2025-2026月考试卷8年级（数学）四边形新定义+动态几何题（解析版）

【答案】1:3【解析】解：如图，菱形ABCD,故答案为：1:3．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是224-25九年级下·上海普陀·阶段练习）如果一条直线把把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,ADLA=45O，点E在边CD上，且CE=5，过点E的面积等分线与平行四边形的另一边交于点F，那么线段EF的长【答案】【答案】22【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质等知识点，解决此题点．先作出平行四边形的高，即是梯形的高，根据梯形面积公式算出AF的长，进而算出GF的长度，根据【解析】解：过点D作DO丄AB于点O，过点E作EG丄AB于G，解得：AF=5，32025八年级下·上海·专题练习）我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比2【答案】3求出梯形的高，根据面积公式求出中位线长度，然后根据题∴该等腰梯形的纵横比=3 42025八年级下·上海·专题练习）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形ABCD的对角线AC=BD=8，且两条对角线的夹角为60°,则该四边形较短的“中对线”的长为．【答案】4【分析】根据三角形中位线定理可得菱形EFGH，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案．【解析】解：如图，设两条对角线AC、BD的夹角为60°,取四边的中点并连接起来，设AC与EH交点M．：EHBD=4,EH∥BDHGAC=4，HG∥AC，：EF∥HG∥AC，EF=FG=HG=HE,：四边形EFGH是菱形，丫EHBD=4，EH∥BD，oo:△HEF为等边三角形, 52023·上海奉贤·二模）如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样【答案】【答案】2【解析】解：如图所示，四边形ABCD是“准菱形”，且AB=AD,7BAD=90o,连接BD， 621-22九年级下·上海浦东新·期中）如果菱形有一条对角线等于它的边长，那么称此菱形为“完美菱个动点，且满足AM＋CN＝4，设△BMN的面积为S，则S的取值范围是．【答案】【答案】33≤S≤43由△CNB兰△DMB可得△BNM是等边三角形，设BN=a，则△BNM面积a2；等边△BCD中，BH丄CD，△CNB和△DMB中：CN=DM，LNCB=LMDB，CB=DB，【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性72025八年级下·上海·专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB=2，BC=4，点E是线段AD上一点，且不与A、D重合，沿BE折叠使点C落在矩形某边所在直线上，则DE的长是．【答案】2或23勾股定理等知识，应注意分类讨论，以免丢解．设点C、点D的对应点分别为点C,、点D,，由矩形的性质得LBAD=LB=LC=LD=90O，CD=AB=2，AD=BC=4，由折叠得BC,=BC=4，C,D,=CD=2，LC,=LC=90O，LD,=LD=90O，再分两种情况讨论，一是点C'在BA的延长线上，可证明四边形AC,D,E是正方形，则DE=D,E=2；二是点C,在DA的延长线上，可证明LC,EB=LC,BE，则EC,=BC,=4，所以DE=D,E，于是得到问题的答案．【解析】解：设点C、点D的对应点分别为点C,、点D,，丫四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，:LBAD=LABC=LC=LD=90O，CD=AB=2，AD=BC=4，由折叠得BC,=BC=4，C,D,=CD=2，LC,=LC=90O，LD,=LD=90O，当点C'在BA的延长线上，如图1，则LEAC,=180O-LBAD=90O，:四边形AC,D,E是矩形，丫AC,=BC,-AB=4-2=2，:AC,=C,D,，:四边形AC,D,E是正方形，:D,E=AC,=2，:DE=D,E=2；当点C,在DA的延长线上，如图2，:LC,EB=LCBE，由折叠得LC,BE=LCBE，:LC,EB=LC,BE，:EC,=BC,=BC=4，:DE=D,E=23，故答案为：2或23．沿着AC翻折，点B的对应点为点E，连接DE，那么线段DE=．【答案】【答案】62-26【分析】根据翻折，推出LBCE=90o，过点A作AF丄BC，则四边形AFCG为矩形，利用含30度的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，得到BFx，CF=AF=x，利用BC=AF+BF=x+3x=4，求出CF的长，进而求出DG,EG的长，利用勾股定理进行求解即可．