北师大版初中九年级数学《图形的位似》顶尖教案

北师大版初中九年级数学《图形的位似》顶尖教案

一、教材与学情分析

本节课位于北师大版九年级数学上册，隶属于“图形的相似”这一核心章节。在学生已经系统学习了全等三角形、相似多边形的基本性质与判定，以及相似三角形的知识体系之后，位似作为图形相似的一种特殊且重要的位置关系登台。它不仅是相似知识的深化与应用，更是连接几何变换（缩放、平移、旋转）与坐标系的重要桥梁，为后续学习二次函数图像的变换、乃至高中阶段的解析几何思想埋下伏笔。

从数学知识的内在逻辑看，位似揭示了图形在保持形状完全相同（即相似）的前提下，通过一个特定的点（位似中心）进行缩放变换的规律。这种变换观念，是现代数学的重要思想。从应用价值看，位似广泛应用于工程制图、地图测绘、计算机图形学、影视特效（如绿幕抠像与合成）等领域，是数学联系现实世界的典范。

九年级学生已具备一定的逻辑推理能力、空间想象能力和归纳概括能力。他们熟悉了相似图形的“形似”特性，但对于图形间特定的“位似”位置关系尚属新知。学生可能的认知难点在于：1.准确理解位似定义中“对应点连线相交于一点”且“对应边平行”的双重条件及其等价性；2.区分位似与相似、位似与中心投影的关系与区别；3.在平面直角坐标系中，灵活运用位似比（k）的正负来判定位似图形的位置关系（同侧与异侧）。此外，学生可能对“位似中心可以在图形内部、外部甚至边上”这一情形感到抽象。

因此，本节课的设计将超越对定义与性质的简单识记，致力于引导学生经历从生活实例抽象出数学概念，通过动手操作、猜想验证、逻辑证明构建知识体系，并在复杂的多情境问题中灵活应用，达成对位似几何本质的深刻理解，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.理解图形的位似概念，能准确叙述位似图形的定义，并能识别生活中的位似现象和数学中的位似图形。

2.掌握位似图形的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于位似比；对应边平行或在同一直线上；位似图形是特殊的相似图形。

3.能够利用位似原理，将一个图形放大或缩小。熟练掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的多边形位似变换的坐标规律。

4.能够综合运用位似的概念与性质，解决涉及证明、计算和作图的综合性问题。

（二）过程与方法

1.经历观察、操作、测量、猜想、证明等数学活动，探索位似图形的性质，发展合情推理与演绎推理能力。

2.通过将图形置于坐标系中研究，体会数形结合思想与坐标法在几何研究中的威力。

3.在解决实际问题的过程中，建立“实际问题—几何模型—数学求解—解释应用”的数学模型思想。

（三）情感态度与价值观

1.通过欣赏自然界（如雪花、晶体）和人类创造（如艺术品、建筑设计）中的位似图案，感受数学的对称美、规律美与普适性。

2.在探究活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

3.认识到位似知识在科技、艺术、工程等领域的广泛应用，体会数学的实用价值和社会价值。

三、教学重点与难点

1.教学重点：位似图形的概念及其基本性质；在坐标系中以原点为位似中心的图形变换。

2.教学难点：位似概念中双重条件的深度理解与辨析；位似比k的绝对值与符号的几何意义的区分与综合应用；复杂背景下构造位似图形解决问题。

四、教学准备

1.教师准备：高清多媒体课件（内含丰富的位似图片、动画演示、例题与变式）；几何画板软件（用于动态演示位似变换过程）；实物投影仪；三角板、圆规等作图工具。

2.学生准备：复习相似多边形的定义与性质；预习教材相关内容；准备直尺、量角器、圆规、方格纸、坐标纸。

五、教学过程

（一）创设情境，激趣引新（预计用时：8分钟）

活动一：现象观察

课件展示一组图片：

1.电影院放映机将胶片影像投射到巨幕上的示意图。

2.透过小孔成像装置看到的蜡烛火焰的倒像。

3.同一底片洗印出的不同尺寸的照片。

4.一组具有“自相似”结构的分形图案（如谢尔宾斯基三角形）。

教师引导：请同学们观察这四组图片，思考它们中的图形之间有什么共同特征？（学生可能回答：形状一样，大小不同；是放缩关系……）那么，这种放缩变换与之前学过的平移、旋转、轴对称变换有何不同？与一般的相似又有什么区别？

活动二：操作感知

任务：在发给每位同学的方格纸上，已有一个△ABC。请任选一点O，连接OA、OB、OC，分别在射线OA、OB、OC（或其反向延长线）上截取OA‘=2OA，OB’=2OB，OC‘=2OC，连接A’B‘C‘，得到△A’B‘C’。

