经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷8

经济类专业学位联考综合能力数学基础

(线性代数)模拟试卷8

一、单项选择题(本题共12题，每题1.0分，共12

分。)

工1231r

2-1二十14

0x24

1、设多项式f(x)=N-l】。5,则f(x)的4阶导数a(x)=().

A、72

B、18

C、-18

D、-72

标准答案：A

知识点解析：根据行列式的各项由不同行不同列的元素组成的规则及行列式中含有

变量x的各元素的位置，可知该行列式为四次多项式，因此，求解的关键是找出含

X’的项，显然，该项在行列式副对角线的元素乘积中产生，即为3x4,从而得到

*(x)=72,故选A.

x12+z'

224

2、设函数f(x)=31+24-x,则方程F(x)=0().

A、有一个大于1的根

B、有小于1的正根

C、有一个负根

D、无实根

标准答案：B

知识点解析：根据行列式的一般项由不同行不同列元素组成的规则，函数f(x)为二

次多项式，存在唯一驻点.又f(x)在闭区间［0,1］上连续，在开区间(0,I)内可

012113

/(0)=224=0./(1)=224=0.

导，且324333由罗尔定理可知,存在一点

年(0,1),使得r(9=o，即方程r(x)=o有小于1的正根.故选B.

3、设A,B均为n阶矩阵，且A可逆，下列结论正确的是().

A、若A=2B,则|A|二2|B|

B、|B|=|AJBA|

C、|A-B|=|B-A|

D、|AB|=-|BA|

标准答案：B

知识点解析：选项B,由矩阵和行列式的关系，|A「BA|二|A』|B||A|二|B|,其中|A

|||A|=1,故选B.选项A,由网二|213|=2怔|,知|A隹2|B|.选项C,由|A-B|二|一(B

-A)|=(-l)n|B-A|,知|A-B罔B-A|.选项D,由|AB|二|A||B|二|B||A|二|BA|,知

|AB印一|BA|.

4、设A为mxn矩阵，E为m阶单位矩阵，则下列结论不正确的是().

A、A’A是对称矩阵

B、AAT是对称矩阵

c、ATA+AAT是对称矩阵

D、E+AAT是对称矩阵

标准答案：C

知识点解析：选项C,由题设，ATA是n阶方阵，AAT是m阶方阵，两者加法运

算不成立，故选C.选项A,由(A「A)T=AT(AT)T=ATA,知A’「A是对称矩阵.选

项B,由(AAT)T=(AT)TAT二AA、知AAT是对称矩阵.选项D,两个m阶对称矩

阵AAT和E构成的矩阵仍是对称矩阵.

5、设A为可逆矩阵，BIJ[(A-1)T]-,=().

A、A

B、A-1

C、AT

D、(A-,)T

标准答案：C

知识点解析:由(A」)T(AT)=(AA「)T=E,知[(A「)T[=AT.故选C.

6、设A为3阶非零方阵，Aij为aij的代数余子式，且aij=Aij(i,j=l,2,3),则

().

A>|A|=0

B.|A|=1

C、|A|<0

D、A=E

标准答案：B

知识点解析：选项B,由AWO,知至少有一个元素非零，不妨设au¥0,于是有

|A|=anAu+ai2Ai2+ai3A|3=a]i2+ai22+ai32>0,又由A=(aij)=(Aij)=(A")T,AT=A*',

即有|A-二|A*|二|A|2,从而得|A|=1.因此，选项A和C均不正确，故选B.选项

001

010

D,见反例：取A=—l。同样满足条件a。=Ag（i,j=l,2,3）,但ArE.

0）fO）1-1

o,a=1必=-1a=1

7、设ai=〔cj[c2cCi

2其中C[,C2，C3，C4为任意常

数，则下列向量组一定线性相关的为（）.

A、aj,a2，。3

B、ai,Q2,04

C>ai,a3，04

D、a2，a3，eq

标准答案：C

知识点解析：本题主要考查数值向量组的线性相关性.在维数与向量组向量个数相

01-1

=0-11

同时，应采用行列式的值是否为零判别最简便，由|ai，（X3,041GQJ

=0.知ai，a3，04线性相关.另外，由观察可知（C3+C4）ai=ci（a3+O4），从而知

ai，Q3，04线性相关，故选C.

8、设向量组ai，a2，a3线性无关，则下列向量组线性相关的是（）.