∴∴LACB=LACE=45o,LAEC=LABC=30o,BC=CE，∴∴LBCE=90o，∴∴LAGC=LAGE=LEGD=90o，过点过点A作AF丄BC，则四边形AFCG为矩形，∴∴AG=CF，CG=AF，设设AF=x，在在Rt△AFB中，LB=30o，∴∴AB=2AF=2x，BFx，在在在在Rt△AFC中，LACF=45o，∴CG=23-2,AG=23-2，∴DE=DG2+EG2=2DG=62-26；故答案为：62-26．角三角形的性质，根据题意，正确的作图，得到角三角形的性质，根据题意，正确的作图，得到92025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE丄BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B,，若△B,PD为等腰三角形，则AP的长为．56【分析】若△B,PD为等腰三角形，则需分以下三种情况进行讨论，①若B,P=PD，根据BP=PD列出方程 FB,D中运用勾股定理列出方程求解即可．①若B,P=PD解得：x②若B,P=B,D，又丫B,P=BP，LA=LB,FP，LAPB=LB,PF，∴△ABP兰△FB,P（AAS）即x解得：x=1③若PD=B,D丫B,P=BP，LA=LB,FP，LAPB=LB,PF，∴△ABP兰△FB,P（AAS）∴PF=AP=x，B,F=AB=2∴FD=3-2x，PD=B,D=3-x在Rt△FB,D中，B,D2=B,F2+FD2，即(3-x)2=(3-2x)2+4，此方程无解，故不存在PD=B,D这种情况，5综上所述：AP的长为或16 1023-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边AD上（点E与点A、D不重合将△CDE沿直线CE翻折，点D的对应点为点G，连接EG，EG的延长线交边BC于【答案】2【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得FG:LD=90°,CD=AB=4，BC=AD=6，LCGE=LD=90°,EG=DE，:LCGF=90°,:CF=BC-BF=5，解得：EG=2， :DE=2，故答案：2．112025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=5，点E在射线BC上一个动点，把△ABE沿直线AE折叠，当点B的对应点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，BE的长是．【答案】2.5或10得FM=3，再由勾股定理可求得BE的长．【解析】解：如图，若点E在线段CB上时，过点F作MN丄BC，:四边形ABNM是矩形，:AB=MN=5,AM=BN丫把△ABE沿直线AE折叠，当点B的对应点F刚好落在线段AD的垂直平分线上:FM=AF2-AM2=25-16=3:FN=MN-FM=2:BE2=(4-BE)2+22:BE=2.5；如图，点E在线段BC的延长线上，过点F作MN丄BC，同理可求得，FMBE=FE:FN=3+5=8丫FE2=EN2+FN2:BE2=(BE-4)2+64:BE=10综上所述，BE的长为10或2.5，故答案为：10或2.5【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用1222-23八年级下·上海松江·期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10．点P是边AD上一点，且AP=4．连接CP，将四边形ABCP沿CP所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边CF与边AD的交点为点G．则PG=；【答案】3【分析】设PG=a,则DG=AD-AP-PG=6-a，在RT△DGC中，CG=a,DG=3-a,CD=2，利用勾股定理即【解析】解：由题意得：四边形ABCP与四边形EFCP全等．∴LBCP=LFCP．CD=AB,∴AD∥BC，六LBCP=LDPC，六LDPC=LFCP，设PG=a,则PG=CG=a，DG=AD-AP-PG=10-4-a=6-a222，解得：a3 1322-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点Р在边CD上．如果将△BPC沿直线BP翻折后，点C恰好落在线段CE上的点Q处．那么EQ的长为．【答案】BPCE，利用等积法求出CF，然后计算EQ=CE-2CF即可．六LCBF=90°-LBCF=LDCE，△BCPBC.CPBP.CF，【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质以1423-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点E在边AD上，连结BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点为点F．