2023-2024学年山西省大同一中、忻州一中高一(下)期末数学试卷

2023-2024学年山西省大同一中、忻州一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A＝{x|1＜x+1＜4}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣1，2） D．（﹣1，0）2．（5分）已知向量，，若，则（）A．x＝﹣2 B． C．x＝3 D．3．（5分）某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84．（5分）若tanα＝2，则的值为（）A． B． C． D．5．（5分）已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24πcm2，则该圆柱的体积为（）A．12πcm3 B．14πcm3 C．16πcm3 D．18πcm36．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数在区间[﹣π，π]上的图象大致为（）A． B． C． D．7．（5分）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（）A． B． C． D．78．（5分）已知（其中ω＞0），若方程|f（x）|＝1在区间（0，π）上恰有4个实根，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走akm到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么a的值可以是（）A．1 B． C． D．2（多选）10．（6分）下列结论中正确的是（）A．已知向量，，，则 B．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面α，则l⊥m C．一组数据13，8，10，6，9，15，5，3的60%分位数为9 D．已知随机事件A和B互斥，若，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝0.8（多选）11．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，O为BD1的中点，E为棱AA1上任意一点，直线OE与棱CC1交于点F．则下列结论正确的是（）A．四边形BFD1E是平行四边形 B．当E为AA1的中点时，四边形BFD1E是菱形 C．四边形BFD1E的周长的最小值为9 D．四棱锥B1﹣BED1F的体积为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知，则的虚部为．13．（5分）若正实数a，b满足4a+b＝ab，则4a+b的最小值是．14．（5分）已知函数，，若对于任意x1∈[1，4]，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知复数z＝1+i是一元二次方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的根．（1）求a，b的值；（2）若复数（a+bi）（m﹣i）（其中m∈R）为纯虚数，求复数ω＝（5m﹣1）+3mi的模．16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积．17．（15分）当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．18．（17分）如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记．（1）求λ的值；（2）若AB＝1，BC＝2，求的值．19．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的等边三角形，底面ABCD为菱形，，．（1）求锐二面角P﹣AB﹣D的大小；（2）求AP与平面PBC所成的角的正弦值．

2023-2024学年山西省大同一中、忻州一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A＝{x|1＜x+1＜4}，B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（）A．（0，2） B．（﹣2，0） C．（﹣1，2） D．（﹣1，0）【考点】求集合的交集．【答案】A【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解即得．【解答】解：依题意，A＝（0，3），B＝（﹣2，2），所以A∩B＝（0，2）．故选：A．2．（5分）已知向量，，若，则（）A．x＝﹣2 B． C．x＝3 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】C【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案．【解答】解：因为向量，，若，则x（x+3）+9（1﹣x）＝0，解得x＝3．故选：C．3．（5分）某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算．【答案】D【分析】先根据相互独立事件的概率公式求出一天内这两台设备没有一台正常运行的概率，再根据对立事件的概率公式可求得结果．【解答】解：因为两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，所以这两台设备都没有正常运行的概率为（1﹣0.5）×（1﹣0.6）＝0.2，所以一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为1﹣0.2＝0.8．故选：D．4．（5分）若tanα＝2，则的值为（）A． B． C． D．【考点】求二倍角的三角函数值；同角正弦、余弦的商为正切．【答案】B【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得．【解答】解：由tanα＝2，得．故选：B．5．