A^aj—a2»a2—a3»a1—ai

B、ai+a2，a2+a3，（13+ai

C、a1一a3，013—a2，a2+ai

D、a1,no-«3，门2+〃3

标准答案：A、

知识点解析：选项A,两向量组的关系可表示为（四一（12，。2—a3，as-ai）

10-110-1

=（ai,。23）-10-110

1।其中转换矩阵为Ai

00一11,且由

|Ai|=0,知该向量组线性相关.故选A.选项B,由（ai+a2，a2+a3，a?+ai）

1011101

=（a）,az，。3）1101=110

。1I其中转换矩阵为A2011）且由|A2|=2M，知该向量

101

=（Ci,a?«（XH）0-11

组线性无关.选项C,由（cq—ct3，（X3—。2,Q2+ai）-]10其

101

=0-11

中转换矩阵为A310)且由从3|=—2加，知该向量组线性无关.选项

100

=(ai.a?，%)011

D,由(cq,(12—C13,。2也3)1°—11J其中转换矩阵为A4

100

=011

。-1J且由|A4=28，知该向量组线性无关.讨论由线性无关向量组

ai，a2,...»as的线性组合生成的向量组伏，的，…，仇的线性相关性，应该引入

转换矩阵A,化为(仇,例，…，氏尸(ai，a2，…，as)A.于是，佻，仞，…，半线

性相关(线性无关)的充分必要条件是|A|=0(|A|/)).找时转换矩阵A就找到了解决问

题的关键.

9、设A为mxn矩阵,若方程组Ax=b有唯一解,则A的().

A、行向量组线性无关

B、行向量组线性相关

C、列向量组线性无关

D、列向量组线性相关

标准答案：C

知识点解析：非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，其充分必要条件是r(A)=r(A：

b)=n,从而知A的列向量组线性无关.故选C.

10、设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，Pi，彷，队3,e2,e3分别是矩阵

A*和E的列向量，若|A|=1,则下列结论不正确的是().

A、伙是方程组Ax=ei的解

B、版是方程组Ax=e2的解

C、例是方程组Ax=e3的解

D、方程组Ax=ei(i=l,2,3)未必有解

标准答案：D

知识点解析：选项D,依题设，|A|=1#),则方程组Ax=ei(i=l,2,3)必定有解，且

有唯一解，故结论不正确.选之.由于A可逆，因此，A*也可逆，且

AA*=|A|E=E,即有A(01,02,03)=(ei，ez，ej),APi=ej(i=l,2,3),所以选项

A,B,C均正确.

11、设Ax=b为三元非齐次线性方程组，r(A)=2,且白，及是方程组的两个不同的

特解，C,Ci，C2为任意常数，则该方程组的全部解为().

帛十金

A、C@Y2)+2

一―一

B、C6i+&2）+2

C、C（q—&）+&+42

D、Ci^i+C2fe

标准答案：A

知识点解析：选项A,依题设，该方程组导出组Ax=O的基础解系由一个无关解构

成，具体可用原方程组的两个不等解的差言一乞表示，又1/2A（4+42）=1/

亭+&•+&

2（b+b）=b,知2是原方程组的一个特解，从而确定C&-&2）+2是Ax=b的

通解.故选A选项B,由于&+及并非方程组导出组Ax=O的解，2也非方程

组Ax二b的解，因此，C（&i+42）+2不符合方程组Ax=b解的结构形式.选项

C,虽然欧一&2为方程纽导出组Ax=O的基础解系，但&+自2非方程组Ax=b的解，

因此，C@—及）+』+及不符合方程组人*也解的结构形式.选项D,由于

A（C向+C2々）=ClA号+C2A及=（Cl+C2）b不一定等于b,因此，C&+C2及不一定是

方程组Ax=b的解.

X）-+阳=0♦

12、设方程组（I）12乃+皿+3为=0,（11）—xi+x2—X3=0,贝l」（）.

A、当a=2时，方程组（I）和（D）为同解方程组

B、当a=l时，方程组（I）和（1）为同解方程组

C、当a=0时，方程组（I）和（口）为同解方程组

D、无论a取何值，方程组（I）和（II）均不是同解方程组

标准答案：D

知识点解析：两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论a取

何值，方程组（I）中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2,

而方程组（H）的系数矩阵的秩为1,所以，这两个方程组不可能为同解方程组.故

选D.