当直线BF恰巧经过CD的中点M时，AE的长为cm．【答案】【答案】(25-2)【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性连接EM，先由勾股定理求出BMcm，再由折叠的性质可知：AE=EF，AB=BFEM2=EF2+FM2=ED2+DM2，即x2+22，解得：x=25-2，即可求解．【解析】解：连接EM，六正方形ABCD中，AB=4cm，六AD=BC=CD=AB=由折叠的性质可知：AE=EF，AB=BF=4cm，设AE=EF=xcm，则ED=(4-x)cm，由勾股定理得：EM2=EF2+FM2=ED2+DM2，解得：x=25-2，1523-24八年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C,、D,处，且点C,、D,、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D,F与BE交于点G．设AB=t，那么△EFG的周长为用含t的代数式表【答案】23t【分析】根据翻折的性质可得CE=C,E，再根据三角函数求出L相等可得LFGE=LBGD,=60°,根据两直线平行，内错角相等可得LAFG=LFGE，再求出LEFG=60°,然后判断出△EFG是等边三角形，过F作FH丄GE于点H，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质和勾股定理表示出GF，即可得解．【解析】解：由翻折的性质得，CE=C,E，如图，连接BD,，,E，∴LEBC,=30°,∴LBGD,=60°,∴LFGE=LBGD,=60°,如图，过F作FH丄GE于点H，则四边形ABHF为矩形，在Rt△GFH中，由勾股定理得：GH2+FH2=GF2，即GH2+t2=(2GH)2，故答案为：23t．与性质，平行线的性质和矩形的判定与性质，熟练掌1621-22九年级上·上海宝山·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5，点P在CD边上，联结S四边形ABCPAP．如果将△ADP沿直线AP翻折，点D恰好落在线段BC上，那么的值为四边形ABCP5【答案】【分析】先根据翻折的性质得出AD,=AD=5，DP=PD,然后在Rt△ABF中由勾股定理求出BD,=4，的面积公式求出S△ADP和S四边形ABCP的面积即可．在Rt△CD′P中，D′P2=D′C2+PC2，即x2=12+（3-x）2，解得x535【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相1722-23八年级下·上海黄浦·期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M、N分别是边AD、BC的中点，Q是边CD上的一点．连接MN、BQ，将△BCQ沿着直线BQ翻折，若点C恰好与线段MN上的【答案】【答案】23【分析】先证明△BCP是等边三角形，得到7PBC=60°,从而由折叠的性质得到7PBQ=7CBQPBC=30°,7BPQ=7BCD=90°,设PQ=x(x<0)，则BQ=2x，在Rt△BPQ中，利在边长为6的正方形ABCD中，点M、N分别是边AD、BC的中点，∴BC=PB=6，MN垂直平分BC，LBCD=90o，由折叠的性质可得：LPBQ=LCBQLPBC=30o，LBPQ=LBCD=90o设PQ=x(x>0)，则BQ=2x，在Rt△BPQ中，PB2+PQ2=BQ2，即62+x2=(2x)2，解得：x=23，即：PQ=23．根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，1821-22八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，梯形ABCD中，LD=90。，点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上果AB=4，且，那么梯形ABCD的中位线等于．【答案】【答案】7【解析】解：过点B作BMTCE于点M，如下图，【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握点E，AF丄CD于点F，且LEAF(1)写出BE，CF，AB之间的数量关系；(2)如图②,当LEAF绕着点A逆时针旋转到LEAF的两边与菱形的两边相交，但不垂直时，写出(3)如图③,当LEAF绕着点A逆时针旋转到LEAF的两边与菱形的两边BC，CD的延长线相交，但不垂直时，请直接写出BE，DF，AB三者之间的关系．(3)BE-DF=AB．【分析】（1）如图①,连接AC，利用菱形的性质可得△ABC和△ACD为等边三角形，进而可得LBAE=LCAF=30O，由直角三角形的性质可得BE=AB，（2）BE+DF=AB．