2023-2024学年山西省晋中市平遥县高一(下)期中数学试卷

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i，则z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的3．（5分）若向量a=（2，2），b→=（x，x3），a→∥A．{﹣1，1} B．{﹣2，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，0，2}4．（5分）已知单位向量a→，b→满足(a→+2A．13b→ B．12b→5．（5分）如图，△AOB的斜二测画法的直观图是腰长为32的等腰直角三角形，y′轴经过A'B'的中点，则ABA．6 B．36 C．12 D．666．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝3，BC→=4BEA．DC→+34DA→ B．37．（5分）若a＝lg0.8，b＝0.69，c＝0.490.40，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（5分）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼．为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC=1027米，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ（tanθ＝2），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OAA．200米 B．202米 C．204米 D．206米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题为真命题的是（）A．复数z＝1﹣i的实部为﹣1 B．半径为3的球的表面积为36π C．正五棱台有7个面 D．“∃x∈R，x﹣1＝3x”的否定是“∀x∈R，x﹣1≠3x”（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sin2x+3A．f(x+πB．f（x）的图象关于点(π3C．f（x）在(0，π6D．将f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到的新图象关于y（多选）11．（6分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A=π3，I是△ABC的内切圆圆心，内切圆的半径为A．∠BIC=5π6 B．C．∠BIC=2π3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上。12．（5分）如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为6cm，5cm，高为6cm，则该青铜器的容积约为cm3．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，BM→=16BC→，14．（5分）在△ABC中，sinB+sinC＝4sinA，则sinA的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知向量a→，b→满足|a（1）若向量a→，b→的夹角为π3（2）若|a→+b→|＝4，求|（3）若a→⊥（a→+b→16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA＝5asinB，b＝1．（1）若sinC=18，求△ABC外接圆的半径（2）若△ABC的面积为534，求A的大小及△17．（15分）已知复数z1，z2满足z1•z2∈R，z1（1）若纯虚数z3的虚部与z1的虚部互为相反数，求z3；（2）求|2z1+z2|的最小值．18．（17分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD=π3，F是线段AD的中点，DE→（1）若λ=12，AE与BF交于点N，AN→=xAB（2）求BE→19．（17分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin（1）求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF＝6，求AF+BF的取值范围．

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i，则z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的运算．【答案】D【分析】先求出复数z1+4z2，再结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义求解．【解答】解：∵复数z1＝﹣3+i，z2＝1+4i，∴z1+4z2＝﹣3+i+4（1+4i）＝1+17i，∴z1+4z2的共轭复数为1﹣17i，∴z1+4z2的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣17），位于第四象限．故选：D．2．（5分）若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定的【考点】三角形的形状判断；余弦定理．【答案】B【分析】结合余弦定理，即可求解．【解答】解：设边长为20，30，40，对应的边长为a，b，c，则cosC=a故角C为钝角，即该三角形的形状是钝角三角形．故选：B．3．（5分）若向量a=（2，2），b→=（x，x3），a→∥A．{﹣1，1} B．{﹣2，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，0，2}【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【答案】C【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：向量a=（2，2），b→=（x，x3），a∴x2解得x＝0或x＝1或x＝﹣1，则x的取值集合为{﹣1，0，1}．故选：C．4．（5分）已知单位向量a→，b→满足(a→+2A．13b→ B．12b→【考点】平面向量的投影向量；平面向量数量积的性质及其运算．【答案】A【分析】由已知，求得a→【解答】解：由单位向量a→，b→满足可得a→2+则a→在b→上的投影向量为故选：A．5．（5分）如图，△AOB的斜二测画法的直观图是腰长为32的等腰直角三角形，y′轴经过A'B'的中点，则ABA．6 B．36 C．12 D．66【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图．【答案】D【分析】根据题意，在直观图中，过点B′，分别作x′轴和y′轴的平行线，与x′轴和y′轴分别交于点M、N，由斜二测画法分析原图中A、B的坐标，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在直观图中，过点B′作x′轴的平行线，与x′轴交于点M，过点B′作y′轴的平行线，与y′轴交于点N，由于△OAB的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，则O′A′＝O′B′=32，A′B则A′的坐标为（32则MB′＝A′B′＝6，B′N＝OM=32故原图中，B的坐标为（−32，12），A的坐标为（3故AB=72+144=6故选：D．6．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝3，BC→=4BEA．DC→+34DA→ B．3【考点】平面向量的基本定理．【答案】B【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算计算得解．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，CD＝3，DE→故选：B．7．（5分）若a＝lg0.8，b＝0.69，c＝0.490.40，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解．【解答】解：∵lg0.8＜lg1＝0，∴a＜0，∵0.490.40＞0.490.5＝0.7＞0.69，∴c＞b＞0，∴a＜b＜c．故选：A．8．（5分）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼．