考研数学二（线性代数）模拟试卷22

考研数学二（线性代数）模拟试卷22

一、选择题（本题共9题，每题7.0分，共9分。）

2x-ar13

23JC-12

12-x1

1、123z中x3的系数为（）

A、2

B、一2

C、3

D、一3

标准答案：B

知识点解析：按第1行展开：

27-x

2-1

3x

2

其中第1,3,4项都

没有x3的因子，所以只分析第2项.又因为第2项一（一x）13x的行列式

中只有主对角线上元素的乘积是x2项，所以行列式展开式含x3项的系数是一

2.由行列式展开定理，只有ai2A]2这一项有可能得到P项，又ai2A12=一（一x）

2-12|12-10I

1-x1=J:1-J0

3彳-1=x(x—1)(—2x+1)=—2x3+....所以行列式中x?

项的系数就是一2.故应选（B）.

a3

ana\z田3a14a”i2^QIY：

2

a2\々22023a24。21厂.I22a23ca24c

=m,cXO,则

a3i032^33034a32c033a34c

fl

41042043。41厂a"2。43144

2、设等于（）

-2

A、cF

B、m

C、cm

D^c3m

标准答案：B

知识点解析：由

a/a"

丽01152ca1/

1aQ23ca24?

22fl2i。22《Q23c2。24c3

=「1.r-sJ13

«3ic~2ac~},a•ca32cdjsC2ac3

nJ3134cu

"3"T"7a42ca"a^c3

anai2a】3〃i4

a2ia22423a24

二(L)C—=m.

a3Ia3243034

°41424344故先

(B).

3、一个值不为零的n阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值（）

A、保持不变

B、保持不为零

C、保持相同的正、负弓

D、可以变为任何值

标准答案：B

知识点解析：三类初等变换，都保持行列式不为零.

4、设ai，。2，«3，Pi»的都是四维列向量，KISt阶行列式Iai，。2，013,piI

=m,Iai，。2，02,。3I=n,则四阶行列式I（13，必川，01+例I等于（）

A、m+n

B、一（m+n）

C、n-*m

D、m一n

标准答案：C

知识点解析：因I。3，我2，。1，P1+P2I=I(X3，8、(X|,PlI+I。3，(X2，囚，［hl

=一Iaj,a2，as，PiI-Iai，a2，as，的I=一Iai»az，013,PiI+Iai，c(2,

p2»a3I=n_*m.应选(C).

anx^anx2-\-----FauxH=6)，

々2】+&2力■!-----HaY”=bt，

5、线性方程组〔。7为+^畿^^---\-amin^bn.则有()

A、若方程组无解，则必有系数行列式IAI=0

B、若方程组有解，则必有系数行列式IAI#)

C、系数行列式IA|=0,则方程组必无解

D、系数行列式IAI网是方程组有唯一解的充分非必要条件

标准答案：A

知识点解析：方程组无解，则有IAI=0.(反证，若IAI=#)，用克拉默法则,

方程组必有解)；(B)方程组有解，IAI可能为零，也可能不为零；(C)IAI=0,

方程组也可能有解；(D[IAI#0,则方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一

解，贝WAI一定不为零.

bx\一心2=-2。6,

5-Zcxi+36x3=bc.

6、线性方程组区+必=0，则()

A、当a,b,c为任意实数时，方程组均有解

B、当a=0时，方程组无解

C、当b=0时，，方程组无解

D、当c=0时,方程组无解

标准答案：A

知识点解析：因a=0或b=0或c=0时，方程组均有解，且系数行列式

b-a0

|A|=0-2c3b=-5abc.

c0”当abc，0时，由克拉默法则知，方程组有解，且

abc=O时也有解，故a,b,c为任意实数时，方程组均有解.

7、设A,B是n阶矩阵，则下列结论正确的是()

(A)AB=OQA=O且8=0(B)|A|=0QA=O

(C)：AB|=(X=>|A|=0或|B|=0(D)A=Es|A|=l

A、

B、

C、

知识点解析:AB=(E-aTa)(E+2aTa)=E+aTa-2aTaaTa=E+aTa-2aT(aaT)a,

士

T

o

萩=「4,0,…:_1

其中~T9

0

故AB=E+a，a—2•~a1a=E.

