考研数学三（线性代数）模拟试卷69

考研数学三(线性代数)模拟试卷69

一、选择题(本题共〃题，每题1,。分，共〃分。)

1、ai，(12，(13,0i，。2均为四维列向量，A=(ai，a2»s，Pi),B=(as，cq,

a2,例)，且|A|=1,|B|=2,则|A+B|=()

A、9

B、6

C、3

D、1

标准答案：B

知识点解析：由矩阵加法公式，得A+B=(ai+a3，ai+ai.(X3+P2,P1+P2)，结合

行列式的性质有|A+B|=|ai+a3，az+ai»(13+012,P1+P2I=|2ai+02+03)，az+ai，

a3+a2，P1+P2I=2|ai+a2+a3，ai+ai，c(3+a2，Pi+p2|=2|a1+02+03,―aj,—aj,

P1+P2I=2|a2»—013，—ai，"+陶=2|山，(12，as，P1+P2I=2(|A|+|B|)=6。

2、设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC二E,其中E是n阶单位阵，则必

A、ACB=E

B、CBA=E

C、BAC=E

D、BCA=E

标准答案：D

知识点解析：由题设ABC=E,可知A(BC)隹或(AB)C=E,即A与BC以及

AB与C均互为逆矩阵，从而有(BC)A二BCA=E或C(AB)=CAB=E.比较四

个选项，应选D。

3、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，贝U()

A、当m>n,必有行列式|AB|和

B、当m>n,必有行列式|AB|二0

C、当n>m,必有行列式|AB|M

D、当n>m,必有行列式|AB|二0

标准答案：B

知识点解析：因为AB是m阶方阵，且r(AB)<min{r(A),r(B)}<min{tn,

n},所以当m>n时，必有r(AB)<m,从而|AB|=0,所以应选B。

4、设ai，a2，...»as均为n维向量，下列结论中不正确的是()

A、若对于任意一组不全为零的数ki，k2，…，ks，都有kiai+k2(X2+…+ka/O,则

ai，012，…，as线性无关

B、若cq,a2,…，如线性相关，则对于任意一组不全为零的数ki，k2，...»ks,

都有kiai+k2a2+...+ks(Xs=0

C、ai，a2，…，出线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s

D、a,,a2,...»出线性无关的必要条件是其中任意两个句量线性无关

标准答案：B

知识点解析：对于选项A,因为齐次线性方程组xiai+x2a2+…+xs%=0只有零解，

故ai，ao,...»如线性无关，选项A正确。对于选项B,由cq,«2.........as线性

相关知，齐次线性方程组xg+x2ai+…+xs«s=0存在非零解，但该方程组存在非零

解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B是错误的。选项

C是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均

线性无关)可知选项D也是正确的。综.上可知，应选B。

5、已知cq,a2，(X3，04是三维非零列向量，则下列结论①若04不能由cq,a2，

013线性表出，则ai，a2,as线性相关；②若ai，az，013线性相关，a2，a3，04线

性相关，则a】，012，04也线性相关：③若r(a］，ai+a2，02+03)=r(04*

ai+«4，012+04,(13+04),则04可以rflai，(12，a3线性表出。其中正确的个数是

()

A、0

B、1

C、2

D、3

标准答案：C

知识点解析：因为四，012，013，04是三维非零列向量，所以ai，a21013,04必线

性相关。若a］，a2，013线性无关，则04必能由cq,012，(X3线性表示，可知结论

①正确。令ai=(1,0,0)T,012=(0，1，0),，«3=：0,2,0)1，04=(0,

0,1)丁，则a】，a2，(13线性相关，ct2，(13，04线性相关，但Ct］,Ct2，04线性无

关，可知结论②错误。由于(ai，ai+a2»012+(13)—>(«i»a2,012+013)—>(ai，

a2»(X3),(04,ai+a4»02+04»013+04)t(eq,aj,a2,013)-♦(aj,a2，013，

04),所以r(ai»ai+c(2，(12+(13)=r(ai,(12，(13),r(04,cq+ou,(12+04,

(13+04)=r(ai,as,cu),则当r(ai,ai+a2>(12+013)=r(04，cq+cu,

(12+04，013+04)时，可得r(ai，a2>013)=r(ai»02，(X3,04),因此04可以由

ai,(12,(13线性表示。可知结论③正确。所以选C。

6、设A是mxn矩阵，Ax=O是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程

组，则下列结论正确的是()

A、若Ax=0仅有零解，则除小有唯一解

B、若Ax=O有非零解，则Ax二b有无穷多个解

C、若Ax=b将无穷多个解，则Ax=o仅有零解

D、若Ax=b有无穷多个解，则Ax=O有非零解

标准答案：D

知识点解析：因为不论齐次线性方程组Ax=O的解的情况如何，即r(A)=n或r

(A)<n,以此均不能推得r(A)=r(A|b),所以选项A、B均不正确。而由

Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A|b)<no根据齐次线性方程组有非零解的

充分必要条件可知，此时Ax=O必有非零解。所以应选D。

7、设A是秩为n—1的n阶矩阵，四，(12是方程组Ax=O的两个不同的解向量，则

Ax=O的通解必定是()