1.测量∠A与∠A‘，∠B与∠B’，∠C与∠C‘的大小关系。

2.测量边A’B‘与AB，B’C‘与BC，C’A‘与CA的长度比。

3.观察边A’B‘与AB，B’C‘与BC，C’A‘与CA的位置关系。

4.改变点O的位置（在△ABC内部、边上、外部），重复上述过程，你的结论是否依然成立？

学生动手操作、测量、记录，小组内交流发现。

设计意图：从视听结合的丰富实例引入，迅速聚焦于“通过一个点的放缩”这一核心特征，并与已学变换进行对比，制造认知冲突，激发探究欲。动手操作环节让学生亲历位似图形的“生成”过程，获得丰富的感性材料，为归纳抽象定义奠定坚实基础。

（二）探究新知，建构概念（预计用时：15分钟）

1.归纳定义，剖析内涵

教师选取几位学生展示其作图成果（包括O在不同位置的情况），引导学生用数学语言描述其共同特征。

师生共同归纳，得出位似图形的定义：

如果两个相似多边形所有对应顶点的连线都经过同一个点，并且对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。此时的相似比又称为位似比。

关键剖析：

1.“对应顶点连线交于一点”（共点性）与“对应边平行”（平行性）这两个条件是等价的，在定义中同时出现是为了强化认知。可以通过几何画板动态演示，当满足共点性时，平行性自然成立；反之亦然。

2.强调位似是一种特殊的位置关系，而相似是一种形状关系。位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。位似是“定位”的相似。

3.位似中心的位置：可在图形外、图形内、图形边上或顶点上。通过几何画板动态变化位似中心的位置和位似比k的值，让学生直观感知各种情况。

4.位似比k：k=新图形与原图形的相似比。当k>1时，图形放大；当0<k<1时，图形缩小。特别地，当k=1时，图形全等，这是位似的特例。更深入地，k可以为负数，这将在坐标系中重点探讨其几何意义（位于位似中心两侧）。

2.猜想性质，推理验证

基于之前的操作活动，学生已对位似性质有了初步猜想。教师引导学生将猜想系统化：

1.性质1（核心性质）：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比|k|。即PA‘/PA=PB’/PB=…=|k|。

2.性质2：位似图形的对应边平行（或在同一直线上）。

3.性质3：位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质（对应角相等，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方）。

理性升华：如何证明性质1？以一对对应点A、A‘和位似中心O为例，由定义知O、A、A’共线，且A‘B’//AB。如何建立PA‘/PA与整体位似比的联系？引导学生利用相似三角形（△OAB∽△OA‘B’）进行证明。此过程将操作感知上升到逻辑推理，完善认知结构。

设计意图：摒弃直接灌输定义的方式，让学生在活动基础上自主归纳，教师进行关键点的精准剖析和深化，突出数学的严谨性。性质的探究遵循“实验-猜想-验证（证明）”的完整科学探究过程，培养学生的理性思维。

（三）典例精析，深化理解（预计用时：25分钟）

本环节将采用“概念辨析→坐标应用→综合建模”的梯度展开。

例题类型一：位似的识别与概念辨析

例1：判断下列各组图形是否为位似图形。若是，请指出位似中心和位似比；若不是，请说明理由。

（图略，描述如下）

1.一组平行线截得的两个三角形。

2.中心投影下的物体与其影子（物体与投影面平行）。

3.放大镜下的数字与其虚像（假设放大镜是理想凸透镜）。

4.两个半径不等的同心圆。

引导学生分析：判断位似的核心依据是定义中的两个条件（共点且平行）。例1中，（1）只是相似，对应点连线不共点；（2）是典型的位似；（3）是位似（虚像与实物在位似中心同侧）；（4）是位似，位似中心是圆心，对应边（圆周）可以看作平行吗？深入讨论圆作为曲线图形的特殊性，其“对应边”可理解为对应点处的切线平行，这超出了初中范围，但可以从对应点连线共点且每一对对应点与圆心距离比恒定来理解其位似本质。

例题类型二：坐标系中的位似变换

例2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,1)，C(2,4)。

（1）以原点O为位似中心，位似比为2，画出△ABC放大后的位似图形△A‘B’C‘。并写出顶点坐标。

（2）以原点O为位似中心，位似比为-1/2，画出△ABC缩小后的位似图形△A’‘B’‘C’‘。并写出顶点坐标。

（3）观察（1）（2）中所得图形与原图形的位置关系，你能发现什么规律？

（4）若位似中心不是原点，而是点P(2,1)，位似比为3，你能求出此时△A‘B’C‘的顶点坐标吗？（选讲，拓展）

学生独立完成（1）（2）的作图与坐标计算。教师引导学生总结规律：

以原点O为位似中心，位似比为k，原图形上点(x,y)的对应点为(kx,ky)。

重点讨论：当k>0时，对应点与原点在同侧（同向位似）；当k<0时，对应点与原点在异侧（反向位似）。|k|决定缩放倍数。

对于（4），教师引导进行坐标平移变换：先将P点平移至原点，相应平移△ABC各点坐标，进行位似变换，再平移回去。渗透“复杂变换分解为基本变换”的思想。

例题类型三：位似的综合应用与作图

例3：如图，有一块不规则的空地（多边形ABCDE），现欲在其内部规划一个与原区域形状相同的儿童游乐区，要求位似中心设在观测塔P点，且面积是原空地的1/4。请你利用尺规作图，确定该游乐区的边界。

