考研数学二（解答题）模拟试卷153

考研数学二(解答题)模拟试卷153

一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)

Jim晅l1cos”

1求极限:

标准答案：

sinj=x—-ro(x4)»cosx=1-+o(x3)(%-*0),故

3!4!

工得一](一看)+。8..信/四+。(炉)

sinm-zcos工1

lim-----------------3----------------=]1m3~

sin3xJT---------------------JT3

知识点解析：暂无解析

2、设a=(ai，2，…，a/是R"中的非零向量，方阵A=aal⑴证明：对正整数

m.存在常数t.使Am=tm」A,并求出I；(2)求一个可逆矩阵P,使P/AP=A为对

角矩阵.

V

标准答案：(12"，=(0101^(。/，..(01013=(1(01«)"%丁=(0101)*'(01011)=(31aj2)111-1A=tm-

A其中t=国(2)A,O,W秩(A)二秩(aa1秩(a)=l,秩(A)=l,因实对称矩阵

A的非零特征值的个数等于它的秩，故A只有一个非零特征值，而有n-1重特征值

X|=X2=...=Xn-i=0.设aiNO,由0E-A->A=,得属于特征值0的特征值可取为：

5i=.由特征值之和等于A的主对角线元素之和，即0+0+…+0+储户aF,得

2TTT

Xn=ai=aa,iAa=(aa)a=a(aa)=aZn=XnaRa^O,得与入n对应特征向量为a，令

P=®,2…，射-1，a],则有P“AP二diag(O,0,0,#)为对角阵.

知识点解析：暂无解析

1-

-------aretan2

3、设f(x)=1+e-工，求f(x)的间断点，并分类.

标准答案：显然x=0,x=l为函数f(x)的间断点.f(0-0)=

lim/(x)=一1J，/(0+0)=lim/(JT)—J•]-r-e%»

…21-He--广2l+「因为f(o.

0)*(0+0),所以x=0为f(x)的跳跃间断点；f(0-0)=

lim/(x)=1-r0)=limf(x)=手lim-----=0,

x-r4x-i*4当+e力因为f(l-

0)#(1+0),所以x=l为f(x)的跳跃间断点.

知识点解析：暂无解析

/(JT)=［-2~~粤工7由

4、求函数J.尸-2,十】在区间［e,e2］上的最大值.

ln(1+e)一：令一

标准答案：】+e.

知识点解析：暂无解析

1

心;。⑼-住）',…'

5、设随机变量X的分布函数为0.4WQ,其中参数a>

0,p>l.设Xi，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.⑴当。=1时，求未

知参数B的矩估计量.⑵当a=l时，求未知参数口的最大似然估计量.(3)当。=2

时，求未知参数a的最大似然估计量.

标准答案：当a=l时，X的概率密度为

，7声>1，

/(式⑼=

0,xW1.

(1)因为

E(X)=/虫#；6)dx=(4备&=^~['

令=元解得6=/一,所以参数6的矩估计量为

P-1X-1

A=W-

X-I

(2)对于总体X的样本值x,，Z，…,似然函数为

,X,>1,<=1.2.—,n

=口/(/；6)=(孙，巧,•工尸”

0,其他.

当阳>l(i=1,2「“)时,”3)>0,取对数得

lnL(/3)=，山甲-(5+1)[1nx,

对6求导数，得

业必包=2_S1ax

单641

典⑻,

令叨一°0，

所以参数力的最大似然估计量为

P=-——

(3)当6=2时,X的概率密度为

12a2

/(x；a)=K%

-0,%Wa.

对于总体X的样本值z,多，…•似然函数为

2

2"a"3>a,*=1

L(a)=f|f(xt；a)=(Z|X2-xj

0,其他.

当天>a(i=1.2,…,n)时］(a)>0,且a越大4(a)越大•因此a的最大似然估计值为

a=min|x,,x2,

a的最大似然估计量为

a=minlM…，X.|,

知识点解析：本题是常规题型，考查连续型总体的参数估计.按照主要步骤逐步求

解.需要先利用导数求出总体的概率密度.通过似然方程无法求得参数的估计量

时，要结合最大似然估计法的原理得出估计量.

6、设D=((x,y)Ix2+y2<^',x>0,yK)},[1+x?+y2]表示不超过1+乂2+『的

I-ryCl+x2+，]d_rdy.

最大整数.计算二重积分七

3

标准答案：8

知识点解析：暂无解析

7、求微分方程yy"+(y，)2=0的满足初始条件y(O)=l,y，(0尸2的特解.

标准答案：由yy''+(y'-=0得(yy')'=O,从而yy'=Ci，

进一步得(；/)'=G.于是=Ctx+C2.