二、计算题（本题共73题，每题1.0分，共73分。）

11…11

1勾0-00

10at•••00

•4••*

••・••*

100-0

0…0

13、计算行列式1为其中aoai…an和.

标准答案：由于aoai...a#O,于是将第j（j=2,3,…，n+1）列的-1/aj-i倍加至第

1歹IJ,即得

0011…11do-£----1111

Uar-\

1aj000

0ay0-00

10az00

•••••=00az00

♦••••••••••

•••••

100a10

000ai0

1000a„

000,-0a

H=(ao-

w—

a

rr-i)aia2...an.

知识点解析：暂无解析

11o

011

14、求与A=001J可交换的一切矩阵.

(孙X|?Xj3

设5=工21122工23

标准答案：1对如NaJ若A,B可交换,

贝I」有AB=BA,而

1仔11处-113工il十工2】-T12+工221口+工23

I

°1+工工

AB=0一12】亚“23=121+^223223+-^33

01J[列Xjj

l0“33X3]X32NjS

孙+工卬+工”

孙J口2孙110Xll12

=121121+如”22+^23

BA二孙JSXn011=

00,<^31彳31+112”321j3.

工31J匕32J*i3,1.从而有

Xn+X21=X|l，X12+X22=X|1+X]2，X|3+X23=X12+X13，X21+X31=X2I，X22+X32=X2l+X22»

X23+X33=X22+X23，X31=X31，X32=X31+X32，X33=X32+X33，解得X2】=0，X31=0,

X32=0，X]]=X22=X33，x)2=X23»令X1i=X22=X33=a，X]2=X23=b,X]3=C,其中a，b，

abc

B=Qab,

C为任意常数.则所求矩阵为0°。

知识点解析：暂无解析

320

032

15、设A,B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，已知AB=2A+2B,B=。。3

求A-E.

标准答案：已知AB=2A+2B,整理得(A—E)(B—2E)=2E+B,其中B—2E二

120

012

。0由|B—2E|=1/),知B—2E可逆.解法1先求逆矩阵，再求解A一

120100001-24

由10201001001-2

(B-2EE)=1r\—2(.rt—2，。

E.00001001001

得(B—2E)「因此，解得A—E=(2E+B)(B—2E)「

52015-816

=052005—8.

0050。05解法2直接利用初等列变换,由

120)100

012010

001ct—2c)001

【B+2E广520Q-2a-2c,)5-816

05205一8

005J005

5~816

得A—E=05—8.

005

知识点解析：暂无解析

400

0+0

16、设A,B为3阶方阵,且满足方程A-,BA=6A4-BA,求B.

标准答案：方程两边同时左乘矩阵A和右乘矩阵A-I整理为(E—A)B=6A,由于

2

400

IE-A!=0I0

47

co6

了可知E—A可逆，故有B=6(E—A)「A

=60

4

00

00

=60]20

01

00

知识点解析：暂无解析

17、设二》"CP,

矩阵C满足.AC=B,求C.

«ll42

=021々22

标准答案：由题设，C为3X2的矩阵，设C阳由2由AOB,有

/an4-2aZi-3a3i+2。区-3a32]_/3-1、

'a”+a〃-々3】aiz+azz-'\20/

从而得方程组

Iciii+2a21-3a3]—3,

Ull+。21­。31=2，

Ja)2+2a22—3a32——1，

l0)2+022-a32=0»

分别解得方程组的一般解为

an=1-a，

azi=1+2a,

)an=a，

ai2=1-6,

fl22=-1+26,

)。32=6，

其中a,。为任意常数.

1-a1-6

因此C=1-1-2a-14-26,

ab其中a,b为任意常

数.

知识点解析：暂无解析

TT

18、设向量组囚=(1,0.2,3)二a2=(2,-1,0,1),a3=(-h2,a,5),

04=(3,-1,7,a+5)T.问a取何值时，向量组山，口2,。3，04线性相关；a取何

倩时，向量组0U，Q2»013，04线性无关.

标准答案：设一组数k|,k2，k3，k4，使得k]a]+k2（X2+k3a3+k4O4=0.有方程组

k\+24—43+3儿=0,12-13

0k\+2々3—氏4=0,0-12-1

u

2M+04+aW+7Q=0,=20a7

33+&+5扁+（。+5洪广0,其系数行列式315a4-5=­(a—

D(a-4),可知当a=l或a=4时，方程组有非零解,即向量组ai，（X2，013，«4发性

相关；当a*且时4时，方程组仅有零解，即向量组四，（X2,（13,04线性无关.