A、ai+a2

B、kaj

C、k(ai+a2)

D、k(ai—a2)

标准答案：D

知识点解析：因为A是秩为n—1的n阶矩阵，所以Ax=O的基础解系只含一个非

零向量。又因为ai，a?是方程组Ax=O的两个不同的解向量，所以囚一az必为方

程组Ax=O的一个非零解，即如一(12是Ax=O的一个基础解系，所以Ax=O的通解

必定是k(ai-a2)0选D。此题中其他选项不一定正确，因为通解中必有任意常

数，所以选项A不正确；若。尸0,则选项B不正确；若a产一azHO,则川十。2=0,

此时选项C不正确。

8、三阶矩阵A的特征值全为零,则必有()

A、秩r(A)=0

B、秩r(A)=1

C、秩r(A)=2

D、条件不足，不能确定

标准答窠：D

"0o01ro1oiro1O-

000,000,001,

知识点解析：考查下列矩阵L。」它们的特征值

00」LO00」LO00

全是零，而秩分别为0,1,2o所以仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的。所

以应选D。

9、设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()

A、AE—A=XE—B

B、A与B有相同的特征值和特征向量

C、A和B都相似于一个对•角矩阵

力、对任意常数t,函一A与tF.一R相似

标准答案：D

知识点解析：因为由A与B相似不能推得A=B,所以选项A不正确。相似矩阵具

有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故选

项B也不正确。对于选项C,因为根据题设不能推知A,B是否相似于对角阵，故

选项C也不正确。综上可知选项D正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩

阵P，使P—AP=B,于是pT(lE—A)P=lE—plAP=lE—B,可见对任意常数

I,矩阵IE—A与tE—B相似。所以应选D。

10、二次型f(X|,X2»X3)=(X|+X2)2+(2XI+3X2+X3)2—5(X2+X3)2的规范形

为()

222

A、yi+y2+4y3

B、Y22—Y32

c、yi2—y22—Y32

D、y/—y2~+y3

标准答案：B

知识点解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得f(X],X2,X3)=5X,2+

5X22—4X32+14xIX2+4X1X3―4X2X3，则该二次型矩阵为

■572'

A=75-2。由

.2-2-4-

A—5-7-2

|A£-A|=-7入-52=A(A+6)(A—12)

-224+4可知，矩阵A的

特征根为12,—6,0o因此该二次型的正惯性指数p=l,负惯性指数q=l,所以选

Bo

11、设f=xTAx,g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是

()

A、xT(A+B)x

B、x,A-^

C、XTB-,X

D、XTABX

标准答案：D

知识点解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值

\_上

九2，…，猫都大于零。设APj=%Pj,则人一%=%巧，A—的n个特征值乙(j=l,

2,…，n)必都大于零，这说明A1为正定阵，XTA—5为正定二定型。同理，

xl'B—x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有乂丁(A+B)x=xTAx+xTBx>

Oo这说明xT(A+B)x为止定二次型。由于两个同阶对栋阵的乘积未必为对称

阵，所以xTABx未必为正定二次型。

二、填空题(本题共70题，每题7.0分，共70分。)

12、已知A,B,C都是行列式值为2的三阶矩阵，则口=

O-A

27

标准答案：8

知识点解析：根据拉普拉斯展开式

D=(T严I-41|(j£)|=-(-DJIA|汪1=2x信)击=y。

13、设方阵A满足A?—A-2E=D,并且A及A+2E都是可逆矩阵，则(A+2E)一

I

042]

标准答案：L3戈1

知识点解析：由A2—A—2E=0,可得(A+2E)(A—3E)二一4E,于是有

(A+2E)—(A+2E)(A—3E)=—4(A+2E)因此(A+2E)-,=

一；(A_3E)。

4

r1i

y00

J

,oo4-

14、设三阶方阵A,B满足关系式A—BA=6A+BA,且A=7」则

B=o

3*

2

标准答案：1」

知识点解析：在等式A—BA=6A+BA两端右乘A—1,可得A—B=6E+B,在该等

式两端左乘A,可得B=6A+AB,则有(E—A)B=6A,即B=6(E—A)-IA,且

2

1

4_

(E-A)TT

7

不」

2

「3

4

所以8=62

3

15、设A是一个n阶矩阵，且A2—2A—8E=D,则r(4E—A)+r(2E+A)

