2023届安徽省皖江名校联盟高三下学期第五次联考(开学摸底)数学试题

第PAGE"pagenumber"pagenumber页，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages页安徽省皖江名校联盟2023届高三下学期第五次联考（开学摸底）数学试题一、单选题1．已知集合|，集合，则（

）A． B． C． D．2．2022年三九天从农历腊月十八开始计算，也就是2023年1月9日至17日，是我国北方地区一年中最冷的时间．下图是北方某市三九天气预报气温图，则下列对这9天判断错误的是（

）A．昼夜温差最大为12℃ B．昼夜温差最小为4℃C．有3天昼夜温差大于10℃ D．有3天昼夜温差小于7℃3．已知，则（

）A． B． C． D．4．在中，，，若D是BC的中点，则（

）A．1 B．3 C．4 D．55．已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，则函数的一个零点是（

）A． B． C． D．6．已知，，与一条坐标轴相切，圆心在直线上．若与相切，则满足条件的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知圆锥DO的轴截面为等边三角形，是底面的内接正三角形，点P在DO上，且．若平面PBC，则实数（

）A． B． C． D．8．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8．过此动圆圆心轨迹C上一个定点引它的两条弦PS，PT，若直线PS，PT的倾斜角互为补角，记直线ST的斜率为k，则（

）A．4 B．2 C． D．二、多选题9．数列满足：，，则下列结论中正确的是（

）A． B．，C．是等比数列 D．，10．已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（

）A． B． C． D．11．已知为偶函数，且恒成立．当时．则下列四个命题中，正确的是（

）A．的周期是 B．的图象关于点对称C．当时， D．当时，12．已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱和棱的中点，G为棱BC上的动点（不含端点）．下列说法中正确的是（

）A．当G为棱BC的中点时，是锐角三角形B．三棱锥的体积为定值C．面积的取值范围是D．若异面直线AB与EG所成的角为，则三、填空题13．若复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是______．14．2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队以总分7比5战胜法国队，历时28天的2022卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕．随后某电视台轮流播放半决赛及以后的这4场足球赛（如图），某人随机选3场进行观看，其中恰好总决赛、季军赛被选上的概率为______．15．过点作斜率为k的直线l交双曲线于，两点，线段的中点在直线上，则实数k的值为______．16．已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______．四、解答题17．在锐角中，BC在AB上的投影长等于的外接圆半径R．(1)求的值；(2)若，且，求R．18．2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上运动”的热潮．为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据：喜欢雪上运动不喜欢雪上运动合计男生8040女生3050合计(1)完成列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联？(2)①从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人．记事件“至少有2名是男生”，事件“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件“至多有1名喜欢雪上运动的女生”．试计算和的值，并比较它们的大小．②①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由．参考公式及数据，．0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82819．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．(1)求和；(2)若，证明：．20．如图,在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．（1）求证：（2）若为的中点，求二面角的平面角的余弦值21．已知，为椭圆C：的左右焦点，P为椭圆C上一点．若为直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直线l：与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点，求实数m的取值范围．22．已知函数，其中，．(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数的导函数在内有且仅有一个极值点，求a的取值范围．

