2023-2024学年山西省大同市浑源七中高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年山西省大同市浑源七中高一（下）期末数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车有（）A．6台 B．10台 C．20台 D．30台2．（5分）一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是（）A．18 B．20 C．21 D．223．（5分）某网站为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）若数据x1，x2，…，xn的平均数为a，数据y1＝2+x1，y2＝2+x2，…，yn＝2+xn，则数据y1，y2，…，yn的平均数为（）A．a B．2+a C．2 D．2a5．（5分）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．以上均不正确6．（5分）已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P（A）＝0.2，P（C）＝0.7，则P（A∪B）＝（）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.97．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（）A．34 B．35 C．238．（5分）投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角的概率为（）A．12 B．13 C．512二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）（多选）9．（5分）下列抽样方法是简单随机抽样的有（）A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码（多选）10．（5分）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（）A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150为优秀） D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数（多选）11．（5分）从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（）A．事件A和D是对立事件 B．事件B和C是对立事件 C．事件A和B是互斥事件 D．事件C和D是互斥事件（多选）12．（5分）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选两名同学去参加数学竞赛，则（）A．恰有一名参赛学生是男生的概率为35B．至少有一名参赛学生是男生的概率为35C．至多有一名参赛学生是男生的概率为45D．两名参赛学生都是男生的概率为4三、填空题（4小题，共20分）13．（5分）有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则（1）卡片上数字全是奇数的概率为，（2）卡片上数字之积为偶数的概率为．14．（5分）口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为．15．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为．16．（5分）下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为．四、解答题（共6小题，17-18题，每题10分；19-21题，每题12分；22题14分，共70分）17．（10分）一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13．求射中环数小于8环的概率．18．（10分）某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？19．（12分）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05．求：（1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数．（2）高一参赛学生的平均成绩．20．（12分）书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只手套．从中不放回随机取出2只．（1）写出试验的样本空间；（2）分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率．21．（12分）数据x1，x2，…，xn的方差为sx2，数据y1，y2，…，yn的方差为sy2，（1）如果y1＝x1+b，y2＝x2+b，…，yn＝xn+b，那么sy（2）如果y1＝ax1，y2＝ax2，…，yn＝axn，那么sy2=a22．（14分）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：mm），数据分为[92，94），[94，96），[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]七组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的x值；（2）根据频率分布直方图，求200件样品中尺寸在[98，100）内的样本数；（3）记产品尺寸在[98，102）内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94）内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该机器一个月共生产3000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．

2023-2024学年山西省大同市浑源七中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车有（）A．6台 B．10台 C．20台 D．30台【考点】分层随机抽样．【答案】D【分析】由题意利用分层抽样的定义，求得抽到乙种型号的吊车数量．【解答】解：∵乙型吊车数量占的比例为600120+600+200∴抽到乙种型号的吊车有46×15故选：D．2．（5分）一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则75%分位数是（）A．18 B．20 C．21 D．22【考点】百分位数；用样本估计总体的集中趋势参数．【答案】B【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．【解答】解：该组数据共8个，8×0.75＝6，则75%分位数是第6个数、第7个数的平均数，即18+222故选：B．3．（5分）某网站为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【考点】折线统计图．【答案】D【分析】月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳．【解答】解：由2019年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．故选：D．4．（5分）若数据x1，x2，…，xn的平均数为a，数据y1＝2+x1，y2＝2+x2，…，yn＝2+xn，则数据y1，y2，…，yn的平均数为（）A．a B．2+a C．2 D．2a【考点】平均数．【答案】B【分析】利用平均数的定义求解．【解答】解：因为数据x1，x2，…，xn的平均数为a，所以a=1ni=1所以数据y1，y2，…，yn的平均数y=1ni=1nyi=1ni=1n（2+xi）=1故选：B．