知识点解析：暂无解析

pi=won+2a+2a,

,良=2a।+7M2+2%,

a3和向量组向，。2，。3,且4=2a+2a2+〃m.若

19、已知向量组ai，（X2,

ai,a2,。3线性无关，试求向量组发,02,。3的秩.

>22m22

2m2,其转换矩阵为A=I2;

标准答案：由（B1，02，P3）=（ct|»口2，江3）122m,由

m22

；A|=2m2

于ai，012，。3线性无关，则有r（Bl，仅，P3）=r（A）.于是，由22m

=（m+4）（m-2）2,知当n#—4且m#2时，|A|#）,即r（A）=3；当m=-4时,有

-4211-2

A=22fo-11

2-4000知r(A)=2；当m=2时.有

222]fl11

A=222-*000

21、0

2200知r(A)=l.所以邓i，02,P3)

[3,m/一4且切关2,

《2,m=­4*

L1»m=2.

知识点解析：当一个向量组Pl，仪，03被一个线性无关向量组ai，012,。3线性表

示时，在找到两向量组转换关系（m，02，B.3）=（ai，（X2，a3）A的前提下，有结论：

r（pn%，p3）=r（A）.

20、设向量0可以被向量组叫，。2,…，am线性表示但不可以被向量组（I）ai，

a2，...»ctm-i线性表示,若记向量组（U）ai，az，…，am-i»P.试讨论am能否被

向量组（I）和（11）线性表示？

标准答案：依题设，。可以被向量组a],。2,…，am表示，即存在一组数k],

k2，…,km，使得P=klCt|+k2a2+...+km-10lm-1+kmClm，（*）其中km#O,否则0可以

被向量组（I）表示，与题设矛盾.因此有am二一1/km（k]ai+k2a2+...+km-iam-L

0），即am能被向量组（U）线性表示.由（*）可以判断am不能被向量组（I）表示，否

则，若am可被向量组（I）表示，则必存在一组数h，12,…，Im-1，使得

am=l1ai+ba2+...+lm-1«in-1»将其代入等式（*），由此B可表为（I）的线性组合，与

题设矛盾.综上讨论，am能被向量组（II）表示，但不能被向量组（I）表示.

知识点解析：暂无解析

21、设A为4阶方阵，且各行元素之和均为零，若r（A）=3,试求齐次线性方程组

Ax=O的通解.

标准答案：依题设，r(A)=3,知齐次线性方程组Ax=O有非零解，且基础解系由4

1

I六

A]=0,

—r(A)=l个解向量构成.又A的各行元素之和为零，即等价于J因此，

&=(1,1,1,1)T是方程组Ax=0的一个非零解向量，并构成一个基础解系.于是

方程组Ax=0的通解为x=C。C为任意常数.

知识点解析：暂无解析

+12—1，

<Xi-\-kjci=-3,

22、已知非齐次线性方程组乃+〃4=9有解，试确定常数k的值，并求解方

程组.

111

A=1k-3

标准答案：方程组增广矩阵为1公9J已知方程组有解，即有

111

；AI=1k—3

r(A)=r(A)<2,因此，1公9=(-3-l)(-3-k)(k-l)=0,得k=l或

fl11111

A=11-3—►001r(A)

k=-3,于是，当k=l时，由119000知原方程

111111

A=1-3-3011,r(A)=r(A)=2

组无解.当k=-3时，由U99000知原

方程组有唯一解.其解为X|=0,X2=l.

知识点解析：暂无解析

力+=-1»

*4xi+3x2+5x3-£=-1«

已知方程组5+q+3工3—374rl有3个线性无关解向量.

23、证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2：

标准答案：由题设，方程组有3个线性无关解，则有4—r(A)+123,BPr(A)<2,又

11

由43加，即系数矩阵中至少有一个2阶子式非零，则r(A^2.综上，r(A)=2.

知识点解析：暂无解析

24、求a的值及方程组的通解.

标准答案:对增广矩阵蚱初等行变换，有

1111-1102-42

A=435一1701-15-3=B

a13-31004—2a4a-84-2u由于r(A)=2