如图②,连接AC，证明△AEC≌△AFD(ASA)得到EC=DF，即可求证；（3）如图③,连接AC，同理（2）可证△AEC≌△AFD(ASA)，得到EC=DF，即可得到BE-DF=BE-EC=BC=AB；本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三【解析】（1）解：如图①,连接AC，六LAEB=LAFC=90o，LBAE=LCAF=30o，在Rt△ACF中，（2）解：BE+DF=AB，理由：如图②,连接AC，丫菱形ABCD中，LBAD=120o，六LB=LD=60o，AB=BC=CD=AD，丫LEAC+LCAF=LEAF=60o，LDAF+LCAF=60o，六LCAE=LDAF，六BE+DF=BE+EC=BC=AB；（3）解：如图③,连接AC，六BE-DF=BE-EC=BC=AB，即BE-DF=AB．202025八年级下·上海·专题练习）如图1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B，C，D的对应点分别为E，F，G，延长FE交BC于点P．(1)在旋转过程中，试探究线段BP与PE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当点F在AD的延长线上时，连接CF，BE，延长BE交CF于点Q，证明：Q为CF的中点．DFFQ【答案】【答案】(1)BP=PE，理由见解析【分析】（1）由旋转性质证明\Rt△APB≌Rt△APE)HL(，即得；（2）法一：延长BQ，AF交于点H，根据7EBP=7BEP，7H=7EBP，得7FEH=7H，得EF=FH，7PBE=7PEB．7FEK=7K，得7PBE=7K，得CK=CB=EF，可得△EQF≌△KQC)AAS(，即得；（3）连接AC，设矩形ABCD的长为4k，宽为3k，可得AF=AC=5k．分当AB:BC=3:4时，得DF=k．可得FQk；当AB:BC=4:3时，得DF=2k，可得FQ=5k，即可计算的值为【解析】（1）解：BP=PE．理由如下：由旋转的性质，知AB=AE，7B=7AEF=7AEP=90◎.又丫AP=AP，\Rt△APB≌Rt△APE)HL(．\PB=PE．（2）证法一：如解图2，延长BQ，AF交于点H．\7EBP=7BEP．\7FEH=7BEP=7EBP．\7H=7EBP．\7FEH=7H．\EF=FH．\FH=BC．又丫7FQH=7CQB，\FQ=CQ．证法二：如解图3，过点C作CK∥EF，CK交BQ延长线于点K．则7K=7KEF=7PEB，由（1知BP=PE，\7PBE=7PEB．\7PBE=7K．\CK=CB=EF．又丫7EQF=7KQC，\FQ=CQ，即Q为CF的中点．设矩形ABCD的长为4k，宽为3k，由旋转，得AF=AC=5k．:DF=k．）， :DF=2k．:FQ=5k．等腰三角形的判定和性质，分类讨论，添加2121-22八年级下·上海徐汇·期中）已知在边长为6的正方形ABCD中，点E为射线DB上的一个动点（点E不与点D、B重合），联结CE，将线段CE绕着点C按顺时针方向旋转90。得线段CF，联结EF．(1)如图1，当点E在线段DB上时，求证：7CDF=45°;(2)如图1，当点E在线段DB上时，设DE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；(3)在点E运动过程中，若点A、E、F恰好在一条直线上，求DE的长．【答案】(1)答案见解析(2)y=62-x，0＜x＜62(3)62-6或62+6【分析】（1）根据正方形的性质，得到BC=CD，7DBC=45°,7BCE=7DCF，根据全等三角形的判定（3）分两种情况讨论：①当点E在线段DB上，②当点E在线段DB延长线上；根据正方形的性质，得到LCEF=45°,根据三角形的内角和，得到7AEB的度数，再跟你讲三角形外角定理和等腰三角形的判定，即六7BCD-7ECD=7ECF-7ECD，即7BCE=7DCF，六7CDF=7CBD=45°;惠BE=DF=y，函数定义域为0＜x＜62；①当点E在线段DB上时，惠LBAE=180°-LAEB－LABE=67.5°=LAEB，②当点E在线段DB延长线上时，惠LEAB=LABD－LAED=22.5°=LAEB，综上所述，DE的长为62-6或62+6．【点睛】本题考查了动点问题，包含了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角222025八年级下·上海·专题练习）将边长为4的正方形ABCD与边长为5的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．直线EB与直线DG交于点P．继续将正方形ABCD绕点A逆时针旋转a(0o<a<90o)．(1)如图1，DG与BE的数量关系：；DG与BE的位置关系：．(2)如图2，当点B在线段DG上时，求△ADG的面积．(3)连结PF，当PE=42时，求PF的值． 【分析】本题主要考查正方形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定（1）由题意可得△DAG≌△BAE，从而可得DG=BE，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知DG丄BE；（2）连结AC交DG于点O，则由勾股定理可得OG的长度，从而得到△ADG的面积；PG，延长PE至H．