参考答案1．【答案】B【分析】先化简集合M，再利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为，，所以，故选：B．2．【答案】C【分析】直接看图求出每天的昼夜温差即可判断得解.【详解】A.1月11日昼夜温差最大为12℃，所以该选项正确；B.1月15日昼夜温差最小为4℃，所以该选项正确；C.1月11日、1月16日有2天昼夜温差大于10℃，所以该选项错误；D.1月9日、1月14日、1月15日有3天昼夜温差小于7℃，所以该选项正确.故选：C3．【答案】A【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.【详解】由已知，化简得．平方得，所以．故选：A．4．【答案】B【分析】运用向量的加法、相反向量、向量的数量积运算即可得结果.【详解】∵D为BC的中点，∴，，∴∴．故选：B.5．【答案】B【分析】由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到周期为，进而得到，再利用平移变换得到图象，然后根据图象关于y轴对称，求得解析式即可.【详解】解：由函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为，所以，所以．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以，，即，．又，所以，所以．由得，，即．故选：B．6．【答案】D【分析】设圆心，根据与一条坐标轴相切且与相切，列出方程，求解值，确定圆的个数.【详解】当与x轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，所以方程为或；当与y轴相切时，设圆心，半径，故，即，解得或，方程为或，则满足条件的有4个.故选：D．7．【答案】D【详解】解：如图所示；不妨设，则，，．因为平面PBC，平面PBC，所以，在中，由勾股定理有，即，解得．故选D．8．【答案】C【分析】根据已知先求出动圆圆心轨迹C的轨迹方程，代入点求出，根据直线PS，PT的倾斜角互为补角，斜率互为相反数关系求出k，从而得出结果.【详解】设动圆圆心的坐标为C，已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦AB的长为8，则．整理得，，故动圆圆心的轨迹C的方程为．因此，．当时，，设，，则有，．于是就是，所以．此时直线ST的斜率，故．同理可得，当时，直线ST的斜率．故．故选：C．9．【答案】ABD【分析】令得出，可判断选项A；由已知构造与已知等式作差，可判断选项B，C；数列的首项为，从第2项开始构成等比数列，求和即可判断选项D.【详解】在中，令，则，，．A正确．当时，将与，两式相减得，，即．而，所以B正确，C不正确．因为，，所以D正确．故选：ABD．10．【答案】ABC【分析】构造函数，．证明，即可判断选项BCD，再利用B和幂函数的性质判断选项A，即得解.【详解】BCD选项分别等价于，，，构造函数，．则．当时，，在内单增；当时，，在内单减．因此．所以（当时取等）于是，，．故，，，所以选项D错误，选项BC正确.因为，所以选项A正确．故选：ABC．11．【答案】ACD【分析】由可以得出函数的周期，判断选项A；由于又是偶函数，可以推出函数的对称性，判断选项B；是偶函数及周期性，判断选项C，D.【详解】由得，，所以的周期是．A正确．因为是偶函数，所以就是，即，所以的图象关于直线对称．B不正确．根据偶函数的对称性，C显然正确．当时，，则，即；当时，，则，即．所以D正确．故选：ACD．12．【答案】BCD【分析】设CD中点为M，若G为BC中点，证明．所以是直角三角形，故选项A不正确；因为，三棱锥的体积为定值，故选项B正确；在侧面内作垂足为N，设N到EF的距离m，其面积为，数形结合即得解选项C正确；取中点为N，连接EN．异面直线AB与EG所成的角即为．数形结合分析即得选项D正确.【详解】设CD中点为M，若G为BC中点，则有，，，则平面MFG，则．因为，所以．所以是直角三角形，故选项A不正确；因为，点G到平面的距离为定值，是定值，则三棱锥的体积为定值，故选项B正确；在侧面内作垂足为N，设N到EF的距离m，则边EF上的高为，故其面积为，当G与C重合时，，．当G与B重合时，，．故选项C正确；取中点为N，连接EN．因为，所以异面直线AB与EG所成的角即为．在直角三角形NEG中，，当G为BC中点时，，当G与B，C重合时，，故，所以选项D正确．故选：BCD13．【答案】##【分析】化简得，再求出即得解.【详解】，所以．因此．所以的虚部是．故答案为：14．【答案】##0.5【分析】4场足球赛，选3场进行观看，基本事件共4个，其中恰好总决赛、季军赛被选上的基本事件数有2个，求出概率即可.【详解】由图可知：比赛共有4场，半决赛2场，季军赛1场，总决赛1场．选其中3场的基本事件共有4种，其中季军赛、总决赛被选上的基本事件共有2种，故概率为．故答案为：.15．【答案】##【分析】联立得到韦达定理，解方程，再检验即得解.【详解】由题意可设l的方程为．联立消去y得，．显然．设，，则，解得．由得，显然不适合，适合．故答案为：16．【答案】或【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解.【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为，则直线l的方程为：；由得，设切点为，所以切线的斜率为，则直线l的方程为：．所以，，消去得，故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或17．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由已知得，再结合正弦定理求得结果；（2）与（1）得出的结果联立，求出，再由正弦定理求得结果.【详解】（1）因为是锐角三角形，所以，又，所以，所以，因此；（2）由得，与已知条件，相加得，，即，，所以．于是，故．18．【答案】(1)填表见解析；认为是否喜欢雪上运动与性别有关联(2)①，，；②可以，答案见解析【分析】（1）由所给列联表，求得，再依据小概率值的独立性检验即可得解；（2）①要求，首先确定事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件，利用组合数进行求解概率即可，再通过条件概率求得的值，进而可得；②根据条件概率的计算公式即可证明一般情形也成立.【详解】（1）喜欢雪上运动不喜欢雪上运动合计男生8040120女生305080合计11090200假设：是否喜欢雪上运动与性别无关联．根据表中数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联．（2）①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事件因为，，所以．②由（ⅰ）得与相等的关系可以推广到更一般的情形，即对于一般的三个事件A，B，C，有．证明过程如下：，得证．19．【答案】(1)，；；(2)证明见解析.【分析】（1）根据与的关系可得，结合等差数列的通项可得，进而可求；（2）根据题意分析可知要证原不等式成立，则证当时，，利用二项展开式分析证明即可.【详解】（1）因为，，当时，则，解得或（舍去）；当时，，则，即，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，因此，且，则，当时，，且符合上式．故，．（2）记为数列的前n项和，当时，则；当时，；又符合上式，所以．由（1）可知，可得，，下证当时，，即证，因为，所以得证，故当时，则得证.20．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先通过条件证明平面，然后得到；（2）以B为原点建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）三棱柱为直三棱柱，平面，又平面，平面，且平面，，又平面,平面，，平面，又平面，（2）由（1）知平面，平面,从而如图,以B为原点建立空间直角坐标系,平面，其垂足落在直线.在，在直三棱柱.在,则(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则

即可得平面的一个法向量,二面角平面角的余弦值是.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和二面角的求解，二面角一般是利用法向量来求解，侧重考查直观想象，逻辑推理及数学运算的核心素养.21．【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用勾股定理，得到，再利用椭圆的定义，可得，化简可得答案.（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到弦AB中点M的坐标是，再利用线段AB的垂直平分线经过点，列出相应的方程并消去参数，借助判别式得到的范围.【详解】（1）若，则．因为，，解得，．因此．若，则，解得．因此．综上知，或．（2）设，，联立，消去y得到，，即．则，，弦AB中点M的坐标是．由得，．另一个方面，直线PM的方程是．点在此直线上，故，整理得，．代入中，，．又，，