5．（5分）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3．那么A＝A1∪A2∪A3表示（）A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．以上均不正确【考点】互斥事件与对立事件．【答案】B【分析】A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，由此能求出结果．【解答】解：A＝A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发．故选：B．6．（5分）已知A，B，C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P（A）＝0.2，P（C）＝0.7，则P（A∪B）＝（）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9【考点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式．【答案】B【分析】根据对立事件得到P（B）＝0.3，根据互斥事件得到P（A∪B）＝P（A）+P（B），计算得到答案．【解答】解：因为事件B与事件C互为对立，所以P（B）＝1﹣P（C）＝0.3，因为事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.5．故选：B．7．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（）A．34 B．35 C．23【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】A【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得．【解答】解：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种有4×4＝16种不同的结果，分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝），（黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝），（白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有4种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为416=1故选：A．8．（5分）投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角的概率为（）A．12 B．13 C．512【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】C【分析】由向量夹角公式和向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角得到a＜b，利用列举法和古典概型即可得到所求概率．【解答】解：设向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为θ，则cosθ=(a，b)⋅(1，−1)又因为向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角，则cosθ＜0，∴a﹣b＜0，∴a＜b，可知，投掷两枚骰子，分别得到点数a，b共有36种等可能情况，当a＜b时，即有：a＝1时，b＝2，3，4，5，6，有5种情况；a＝2时，b＝3，4，5，6，有4种情况；a＝3时，b＝4，5，6，有3种情况；a＝4时，b＝5，6，有2种情况；a＝5时，b＝6，有1种情况；所以a＜b，共有1+2+3+4+5＝15种等可能情况，则向量（a，b）与向量（1，﹣1）的夹角为锐角的概率P=15故选：C．二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）（多选）9．（5分）下列抽样方法是简单随机抽样的有（）A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动 B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验 C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动 D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码【考点】简单随机抽样及其适用条件．【答案】AD【分析】根据简单随机抽样的定义判断．【解答】解：B不是“逐个抽取”，所以不是简单随机抽样，C不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，而不是随机抽取的，所以不是简单随机抽样，根据简单随机抽样的定义可知，A，D是简单随机抽样．故选：AD．（多选）10．（5分）甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均数甲55149191135乙55151110135某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（）A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150为优秀） D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数【考点】平均数；众数；方差．【答案】ABC【分析】根据已知条件，结合平均数、方差、中位数、众数的定义，即可依次判断．【解答】解：甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确；s＝191＞110＝s，甲班的成绩波动较大，所以B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误．故选：ABC．（多选）11．（5分）从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（）A．事件A和D是对立事件 B．事件B和C是对立事件 C．事件A和B是互斥事件 D．事件C和D是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件．【答案】AD【分析】先用列举法得到样本空间总事件及事件A，B，C，D包含的事件，从而利用对立事件和互斥事件所满足的关系进行判断，得到答案．【解答】解：将3名女生设为a，b，c，两名男生设为A，B，任选两人组成学习小组，以下是样本空间Ω包含的基本事件：（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），其中事件A包含（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），事件B包含（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），事件C包含（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），事件D包含（A，B），A选项，因为A∩D＝∅，且A∪D＝Ω，所以事件A和D是对立事件，A正确；B选项，因为B∩C＝{（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）}，所以事件B和C不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；C选项，因为A∩B＝{（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B）}，所以事件A和B不是互斥事件，C错误；D选项，因为C∩D＝∅，所以事件C和D是互斥事件，D正确．故选：AD．