（5分）已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24πcm2，则该圆柱的体积为（）A．12πcm3 B．14πcm3 C．16πcm3 D．18πcm3【考点】圆柱的体积．【答案】C【分析】根据给定条件，利用圆柱表面积公式求出底面圆半径，再求出体积即得．【解答】解：设圆柱底面圆半径为r，则圆柱母线长为r+2，由圆柱表面积为24π，得2πr2+2πr（r+2）＝24π，解得r＝2，所以该圆柱的体积为πr2（r+2）＝16π（cm3）．故选：C．6．（5分）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数在区间[﹣π，π]上的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】由函数解析式求解函数图象；正弦函数的奇偶性和对称性．【答案】B【分析】根据函数奇偶性以及函数值的大小即可判断．【解答】解：因为函数f（x）定义域为[﹣π，π]关于原点对称，且，故函数f（x）是奇函数，排除选项C、D；又，故由选项A、B图知可排除A．故选：B．7．（5分）已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（）A． B． C． D．7【考点】方差；平均数．【答案】A【分析】根据给定条件，利用平均数、方差的公式列式计算即得．【解答】解：记原5个数据依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6＝10，则新数据的平均数为，由原数据的方差为1，得，则，所以这组新数据的方差为．故选：A．8．（5分）已知（其中ω＞0），若方程|f（x）|＝1在区间（0，π）上恰有4个实根，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】余弦函数的图象．【答案】D【分析】由题意得或，求出的值，再由x∈（0，π）求出的范围，然后由方程|f（x）|＝1在区间（0，π）上恰有4个实根，可得，从而可求出ω的取值范围．【解答】解：由|f（x）|＝1，得，所以或，所以，或，或，或，由x∈（0，π），得ωx∈（0，ωπ），所以，因为方程|f（x）|＝1在区间（0，π）上恰有4个实根，所以，解得．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走akm到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么a的值可以是（）A．1 B． C． D．2【考点】解三角形．【答案】AD【分析】根据余弦定理，即可求解．【解答】解：如图，由条件可知，根据余弦定理可知，|AC|2＝|AB|2+|BC|2﹣|AB|•|BC|cos∠ABC，所以，解得a＝2或a＝1．故选：AD．（多选）10．（6分）下列结论中正确的是（）A．已知向量，，，则 B．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面α，则l⊥m C．一组数据13，8，10，6，9，15，5，3的60%分位数为9 D．已知随机事件A和B互斥，若，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝0.8【考点】直线与平面垂直；互斥事件的概率加法公式；百分位数；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】BC【分析】根据模长及数量积公式计算判断A选项的真假；结合线面垂直判断线线垂直，判断出B选项的真假；应用百分位数计算判断C选项的真假；根据互斥事件概率和公式结合对立事件概率计算判断D选项的真假．【解答】解：对于A：，所以，A选项错误；对于B：m∥平面α，存在n∥m，n⊂α，l⊥α，则l⊥n，n∥m，可得l⊥m，B选项正确；对于C：8×0.6＝4.8，数据按从小到大排列可得3，5，6，8，9，10，13，15，第5个数为9，C选项正确；对于D：随机事件A和B互斥，，D选项错误．故选：BC．（多选）11．（6分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3，O为BD1的中点，E为棱AA1上任意一点，直线OE与棱CC1交于点F．则下列结论正确的是（）A．四边形BFD1E是平行四边形 B．当E为AA1的中点时，四边形BFD1E是菱形 C．四边形BFD1E的周长的最小值为9 D．四棱锥B1﹣BED1F的体积为4【考点】棱锥的体积．【答案】ABD【分析】对于A，根据面面平行的性质结合平行四边形判定定理分析判断，对于B，根据已知条件可由三角形全等，得BE＝ED1，从而可判断，对于C，设AE＝x（0≤x≤3），则四边形BFD1E的周长为，转化为平面上点之间的距离问题分析判断，对于D，利用等体积法分析判断．【解答】解：对于A，因为O为BD1的中点，直线OE与棱CC1交于点F，所以E，D1，F，B四点共面，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面DCC1D1∩平面ABB1A1＝D1F，所以BE∥D1F，同理可证得BF∥D1E，所以四边形BFD1E是平行四边形，所以A正确，对于B，因为E为AA1的中点，所以A1E＝AE，因为AB＝BC＝AD＝A1D1，∠BAE＝∠D1A1E＝90°，所以△BAE≌△D1A1E，所以BE＝ED1，因为四边形BFD1E是平行四边形，所以四边形BFD1E是菱形，所以B正确，对于C，设AE＝x（0≤x≤3），则A1E＝3﹣x，，所以四边形BFD1E的周长为＝，则看成平面上点P（0，x）到点M（2，0），N（2，3）的距离和，设点M（2，0）关于y轴的对称点为M′（﹣2，0），则|MP|＝|M′P|所以＝，当时取等号，所以四边形BFD1E的周长为10，所以C错误，对于D，＝，所以D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．（5分）已知，则的虚部为﹣．【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部；共轭复数．【答案】﹣．【分析】先由复数乘除运算法则化简复数z，进而根据共轭复数概念得即可得其虚部．【解答】解：因为，所以故的虚部为．