=o

标准答案：n

知识点解析：已知A2—2A—8E=0,可得(4E—A)(2E+A)=0,根据矩阵秩的

性质可知r(4E—A)+r(2E+A)<n,同时r(4E—A)+r(2E+A)>r[(4E-

A)+(2E+A)]=r(6E)=n,因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。

16、设a]=(1,2,1)T,«2=(2,3,a)T,03=(1,a+2,-2)T,若Bi=

(1,3,4)1可以由四，a2,(13线性表示，但是仅二(0.1,2)丁不可以由四，

a2»013线性表示，则a=。

标准答案：一1

知识点解析：根据题意，pi=(1,3,4)1可以由四，。2,a3线性表示，则方程组

X]Ot]十X2a2+xsa3=Pi有解，p?=(0,1,2),不可以由四，ara.5线性表示，则方程

组xiai+x2a2+x3(X3=B2无解，由于两个方程组的系数矩阵用同，因此可以合并一起

作矩阵的初等变换，即

121：101ri21：101ri21：10-

II

23a+2131-0-1a：11T01—ai-1-1

-1a-2：42--0a-2-3：32」LO0a2-2a-3•a+1

因此可知，当a二一1时，方程组xiai+x2a2+X3a3=0有解，方程组

xiai+x2a2+X3(X3=p2无解，故a=—1。

>2x(+AX2一叼二，，

.(AX|-x2+x3=b29

17、已知方程组40+53-5%二%总有解，则九应满足的条件是

_£

标准答案：且册5

知识点解析：对于任意的b],b2,b3,方程组有解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩为3,即

2-1

IA|=A1=(5A+4)(A-I)六0,

145-55A+400

所以入展1且4JO

3

18、若1；=1：6，则X三

r2-x23-72卜

x

标准答案:y?其中X2,”是任意常数

知识点解析：矩阵

[；；]不可逆，故可设X力=[2I

=X14°61可得线

(+"2,x=「2一盯3_力1

性方程组I力+力=3,故x[=2—X2，yi=3—yz，所以372

其中X2,y2是任意常数。

•aIb-

234

19、已知矩阵A=l-11-1」的特征值的和为3,特征值的乘积是一24,则

b=。

标准答案：一3

知识点解析：阵的所有特征值的和等于该矩阵X,J角线元素的和，即a+3+(―I)

=3,所以a=l。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有

alb

234

-11"1=5b—9=—24.所以b=—3。

20、若三维列向量a,。满足。。=2,其中P为a的转置，则矩阵能丁的非零特征

值为o

标准答案：2

知识点解析：因为0^=2,所以(以力p=p(aTp)=2p,故1a的非零特征值为

2o

21、设A是mxn矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=—aE+A「A是正定阵，则a的取

值范围是o

标准答案：aVO

知识点解析：BT=(―aE+ATA)T=—aE+ATA=B,故B是一个对称矩阵。B正定

的充要条件是对于任意给定的x#),都有X「BX=XT(—aE+ArA)x=­axTx

+XTATAX=-axTx+(Ax)TAx>0,其中(Ax)T(Ax)>0,xTx>0,因此a的取

值范围是一a>0,即aVO。

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

4，

••

♦•••

bi

。(f)

••

••••

22、计算D2产J4，其中未写出的元素都是0。

标准答案：该行列式只有两条对角线上元素不为0,可以按其中一行展开，找出递

推关系式。

0b.

%,=0'：0

C]U|

••

••••

c.0<

按第一行展开，得

a.-l°*°0«,-i。K

••••

•••♦•・••

Q]b[a.b.

0000',0

Du=4C|4C)4

••••••

••••••

C104.10明<-l

0…0d„c.00

将以上两个行列式分别按最后一行展开，得

a“r0*Q-03

••••

*■•**

a.，

00+(-i)F.c.00

G4Cl4

•••

•

*0J-i0

=and1]D2n-2—bn/D2n—2。由此得递推公式D2产(andn—bnCn)D2n—2。按递推公

式逐层代入得

n

九二34-

ni=2

而。2==«|«1-dG,

C14

n

因此原行列式4.=0(44-b£)。

知识点解析：暂无解析“

23、设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：(I)若|A|=0,则|A*|=0；(H)

|A*|=|ApT。

标准答案：(I)(反证法)假设|A*|翔，则有A+(A*)-1=E。又因为AA'=|A|

E,且|A|=0,故A=AE=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0,所以A*=0°这与|A*|和