（多选）12．（5分）高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选两名同学去参加数学竞赛，则（）A．恰有一名参赛学生是男生的概率为35B．至少有一名参赛学生是男生的概率为35C．至多有一名参赛学生是男生的概率为45D．两名参赛学生都是男生的概率为4【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】AC【分析】从数学兴趣小组的6名学生中，任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种可能结果．对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3＝9种选法，由此能求出概率；对于BC，先求其对立事件的概率，再求该事件的概率；对于D，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】解：从数学兴趣小组的6名学生中，任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种可能结果．对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3＝9种选法，∴恰有一名参赛学生是男生的概率为P=915=对于B，“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件是“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有C3∴至少有一名参赛学生是男生的概率为P＝1−315=对于D，两名参赛学生都是男生，从3名男生中任选2人，有C3∴两名参赛学生都是男生的概率为P=315=对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件是“两名参赛学生都是男生”，∴两名参赛学生都是男生的概率为P＝1−15=故选：AC．三、填空题（4小题，共20分）13．（5分）有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则（1）卡片上数字全是奇数的概率为，（2）卡片上数字之积为偶数的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】（1）310；（2）7【分析】根据题意将基本事件一一罗列，再结合古典概型相关知识进行分别求解．【解答】解：从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种取法．（1）卡片上数字全是奇数的有（1，3），（1，5），（3，5），共3种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字全是奇数的概率为310（2）卡片上数字之积为偶数的有（1，2），（1，4），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（4，5），共7种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字之积为偶数的概率为710故答案为：310；714．（5分）口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，则摸出红球或蓝球的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【答案】见试题解答内容【分析】利用互斥事件概率计算公式和对立事件概率计算公式能求出摸出红球或蓝球的概率．【解答】解：口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.4，摸出黄球的概率为0.2，∴摸出红球或蓝球的概率为P＝1﹣0.2＝0.8．故答案为：0.8．15．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为．【考点】扇形统计图．【答案】200；20．【分析】根据扇形图和条形图计算样本容量及高中生近视人数即可．【解答】解：该地区中小学生总人数为3500+2000+4500＝10000，则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20．故答案为：200；20．16．（5分）下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】见试题解答内容【分析】利用频率分布直方图中的频率＝纵坐标×组据，求出这次考试的合格率．【解答】解：这次考试的合格率为（0.024+0.012）×20＝0.72＝72%故答案为：72%四、解答题（共6小题，17-18题，每题10分；19-21题，每题12分；22题14分，共70分）17．（10分）一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13．求射中环数小于8环的概率．【考点】互斥事件与对立事件．【答案】0.29．【分析】根据互斥事件的知识求得正确答案．【解答】解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P（射中环数小于8环）＝P（D∪E）＝P（D）+P（E）＝0.16+0.13＝0.29．18．（10分）某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．【答案】各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91【分析】按分层抽样计算初中部、高中部应抽取的人数，再估算学校的平均视力即可．【解答】解：初中部抽取人数为60×850高中部抽取人数为60×650学校平均视力为3460所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91．19．（12分）某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05．求：（1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数．（2）高一参赛学生的平均成绩．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数，利用中位数的两边频率相等，求出中位数；（2）利用各小组底边的中点值乘以对应频率，再求和，得出数据的平均值．【解答】解：（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设第二个小矩形底边的一部分长为x，则x×0.04＝0.2，得x＝5，∴中位数为60+5＝65；（2）依题意，平均成绩为：55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05＝67，∴平均成绩约为67．20．（12分）书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只手套．从中不放回随机取出2只．（1）写出试验的样本空间；（2）分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】（1）{a1a2，a1b1，a1b2，a1c1，a1c2，a2b1，a2b2，a2c1，a2c2，b1b2，b1c1，b1c2，c1c2}，（2）取出的两只恰好是一双的概率为P（A）=3取出的两只都是同一只手的概率为P（B）=6【分析】（1）写出所有可能的情况即可；（2）分别求出“取出的两只恰好是一双”和“取出的两只都是同一只手”包含的基本事件数，根据古典概型求解．【解答】解：（1）由题意知试验的样本空间为：Ω＝{a1a2，a1b1，a1b2，a1c1，a1c2，a2b1，a2b2，a2c1，a2c2，b1b2，b1c1，b1c2，c1c2}，（2）设取出的两只恰好是一双”和“取出的两只都是同一只手”分别为事件A和B，事件A包含的基本事