故答案为：．13．（5分）若正实数a，b满足4a+b＝ab，则4a+b的最小值是16．【考点】运用基本不等式求最值．【答案】16．【分析】由基本不等式得到，将4a+b＝ab代入，求出最小值．【解答】解：因为a＞0，b＞0，由基本不等式得，即，解得4a+b≥16，当且仅当4a＝b，即a＝2，b＝8时，等号成立．故答案为：16．14．（5分）已知函数，，若对于任意x1∈[1，4]，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）≤g（x2），则实数m的取值范围为{m|}．【考点】函数恒成立问题．【答案】{m|}．【分析】根据给定条件，求出函数f（x）在[1，4]上的最大值，探讨函数g（x）的性质，并求出g（x）在（0，+∞）上的最大值，再由已知建立不等式求解即得．【解答】解：函数，当x∈[1，4]时，log2x∈[0，2]，则当，即x＝log23﹣1时，；函数g（x）＝﹣（x﹣1）2﹣2x﹣1﹣21﹣x+m+1，显然g（2﹣x）＝﹣（1﹣x）2﹣21﹣x﹣2x﹣1+m+1＝g（x），则函数g（x）的图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，令x﹣1＝t，h（t）＝2t+2﹣t，∀t1，t2∈[0，+∞），t1＜t2，，由0≤t1＜t2，得，则，，于是h（t1）＜h（t2），函数h（t）在[0，+∞）上单调递增，则函数y＝2x﹣1+21﹣x在[1，+∞）上单调递增，y＝﹣2x﹣1﹣21﹣x在[1，+∞）上单调递减，而y＝﹣（x﹣1）2在[1，+∞）上单调递减，因此函数g（x）在[1，+∞）上单调递减，由对称性知，g（x）在（0，1]上单调递增，则当x＝1时，g（x）max＝m﹣1，由对于任意x1∈[1，4]，存在x2∈（0，+∞），使得f（x1）≤g（x2），得，解得，所以实数m的取值范围为{m|}．故答案为：{m|}．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。15．（13分）已知复数z＝1+i是一元二次方程x2+ax+b＝0（a∈R，b∈R）的根．（1）求a，b的值；（2）若复数（a+bi）（m﹣i）（其中m∈R）为纯虚数，求复数ω＝（5m﹣1）+3mi的模．【考点】实系数多项式虚根成对定理；复数的乘法及乘方运算．【答案】（1）．（2）5．【分析】（1）由z＝1±i是一元二次方程x2+ax+b＝0的两根，并根据韦达定理即可求解；（2）由（1）并结合（a+bi）（m﹣i）为纯虚数，得m＝1，再代入复数ω中求模即可．【解答】解：（1）因为z＝1+i是一元二次方程x2+ax+b＝0的根，所以z＝1﹣i也是一元二次方程x2+ax+b＝0的根，故，解得．（2）因为复数（a+bi）（m﹣i）＝2﹣2m+（2+2m）i为纯虚数，所以2﹣2m＝0，且2+2m≠0，即m＝1．所以复数ω＝（5m﹣1）+3mi＝4+3i，故．16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）对已知等式化简后，利用余弦定理可求出角A；（2）先求出角三角形外接圆的半径，再由正弦定理可求出a的值，将已知等式利用正弦定理统一成边的形式可求出b+c的值，再结合（1）可求出bc的值，从而可求出三角形的面积．【解答】解：（1）因为，所以b（b﹣a）+c（c﹣a）＝（c﹣a）（b﹣a），所以b2﹣ab+c2﹣ac＝bc﹣ac﹣ab+a2，即b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以cosA＝，因为A∈（0，π），所以；（2）因为△ABC的外接圆的面积为，设△ABC的外接圆半径为r，即πr2＝，解得，由正弦定理得，，因为，由正弦定理得，由（1）知b2+c2﹣a2＝bc，所以（b+c）2﹣7＝3bc，得3bc＝25﹣7＝18，则bc＝6，所以△ABC的面积为S△ABC＝．17．（15分）当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活．一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响．长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题．更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感．某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；（3）现在从[2，4）和[4，6）两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．【考点】频率分布直方图的应用．【答案】（1）0.1；（2）7.4小时；（3）．【分析】（1）利用频率分布直方图tk小矩形面积和为1求出a值．（2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得．（3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得2（0.025+a+0.2+a+0.075）＝1，所以a＝0.1；（2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）；（3）每天玩网络游戏的时间在[2，4）和[4，6）内的人数比为，则用分层抽样的方法抽取的5人中，在[2，4）内的有1人，记为A，在[4，6）内的有4人，记为b，c，d，e，这5人中随机抽取2人的试验的样本空间Ω＝{Ab，Ac，Ad，Ae，bc，bd，be，cd，ce，de}，共10个样本点，玩网络游戏的时间所在区间不同的事件M＝{Ab，Ac，Ad，Ae}，共4个样本点，所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率．18．（17分）如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记．（1）求λ的值；（2）若AB＝1，BC＝2，求的值．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）以向量作为基