为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得BC=1027米，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ（tanθ＝2），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OAA．200米 B．202米 C．204米 D．206米【考点】解三角形．【答案】C【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△OBC的边长关系，解方程求解即可．【解答】解：设OA＝h米，因为在点B处测得点A的仰角为θ，所以OAOB=2，所以因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以OC＝h米，由余弦定理，可得BC2＝OB2+OC2﹣2OB•OC•cos∠BOC，即1022×7=故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题为真命题的是（）A．复数z＝1﹣i的实部为﹣1 B．半径为3的球的表面积为36π C．正五棱台有7个面 D．“∃x∈R，x﹣1＝3x”的否定是“∀x∈R，x﹣1≠3x”【考点】球的体积和表面积；存在量词命题的否定；虚数单位i、复数．【答案】BCD【分析】根据命题真假的判断方法，结合复数的定义、球的表面积公式、台体的概念以及存在量词命题的否定方法逐项判断．【解答】解：对于A，该复数的实部为1，A错误；对于B，表面积为S＝4πR2＝36π，B正确；对于C，正五棱台有五个侧面、上下两个底面，共7个面，C正确；对于D，“∃x∈R，x﹣1＝3x”的否定是：“∀x∈R，x﹣1≠3x“，D正确．故选：BCD．（多选）10．（6分）已知函数f(x)=sin2x+3A．f(x+πB．f（x）的图象关于点(π3C．f（x）在(0，π6D．将f（x）的图象向左平移π12个单位长度，得到的新图象关于y【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值；两角和与差的三角函数；三角函数中的恒等变换应用．【答案】BCD【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性，最值求解及函数图象变换检验各选项即可判断．【解答】解：由题意得，f(x)=2sin(2x+π因为f(x+π2)=2sin(2x+因为f(2π3−x)=2sin[2(所以f（x）的图象关于点(π3，0)若x∈(0，π6)，则2x+因为函数y=2t+1t在(32，1]g(x)=f(x+π则g（﹣x）＝g（x），所以g(x)=2cos2x+1cos2x为偶函数，其图象关于y轴对称，故选：BCD．（多选）11．（6分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A=π3，I是△ABC的内切圆圆心，内切圆的半径为A．∠BIC=5π6 B．C．∠BIC=2π3 【考点】解三角形；正弦定理．【答案】BCD【分析】由已知结合三角形内心的性质检验选项A，B，C，结合向量的线性运算及平面向量基本定理检验选项D．【解答】解：因为内心是三角形内角平分线的交点，在△IBC中，∠BIC=π−B2−C2由余弦定理可得BC=2因为△ABC的面积S=1所以r=335+因为AI在∠BAC的平分线上，可设IA→同理可设IB→=y得IA→根据平面向量基本定理得x2=−y解得x=7−53，即IA故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上。12．（5分）如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为6cm，5cm，高为6cm，则该青铜器的容积约为182πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积．【答案】182π．【分析】利用圆台的体积公式，直接代入即可求解．【解答】解：根据圆台的体积公式V=13πh(r2+rR+R由已知盛酒的部分可近似视为一个圆台，上、下底面的半径分别为6厘米，5厘米，高为6厘米，所以该青铜器的容积为π3所以该青铜器的容积约为182π立方厘米．故答案为：182π．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，BM→=16BC→，【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【答案】﹣6．【分析】由题意得到BN→【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，BM→=1∴BN→故BN→故答案为：﹣6．14．（5分）在△ABC中，sinB+sinC＝4sinA，则sinA的最大值为158【考点】两角和与差的三角函数；正弦定理．【答案】158【分析】先由正弦定理将角的关系转化为边的关系，代入余弦定理求cosA，利用基本不等式求出其最小值即可得出sinA的最大值．【解答】解：∵sinB+sinC＝4sinA，由正弦定理得b+c＝4a，由余弦定理得cosA=b当且仅当b＝c时，等号成立，由同角三角函数关系式sin2A+cos2A＝1，且0＜A＜π，可得sinA=1−co∴sinA的最大值为158故答案为：158四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）已知向量a→，b→满足|a（1）若向量a→，b→的夹角为π3（2）若|a→+b→|＝4，求|（3）若a→⊥（a→+b→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个平面向量的夹角．【答案】（1）2；（2）22；（3）2π3【分析】（1）由平面向量数量积的运算求解题．（2）由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解．（3）由平面向量数量积的运算，结合及平面向量夹角的运算求解题．【解答】解：（1）若向量a→，b→的夹角为又|a→|=则a→（2）若|a→则a→又|a→|=则a→即|a→−2b→（3）若a→⊥（a则a→即a→则cos＜a则＜a即向量a→，b→的夹角16．（15分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA＝5asinB，b＝1．（1）若sinC=18，求△ABC外接圆的半径（2）若△ABC的面积为534，求A的大小及△【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】（1）R＝20；（2）当A=π3时，l△ABC=6+21；当【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果；（2）利用三角形的面积公式求出A的值，进一步利用余弦定理求出三角形的周长．【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csinA＝5asinB，b＝1，利用正弦定理：sinAsinC＝5sinAsinB，整理得：c＝5b，故c＝5，由于sinC=18，利用正弦定理csinC=2R，解得2（2）由于S△ABC=12bcsinA=534，故sin①当A=π3时，利用余弦定理cosA=b2+c②当A=2π3时，利用余弦定理cosA=b2+c17．（15分）已知复数z1，z2满足z1•z2∈R，z1（1）若纯虚数z3的虚部与z1的虚部互为相反数，求z3；（2）求|2z1+z2|的最小值．【考点】复数的运算；复数的模．【答案】（1）z3=−1（2）3．【分析】（1）由已知结合复数的四则运算进行化简先求出z1，然后结合复数的概念即可求解z3；（2）结合复数的基本概念及四则运算求出z2，然后结合复数的几何意义及二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）z1又纯虚数z3的虚部与z1的虚部互为相反数，则z3=−1（2）设z2＝a+bi，（a，b为实数），因为z1•z2＝（32+12i）（a+bi所以a+3b=0，z2|2z1+z2|＝|3（1﹣b）+（1+b）i|=3(1−b故|2z1+z2|的最小值为3．18．（17分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD=π3，F是线段AD的中点，DE→（1）若λ=12，AE与BF交于点N，AN→=xAB（2）求BE→【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的基本定理．【答案】（1）−1（2）19116【分析】（1）以向量AB→、AD→为基底，表示出AE→、B