由y(O)-1./(())•得Cl-Cz—:，故y―4工I1.

知识点解析：暂无解析

8、求不定积分J(arcsinx)2(lx.

[(arcsinx)2dr=x(arcsinx)2—f2工/csin益工

JJ

=jr(arcsinx)2+2卜resinxd(>/l-x2)

标准分室.=a(arcsinx)24-2-/I-arcsin1一2N+C

知识小脑析：暂无解析

9、)。(2/+D/TTP-

1

arctan—

标准答案：2

知识点解析：暂无解析

T

设二次型f(xi，X2，X3)=XAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中

101

011

B=l-1-1-2.

10、求正交变换X二QY将二次型化为标准形；

标准答案：由AB+B=O得(E+A)B=O,从而r(E+A)+r(B)&3,因为r(B)=2,所以

r(E+A)<l,从而X=-l为A的特征值且不低于2重，显然V-1不可能为三重特征

值，则A的特征值为入1=入2=1，入3=5.由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=O的

10

0=1

解，故山」一1.-1J为X1=X=-1对应的线性无关解.冈

2令Q3=为X，3=5

对应的特征向量,因为AT=A,所以

知识点解析：暂无解析

11、求矩阵A.

-100-100122

0-10得A=Q0—10(f=212

标准答案：由QTAQ二005005221,

知识点解析：暂无解析

12、已知n阶矩阵A的每行元素之和为a,求A的一个特征值，当k是自然数时,

求人及的每行元素之和.

标准答案：A的每行元素之和为A,故有即A是A的一个特征

值.又Ak的特征值为且对应的特征向量相同,即

的每行元素之和为at

知识点解析：暂无解析

13、设A是nxn矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0,证明：A=O.

标准答案：由于对任何x均有AX=0,取X=[l,0,0]T,由

rll

得an=a2i=...=ami=0.类似地，分别取X为ei=[l,

T

0,…，0]]，e2=[0,1,0,...»0],en=[0,0,…，1厂代入方程，可证每个

aij=0,故A=0.

知识点解析：暂无解析

'21r

A=121,

14、已知a=[l,k,是A”的特征向量，其中12」求k及a所对应

的特征值.

标准答案：由题设A"a=Mt,l是A"的对应于a的特征值，两端左边乘A,得

1记

a=XAa,A"可逆,及0,对应分

12+24=%,

量相等，得13+4=〃，得2+2k=k(3+k),k?+k—2=0,得k=l或k=一

2.当k=l时，a=[l,1,1]T,「4：当k=-2时，a=[l,—2,1]T,p=l.

知识点解析：暂无解析

lim/*(x)se,)]

15、已知f(x)在(-8,+oo)内可导，且i1•㈠«-

求C的值.

若c=0,则lim(")=1,若"。,则

lim(—)=lim[(1♦互)"e".

标准答案：,一口«/-IlAC)J由拉格朗

日中值定理，有f(x)-f(x-1)=「(1).1,自介于X—1与X之间.当X-8时，&-8,

lim[/(x)-/(«-!))=e.e"=e,故c=!.

故―—于是，由题设条件可得2

知识点解析：暂无解析

16、设%、脑分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X]、Xn分别为对应

VTAY

/(X)=与**mwo

于猫和猫的特征向量，记AA求三元函数f(xi，

X2，X3尸3xJ+2X22+3X3、2X[X3在X/十X2，X3J1条件下的最大及坡小值，并求出最

大值点及最小值点.

标准答案：f的最小值=aa=f(0,1,0)=2,f的最大值=

嗓"嚎

知识点解析：暂无解析

17、设半径为R的球面S的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a>0)上，问R取何值时，球

面S在定球面内的面积最大？

I/=a'

标准答案：设球面S：x2+y2+(z-a)2=R2,由+«+«—。)=用得球面S在定球

内的部分在xOy面上的投影区域为

D32+X崇(4/-R2).

球面S在定球内的方程为S,z=a—JR—,

dS=/\彩可山•△，所求面积为S(R)=IT-=3==drdy=2nR2-^R\

令S'(R)=4通-电Q=0,得氏=条

aa

因为5r传)=一4芯<0,所以当R=当时球面S在定球内的面积最大.

知识点解析：暂无解析

18、设函数股)二阶连续可导，f(0)=l且有”)+3Jo卬⑴dt+2xf(Jf(t%)di+e—%=

0,求f(x).

标准答案：因为xfoTtx)dt=Jo*(u)du,所以畋)+3卜即⑴出+2批1的0出+«-%=0

可化为f(%)+3j()守(t)dt+2j()阳t)dt+e-，=0,两边对％求导得f”(劝+3「(力+2敢)

=ez,由#+3