分析：面积比为1:4，则位似比为1:2。问题转化为以P为位似中心，位似比为1/2，作出多边形ABCDE的位似图形。关键是如何用尺规作出各顶点的对应点？引导学生利用性质1：连接PA，如何找到点A‘使得PA’=(1/2)PA？回顾线段的缩放作图方法（构造平行线或利用中位线）。教师示范一个点的作法，学生尝试完成其余点，最终连接成图。强调作图规范与原理。

设计意图：例题设计层层递进，覆盖核心考点。类型一强化概念本质，辨析易错点；类型二聚焦于中考热点——坐标系中的位似，归纳出简洁的坐标公式，并初步渗透变换的复合；类型三回归位似的本源应用——作图，将面积比转化为位似比，考察学生的知识迁移与尺规作图能力。

（四）巩固练习，拓展迁移（预计用时：20分钟）

阶梯练习A组（基础巩固）

1.下列说法正确的是（）

A.两个全等图形一定是位似图形

B.两个位似图形的位似中心只有一个

C.位似中心到对应点距离之比相等

D.位似比等于1时，是位似但不是全等

2.已知△ABC与△A‘B’C‘是位似图形，位似比为2:3，若AB=4cm，则A’B‘=____cm；若△ABC的面积为9cm²，则△A’B‘C’的面积为____cm²。

3.在平面直角坐标系中，已知点A(6,8)，以原点O为位似中心，位似比为1/2，则点A的对应点A‘的坐标是_________。

阶梯练习B组（能力提升）

4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F。请找出图中的位似图形，并指出位似中心。

5.某社区准备在一块三角形草坪上设计一个微缩水景，要求水景区域与草坪区域位似，且位似中心设在草坪的一个顶点上，水景面积是草坪面积的1/9。请你设计出水景区域的示意图，并说明作图步骤和依据。

阶梯练习C组（思维拓展）

6.（跨学科联系）在物理的光学中，凸透镜成像规律是物体距离u、像距v和焦距f满足公式：1/u+1/v=1/f。当物体和屏幕的位置固定时，可以通过移动透镜找到两个位置都能在屏幕上成清晰的像，且这两个像的大小之比等于位似比。请你从位似图形的角度，尝试解释这一“共轭成像”现象。（提示：将物体与像视为位似图形，透镜光心可视为位似中心）

7.（探究题）我们知道，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的变换规则是(x,y)→(kx,ky)。如果位似中心是任意点Q(a,b)，位似比为k，请你类比平移变换的坐标规律，推导出此时的坐标变换公式。

设计意图：练习设计体现分层，满足不同层次学生需求。A组紧扣双基，确保全体学生掌握主干；B组侧重知识综合与作图应用；C组进行跨学科融合与公式推导的深度探究，旨在发展学生的创新思维和迁移能力，体现“顶尖”教学的挑战性。

（五）课堂小结，体系升华（预计用时：7分钟）

引导学生以思维导图或知识树的形式，从以下维度进行自主总结：

1.知识层面：我今天学到了一个什么核心概念？（位似）它的定义是什么？（两个条件）它有哪些核心性质？（三点）在坐标系中如何表示？（坐标公式）

2.方法层面：我们是怎样研究位似的？（从生活到数学，从操作到证明，从特殊到一般）研究图形变换的一般思路是什么？（定义→性质→判定→应用→坐标表示）

3.思想层面：本节课蕴含了哪些重要的数学思想？（变换思想、数形结合思想、模型思想、类比思想）

4.联系层面：位似与之前学过的相似、全等、平移、旋转、轴对称有何联系与区别？它在数学内部和现实世界中有哪些应用？

教师进行最终提炼，强调位似作为“定位的相似”这一本质，及其在沟通图形形状与位置关系中的枢纽作用。

（六）布置作业，分层落实

必做题：

1.教材对应章节的课后练习。

2.完成本节课的课堂练习A、B组题目。

3.撰写一篇数学日记，记录本节课最让你印象深刻的一个知识点或一道题，并说明理由。

选做题：

1.完成课堂练习C组题目。

2.探究任务：利用几何画板或编程软件（如Python的turtle库、matplotlib库），尝试编写一个程序，输入一个多边形的顶点坐标、位似中心和位似比，程序能自动输出并绘制出位似后的图形。

3.小课题研究：寻找并拍摄生活中至少3个位似现象的实例，制作成简易的图文报告，从数学角度进行分析。

六、板书设计（纲要式）

课题：图形的位似

一、定义

两个相似图形+对应点连线交于一点(位似中心O)