矛盾，故当|A|二0时，有|A*|二0。(n)由于AA*=|A旧，两端同时取行列式得

|A||A*|二|A-当囿邦时,|A*|=|A|n-1；当|A|=0时,|A*|=0综上,有|A*|二|A「一】成

立。

知识点解析：暂无解析

T

24、设向量组a尸（1,0,1）La2=（0,1,1）,a3=（1,3,5）T不能由向量

TT

组仇=（1,1,1）,p2=（1»2,3）,ps=（3,4,a）1线性表示。（I）求a

的值；（II）将向，［h，伤由⑴，a2，a3线性表示。

标准答案：（I）由于ai，a2,a3不能由Bi，饱，03表示，且由|ai，a2,

0L3|=l和,知ai，a2,a3线性无关，所以，Pi，。2,为线性相关,即⑹，。2,小1=

-215_

4210

L-10-2」

知识点解析：暂无解析

(1++叼+…+Xn=°，

2x1+(2+a)%2+…+24n=°，(22),

0

25、设有齐次线件方程组心|+几盯+…+（〃+a）”.=试问a

取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

标准答案：对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

a=0时，r（A）=1Vn,方程组有非零解，其同解方程组为xi+x2+…+xn=0,由此

得基础解系为nk（一1,1,0,…，0）丁，）12=（―1»0,1....0）L…，nn_

1—1—（—1,0,0,…，1）T,于是方程组的通解为x=kini+…+kn_En_l，其

PkH…，kn—1为任意常数。当时0时，对矩阵B作初等仃变换，有

「n(a+1)八1

'1+a111Q+―-n0°…n°

—2100

—♦-210•，,0

BT••••9

••••••••

••••

一九J

L00…1J

L-n00•••1当

.（n+1）

-2时，「（A）=n-l<n,方程组也有非零解，其同解方程组为

—lx,+x2=0,

-3X|+x3=0,

T

-nx,+Z,.=0,由此得基础解系为1r（i,2,…，n）,于是方程组的通

解为x=k”，其中k为任意常数。

知识点解析：暂无解析

产I+«2+%=0，

（1）%】+2X2+ax3=0,

26、设方程组/+4巧+ax3=0与方程屹）X1+2x2+x3=a-l有公共

解，求a的值及所有公共解。

标准答案：把方程组（1）与（2）联立，得方程组

则方程组（3）的解就是方程组（1）与（2）的公共解。对方程组（3）的增广矩

阵作初等行变换，有

rl1101rl011-a

12a0010a-1

A=—►

14a2000a-11-Q

-121a-1■-000(a-l)(a-2)-因方程组

ri01I：On

01o!o

AT

000；0

(3)有解，所以(a—1)(a—2)=0。当a=l时,L00050-此时

方程组（3）的通解为k（-1,0,1）丁（k为任意常数），此即为方程组（1）与

ri01I:-Il

o10i1

oo1i-1

000

（2）的公共解。当a=2时,：此时方程组（3）有唯一解

（0,1,—1）T,这也是方程组（1）与（2）的公共解。

知识点解析：暂无解析

rn1…1i

27、已知A=11…门是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可

逆矩阵P使P—AP二A。

标准答案：A的特征多项式为

n",

=(X—2n+1)(X—n+1),则A的特征值为九i=2n—l,X2=n—1,其中

X2=n—1为n—1重根。k|=2n>—1时，解齐次方程组（九|E—A）x=0»对系数

矩阵作初等变换，有

'n-1-1-1•••-1-n-1-1-1•••一].

-1i2-1-1•••-1-nn0…o

-1-1n-1•••-1-►-n0n…0—>

•**••*•••

••*•**•••

--1-1-1…r1一1--n00…n」

'n-1-1一[•••-r000•••0-

-110•••0-110•••0

-101…0—>-101•••0

■****.•••

•**■.,••*•

•・[-

--1001---100♦得

,I)7当兀2=1

至J基础解系ai=(1,1,...O:n--1时，齐次方程组(X2E—A)x=0等

价于X|+X2+...+Xn=0，得到基础解系012=(—1,1,0,...»0)[，(—],0,

1,…，0)T,…，an，=(—1,0,0,...»1)T,则A的特征向量是kiai和

k2a2+k3a3+..,+knCIn»其中ki#),k2,k3，…，kn不同时为零。

-1-1―1一1一

-2n-10…0'

110…0

…0

令，则有尸-%尸=0n-1

P:101…0・•■

*••••*♦•*

*••*••

-00n-1-

■100…1-

知识点解析:暂无解析

28、设A为三阶矩阵，ai，a2,a3是线性无关的三维列向量，且满足

Aa]=ai+ot2+a3，Aot2=2a2+a3，Aa3=2c(2+3a3。(I)求矩阵A的特征值；(口)

求可逆矩阵P使得P—AP=A。

标准答案:(I)由已知可得A(aj,(X2，a3)=(ai+a2+a3,2a2+(x3，2a2+3ci3)

100*100'

122122

-113-

=(ai，a2,。3)-113-记Pi=(ai>a2,a3),B=,则有

APi=PiBo由于虫,。2,。3线性无关，即矩阵Pi可逆，所以P]-】APi=B,因此矩

lA-100

-1A-2-2

阵A与B相似，则|XE—B|=-1-1入-3二(X—1)2(X—4),矩阵