使EH=PG，连接FH，则PH=PE+EH=PE明△FGP≌△FEH(SAS)，可得△PFH是等腰直角三角形，则由勾股定理可得：PFPH=7．【解析】（1）解：结论：DG=BE，DG丄BE．在△DAG与△BAE中，DA=BA，LDAG=LBAE=90o，AG=AE，∴DG=BE，7DGA=7BEA，∴7BEA+7GDE=7DGA+7GDE=90o，故答案为：DG=BE，DG丄BE．（2）解：如图2，当B在线段DG上时，连接AC交DG于点O，在Rt△AOD中，AD=4，OD2+在Rt△AOG中，AG=5，延长PE至H．使EH=PG，连接FH，∴∴由勾股定理得：PFPH=7．232025八年级下·上海·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC，点P是BC上动点，连结AP．(1)若平行四边形ABCD是菱形，LCAD=50o，试求出LD的度数；(3)过点P作PF丄AP交线段CD于点F．过B点作BH丄AP于H，交△ABC的高AE于点N．若AP=BN，AN=CP，求证：BP=2CF+CP．【答案】(1)LD=80o【分析】（1）证明LACD=LCAD=50o，再利用三角形的内角和定理可得答案；（2）过点A作AE丄BC于E设PE=x，则BE=4-x，AE2=AP2-PE2=17-x2，而AE2=AB2-BE2=52-(4-x)2=25-16+8x-x2，再建立方程求解即可；（3）连接NP，证明△NBE≌△PAE(AAS)，可得BE=AE，NE=PE，证明NENP，再证明△ANB≌△CPA(SAS)可得LCAE=LABE=45o，BC=2AE，证明△ANP≌△PCF(ASA)．可得CF=NP，可得AE=EN+ANCF+PC，从而可得结论．【解析】（1）解：在菱形ABCD中，AD=CD．:LACD=LCAD=50o，丫LD+LACD+LCAD=180o，（2）解：过点A作AE丄BC于E，在YABCD中，CD=5，\AB=CD=5，设PE=x，则BE=4-x，在RtVAPE中，AE2=AP2-PE2=17-x2，在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=52-(4-x)2=25-16+8x-x2，\17-x2=9+8x-x2．\PE=1；\ÐNBE=ÐPAE．\ÐBEN=ÐAEP=90°,在VNBE和△PAE中，\BE=AE，NE=PE，∴BH∥PF，∴LFPC=LNBE，∴LPAE=LCPF，\LANB=LCPA，\LABN=LCAP，\LCAE=LCAP+LPAE=LABN+LNBE=LABE=45O，\LACE=LCAE=45O，\EC=AE=BE，\BC=2AE，在囗ABCD中，AB∥CD．\LABC+LBCD=180O，\LANP=LBCD=135O，\△ANP纟△PCF(ASA)．::CF=NP，又丫NENPCF，:BP=2CF+CP．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的形的性质，菱形的性质，作出合适的辅助线构建全2423-24八年级下·上海金山·阶段练习）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，LB=60O，AD=2，BC=6，点E为边CD的中点，点F为边BC上一动点（点F不与点B,C重合联结AE,EF和AF，点P,Q分别为AE,EF的中点，设BF=x，PQ=y．(2)求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)联结CQ，当CQ∥AE时，求x的值．【答案】【答案】(1)4【分析】（1）过点A作AH丄BC于点H，得出BH=2，根据LB=60O，得出AB=2BH=4；AF，得出y）；②当点F在点H右侧（2≤x<6），AF得出y是等边三角形，从而求出x的值．【解析】（1）解：过点A作AH丄BC于点H，①①当点F在点H左侧（0<x<22=AH2②②当点F在点H右侧（2≤x<6AH=23，FH=x-2，综上所述，综上所述，y（（3）解：延长CQ交AF于点M，\AE∥QC，PQ∥AF，\四边形APQM是平行四边形，\AM=PQ，\PQ是△AEF的中位线，\点M为AF的中点，∴AM=FM=CE．\△MFQ≌△CEQ(ASA)，\MF=CE，\AF=CD=AB，\△ABF为正三角形，\x=BF=AB=4．角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，有三角形的中位线和勾股定理，函252025八年级下·上海·专题练习）已知囗ABCD，将△BCD沿对角线BD翻折得到△BED，连接线段AE．(1)如图1，求证：AE∥BD；(2)连接线段CE,CE与直线BD相交于点O，①如图2，当LBDC为锐角时，AB=4,AE=3,CE=43时，试求线段BC的长度；②若AB=8,BC=12，当△ADE为等腰三角形时，求线段BD的长度．