乙

二、填空题（本题共6题,每题分，共6分。）

abed

工00»

y00x

标准答案：J2一

a

其中a,b,c,d,X,y，z,w是任意常数，WIJIAI

aba+6

ba+ba

12、设a,b,a+b均非0,行列式0+bab等于

标准答案：一2(a2+b?)

知识点解析：将第2,3行加到第I行上去，提出公因子2(a+b)后，再将第1列的

一1倍加到第2,3列，得到

aba+6111100

ba+6a=2(。+。)ba+ba=2(a*6)baa-b

a~\~baba+6

aba+6-6-a=2(a+b)(一

a2+ab—b2)=-2(a3+b3).

13、已知A,B为3阶相似矩阵，Xi=l,入2=2为A的两个特征值，行列式IBI

(A+E)TO

=2,则行列式0(25)・=

64

标准答案：3

知识点解析：设入为A的另一特征值，则由A〜B知，1AI=IBI=2,且

九］入2入3=IAI=2,可见入3=1，从而A,B有相同的特征值入1=1,12=2,13=1.于

2233

是有IA+EI=(X1+1)(X2+1)(X3+1)=12,I(2B)I=I2B*I=4IB*I=4IBI

(A+E)-】=|A+EL・|(2B)・|=笑

3

2=256,故(2B)・

-011-11'

101-11

110-11

•••••

•••・•

111-01

14、设n阶矩阵A二L111­••10.,则1AI二

标准答案：(一1尸i(n—1)

知识点解析：

011•••11n-1In-1•••n-1I

1C1•••11]01•••11

110•••11110•••11

A|=••*・♦2^5■•***

•••.••■*■**•

111•••01]11•••01

111•♦・10]11•••10

111•••1111111

101•••110-10…00

110•••1100-1•••00

=(n-1)••••*=(n-l)■■*.*•

*•••■.•■■*■•■*

111•••01000•••—0

・・・

111•••10000o-1

15、设人=[€11，(12，as]是3阶矩阵，IA|=4,若B=[ai—3a2+2a3，U2~~2aa,

2012+(x3]，贝1JIBI=.

标准答案：20

知识点解析：利用行列式的性质.IBI=—Iai3a2+2013,a2—2a3，5a3I=5I

ai一3a2+2a3,a2一2a3，(13I=5Iai—3a2，(13I=5Iai，(12，013I=20.

三、解答题（本题共75题,每题1.0分，共万分。）

ab0•••00

0ab…00

00a00

■•••

■*••■*

000ab

16、计算行列式b00•••0

标准答案：按第一列展开，得

ab000

0ab•••00

D.=：：

00

b0

ab0•••00b00…00

0ab•••00ab0•••00

■.*•.••

a■*•**•■•十(-DF:•••■

000•••ab000b0

000•••0a000ab

知识点解析：暂无解析

XXXN+工

17、计算行列式n

1+(2xxx

。i0•••o

1r.,n(n+l)I

抽i十一T-"」

004•••0

J

*

•••—1

标准答案:n

知识点解析：暂无解析

a+£ap0…00

1a+pap…00

01a+/?-00

•••••

•♦••♦••・•♦

000•••a+0用

18、计算Dn=0001a+0

标准答案：把Dn按第一行展开,得Dn=(a+P)Dn—一部

1硝0•••00

0Q+夕aP…00

01a+/9・・•00

•••■・

••••••■••

000・・•a+f邛

0001a+p一①把递推公式①改

i=(a+B)Dn-iaPDn

写成Dn-aDn-1邛(Dn-1—。4-2)，②继续用递推关系②递推，得Dn—aDn

22

-l=p(Dn-1一aDn-2)=『①n-2—CtDn-3尸…寸”(D2-aD。,而D2=(a+p)-

n2n

ap,D|=a+p,Dn—aDn-i=p(D2-aDi)=p,③③式递推得Dn=aD「

nn11nnn22n

i+p=a(aDn-2+pb+P=...=a+a'p+ap+...+ap俨.除了将①式变

形得②式外，还可将①式改写成Dn—0DL]=a(DLL0Dn-2).④由④式递

nn+1n+1

推可得Dn—pDn-I=a,⑤③X。一⑤xa得(p—a)Dn=p+a,p一a^OE寸,

0・+i—产

有Dn=厂。=pn+apn'+...+pan'+an.

