）≥cosh（m﹣sin2θ）在∀θ∈[0，]恒成立，则|sinθ+cosθ|＝|sin（θ+）|≥|m﹣sin2θ|且θ+∈[]，故sin2θ﹣sin（θ+）≤m≤sin2θ+sin（θ+）在上恒成立，令t＝sin（θ+），而﹣sin2θ＝cos（2）＝1﹣2sin2（θ+），∴y＝sin2θ﹣sin（θ+）＝2t2﹣t﹣1＝2（t﹣）2﹣，故t＝1时ymax＝1﹣，y＝sin2θ+sin（θ+）＝2t2+t﹣1＝2（t+）2﹣，故t＝时ymin＝1，∴m的取值范围为[1﹣，1]．故答案为：[1﹣，1]．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若4a2，2a3，a4成等差数列，且S4＝8a2﹣2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，且数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．【考点】数列的求和．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项，即可得出答案；（2）求出bn，然后运用裂项相消法求出Tn，即可证明结论；【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，∵4a2，2a3，a4成等差数列，∴4a2+a4＝4a3，即4+q2＝4q，解得q＝2，又S4＝8a2﹣2，则，解得a1＝2，∴，即数列{an}的通项公式为；（2）证明：由（1）得，故，当n＝1时，取得最大值，当n→+∞时，，∴，故．18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2sin（B+）＝．（1）求角A的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，c＝4，求△ABC面积的取值范围．【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）；（2）（2，8）．【分析】（1）利用正弦定理、和差角公式、辅助角公式即可进行求解；（2）结合三角形面积公式可表示出三角形面积与b的关系，然后由正弦定理，和差角公式及同角基本关系进行化简后，结合正切函数的性质即可求解．【解答】解：（1）因为2sin（B+）＝，由正弦定理得：2sinAsin（B+）＝sinB+sinC，所以sinA（sinB+cosB）＝sinB+sinC，因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinA（sinB+cosB）＝sinB+sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB+sinAcosB＝sinB+sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB＝sinB+cosAsinB，整理得sinB（sinA﹣cosA﹣1）＝0，因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以sinA﹣cosA﹣1＝0，即sinA﹣cosA＝2sin（A﹣）＝1，所以sin（A﹣）＝，因为A∈（0，π），所以A﹣＝，可得A＝；（2）因为A＝，c＝4，所以△ABC的面积S△ABC＝bcsinA＝b，由正弦定理得b＝＝＝＝+2．由于△ABC为锐角三角形，故0＜B＜，0＜C＜，因为B+C＝，所以＜C＜，可得tanC∈（，+∞），可得b＝+2∈（2，8），从而2＜S△ABC＜8．因此，△ABC面积的取值范围是（2，8）．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝BB1＝2，E，F分别为CC1，BC的中点．（1）若AB⊥BC，证明：平面ABE⊥平面AB1F；（2）若，求二面角E﹣AF﹣B1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先证明B1F⊥AB，B1F⊥EB，得到B1F⊥面EBA，进而证明平面ABE⊥平面AB1F；（2）建立空间直角坐标系运用解析法计算即可．【解答】解：（1）证明：因为AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面CC1B1B．又B1F⊂平面CC1B1B，所以AB⊥B1F．因为，且这两个角都是锐角，所以∠BB1F＝∠EBC，所以∠EBC+∠B1FB＝∠BB1F+∠B1FB＝90°，所以BE⊥B1F．又AB∩BE＝B，所以B1F⊥平面ABE．因为B1F⊂平面AB1F，所以平面ABE⊥平面AB1F．（2）取AC的中点O，连接OB，因为，所以AC＝2．因为AB＝BC，所以OB⊥AC．以O为坐标原点，分别以向量的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，设平面AEF的一个法向量为，由，令x1＝1，得．设平面AFB1的一个法向量为，由，令x2＝1，得．设二面角E﹣AF﹣B1的平面角为θ，则＝＝，所以，所以二面角E﹣AF﹣B1的正弦值为．20．（12分）近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考查学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50，100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．（1）若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m的值；（2）规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩合计优秀不优秀男生45女生合计参考公式与数据：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635【考点】独立性检验；频率分布直方图．【答案】（1）m＝0.0175；（2）列联表见解析，男生和女生的测试成绩优秀率没有差异．【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，估计平均数及中位数即可列式作答；（2）完善列联表，求出χ2的观测值，并与临界值表比对作答．【解答】解：（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：，样本平均数的估计值为：10×[（0.025﹣m）×55+m×65+0.04×75+0.025×85+0.01×95]＝74.5+100m，显然数据落在区间[80，100]的频率为0.25+0.1＝0.35，落在[70，100]的频率为0.4+0.35＝0.75，因此样本中位数在区间（70，80）内，其估计值为；，则74.5+100m＝76.25，解得m＝0.0175，所以m＝0.0175．（2）总的成绩优秀人数为：200×10×（0.025+0.01）＝70，得到列联表为：性别测试成绩合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计70130200于是χ2的观测值为，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异．21．（12分）已知椭圆T：＝1（a＞b＞0）的离心率为，并且经过点P（1，），A为椭圆T的右顶点，直线l的方程为x＝﹣2a，M，N为直线l上任意两点，yM