【答案】【答案】(1)见解析2020(2)①37；②10或3LEADLADB，求出LEAD=LADB，即可得出答案； ：LADB=LCBD，::△ABE≌△EDA(SSS)，\LAEB=LEAD，在△AEP中，LEAD在△BDP中，LADB丫LAPE=LBPE,\LEAD=LADB，（2）①解：过点A作AH丄BD于点H，如图所示：\AB∥CD,AB=CD，\LABD=LCDB，在△AHB和△EOD中，\△ABH≌△EDO(AAS)，\AH=EO,BH=DO，\BD=BH+HO+OD=2OD\EO∥AH，又EO=AH，\AE=OH，\BD=2OD+AE，在Rt△CDO中，OD\BO=BH+HO=OD+AE=5，六在Rt△BOC中，BC当AE=DE=8时，过点A作AH丄BD于点H，如图所示：由①可知：四边形EOHA为矩形，,\OH=AE=8,在Rt△BOC中，由勾股定理得：OC2=B在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC2=CD2-OD2=82-x2，\82-x2=122-(8+x)2，当AE=AD=12时，过点B作BM丄AE于M，如图所示：由①可知：AM=OD，四边形EMBO为矩形，BC=BE=AE=12，设AM=OD=x,则BO=EM=AE-AM=12-x，BD=12-2x在Rt△CDO中，由勾股定理得：OC2=CD2-OD2=82-x2,在Rt△BCO中，由勾股定理得：OC2=BC2-OB2=122-(12-x)2,\82-x2=122-(12-x)2,解得：x203【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，等性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数262025八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD，点P是直线BD上动点，连接AP，以AP为边在AP右侧作等边三角形APN，其中A，P，N按逆时针排列．(1)当点N落在线段AD上时，请直接写出ND的长；(2)当PN与矩形ABCD的边平行时，求AP的长；(3)将△APN沿AP翻折，点N的落点为点N,，点M为PN,的中点，请判断点M到BC的距离是否发生改变，【答案】(1)ND=43(2)8或83【分析】（1）本题先证明LAPB=90o，得到ND=NP，然后ND=AN，即可求解；（2）分两种情况：①当PN与矩形ABCD的边AB平行时，根据平行证明△ABP为等边三角形，即可求解；②当PN与矩形ABCD的边BC平行时，证明BD垂直平分AN，即可求解．（3）在BD上的取点Q，BQ=4；证明MQ∥BC，当点P在直线BD上运动时，点M在直线MQ上运动，【解析】（1）解：当点N落在线段AD上时，如图，解得：BD=16，∴LADB=30o，LABP=60o，∴LAPN=LANP=LPAN=60°,NP=AN，∴LBAP=LBAD-LPAN=90°-60°=30°,∴LAPB=180°-LABP-LBAP=180°-60°-30°=90°,∴LNPD=180°-LAPB-LAPN=180°-90°-60°=30°,∴LNPD=LADB，∴ND=AN，（2）解：分两种情况：①当PN与矩形ABCD的边AB平行时，如图，②当PN与矩形ABCD的边BC平行时，如图，∴AP=AN，7N=60°,∴AD∥BC，∴AD∥PN，由（1）知7ADB=30°,∴7DPN=7ADB=30°,∴7PMN=180°-7DPN-7N=90°,△ABDAB.ADBD.AM，´83=16AM，综上，AP的长为8或83．证明：如图，在BD上的点Q，BQ=4，当PN∥BC，由（2）知边AN的中点与点Q重合，由翻折可知：AN,=AN，BN,=BN丫点M为PN,的中点，点Q为AN六PMPN,NQAN六PM=NQ【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形性质、勾股定理和翻折对称的性质，272025八年级下·上海·专题练习）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，点C的对应点为G，延长EG交AD边于点H，连接BH．求证：△ABH丝△GBH．【类比迁移】（2）如图2，在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是CD边上一点，将△BCE沿BE翻折，点C的对应点G恰好落在AD边上，求7CBE的度数．【拓展应用】（3）在菱形ABCD中，7C=60o，边长为6，点E是CD边上一点，点F是BC边上一点，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点G恰好落在菱形ABCD的一条边上，且DG=2．①如图3，当点G落在CD边上时，求CF的长；②当点G落在AD边上时，请直接写出CF的长．【答案】（1）见解析2）15o