知识点解析：暂无解析

19、已知n(nN3)阶实矩阵A=(aij)nxn满足条件：⑴aij=Aij(i,j=l,2,…，n),其中

Aij是ag的代数余子式：(2)aii#).求IAI.

标准答案：由已知aij=Aij,所以A*=AT,且AA*—AAT=|AIE.两边取行列式

得IAAT|=|AI2=||AIEI=IAIL从而|AI=1或IAI=0.由于

222

a/0,可知IAI=ajiAn+ai2Ai2+...+ajnAin=aji+ai2+...+ain>0.于是IAI

=1.

知识点解析：暂无解析

20、IAl是n阶行列式，其中有一行（或一列）元素全是1,证明：这个行列式的

全部代数余子式的和等于该行列式的值.

标准答案：不失一般性，设

又因

故

1川=:Au=+---2XA9-

j'l,■】j.1/.1.7j.1

知识点解析：暂无解析

1-XX000

-11-xX00

0-11-XX0

00一11-xX

21、计算D5二000-11-X

-1X

01-zx

-11-ZX

标准答案：按第一行展开D5（l—X）D4—X-11一”二（1一

X）D4+XD3,得到递推公式D5—D4=一X（D4一Ds）=...=一X3（D2一

由于。2=1:/=1-z+3,D]=l—Z,于是得

-1I-X

产-。4=一/，

JD4-D3=ZS

DI）.iDj-ft=-x3,容易推出口5=—*5+*4—

X，+D2=一x5+x4-x3+x2-x+1.

知识点解析：暂无解析

a?+〃+/+/

=/+〃+/+/

-d+y+j+d

标准答案："+〃+《?+/

=(a2+b2+c2+d2)4.故原xt=(a2+b2+c2+d2)2.

知识点解析：暂无解析

2x-l3xH-l4x

厂产(x+1)2N+3

sinxarctan(z+1)ln(l+x)2x+1，试证明：三

tanxarcsinx4--y-e*-13x4-1

23、设f(x)=4眄0,1),使得

f©=o.

标准答案：f(x)显然在［0,1］上连续，在(0,1)上可导.而

-1110

1244

e-1113

1244

/(0)=0v01=0,/(1)=sin1arctan2In23=0.

4

3K

o4oitan1Te-l4

4可知f(x)在［0,

1］上满足罗尔定理的条件,故土6(0,1)，使得f©=0。

知识点解析：暂无解析

011-11

10x•••xx

1x0zx

•••••

•••••

1zx0x

24、计算Dn二1xI•••x0,其中n>2.

标准答案：把第1行的(一x)倍分别加到第2,3,…，n行，得

011-11

1-X0-00

10-x-00

D产••・••*

•・••••

100—x0

1

100-0-x当x翔时，再把第j列的3倍加到第1列

(j=2,…，n),就把Dn化成了上三角行列式

日11…11

X

0—x000

00—x…00=(-I),-1(n—l)x"-21

•••••

•••••

000—x0

0000~~x当x=0时，显然有

Dn=O,所以总有Dn=(—l)n2(n-l)xn2

知识点解析：暂无解析

010•00

001-00

•••••

A=•・••••

000-01

10。一

25、设A为10x10矩阵，_1000•••0计算行列式1A一

九E1,其中E为10阶单位矩阵，一为常数.

标准答案：IA—3EI按第一列展热,3°一1()1°.

知识点解析：暂无解析

26、A为n(应3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明:

(l)aij=Aij4——>ATA=E3.IAI=1；(2)aij=—Ay*——»ATA=ES.IAI=—1.

标准答案：(1)当aij=Aij时，有AT=A*,则ATA=AA*=IAIE。由于A为行阶非零

•■

VV

实矩阵,即不全为0,所以tr(AA,尸，1呵>0.ffitr(AAr)=tr(IAIE)=nI

AI,这说明IAI>0。在AAT=IAIE两边取行列式，得IAIL2“|A|

=1.反之，若人丁人=£且IAI=1,则A*A=