考研数学二模拟406

考研数学二模拟406

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.下列各选项正确的是

lim/Cr)limg(x)

A.右L。存在，存在，贝卜必存在.

B.右L。不存在，5与不存在，则，•为必不存在.

什limg(x)..,lim［/(x)g(x)J.

C.右…。不存在，—为存在，则Ml%必存在.

lim/(x)limg(x)...lim［/(x)g(x)J..

D.右，F不存在，」存在，贝n卜』必不存在.

正确答案：A

［解析］函数乘积的极限存在性定理如下：若可存在，㈣以幻也存在，则

㈣11“"点")］一定存在：若少:八"'|四/"这两者一个存在，另一个不存在,

则!的存在性是不确定的；若如人"不存在，如*(，)也不存

在，则L-"的存在性是不确定的.

2.设有以下结论：

②1迎4r=0;

①z1卢=0；

一1JC

「】

③［—/才丁&=0；④sinNCOSxdx#0.

则以上结论中正确的是

A.①②.

B.③④.

C.①④.

D.②③.

正确答案：D

［解析］先看结论②，

12

fsinx\1*sinXJ

结论②说的是定积分Li>(注意:很多同学认为7一是反常

积分，其实不然，因为，・。1存在)等于0.

现在来验证一下.

请看如下定理：

设J。八",也是一个定积分，如果f(x)在区间［-a,a］上连续且，f(x)在

区间ba,区上是一个奇函数,则定积分Jr，f()dr

sinx2

有同学认为二~虽为奇函数，但在区间［-1,1］上并不连续，因此不能使

sin/

用上述定理，的确，-在区间［-1,1］上并不连续，但由于定积分的被积函

数在某一点处的函数值是完全无所谓的，所以可以把结论②中所说的

/NO,「

zf(x)dx=0

sinri_Af(k)='

“J_,二—也=0„改写为“lo,n=0,”.这

样一来，f(x)在区间［T,1］上连续，且为奇函数,根据以上定理可知，结论②

正确.

再看结论③.

一六在x=l,X=-1处没有定义.现在算一下

lim—二和lim—丁

L厂LT斤三，这两个极限只要有一个是8,就说明

|--------d.rlim-J--lim-,

“‘>/】7是反常积分.通过计算可知一「才和-一「4"/这两个

pNdx

极限都是8,所以‘।力•了”是反常积分，而不是定积分.

结论③说的是反常积分.।，一八等于0.

请看以下定理：

f(.r)d.r

设J“是一个反常积分，如果f(x)在除X二土c外的区间［-a,a］上连

续(其中c为Ra,a］上的点)，且f(x)在除土c外的区间La,a］上是一个奇函

f(.T)dxI/(z)dr=0

数，且h的值是一个常数，则反常积分Jr

根据以上定理来验证一下.

.rX

首先，厂产在区间［-匕1］上除了x二±1连续(也就是说二三/在区

间(T,i)上连续)，这是毫无疑问的，

JC

其次，说二，在区间(7,1)上是一个奇函数也对.

最后，看M，1-丁是否等于一个常数.通过计算可知答案是常数，所

以结论③正确.

3.设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)V0,f〃(x)V0,Ax为自变量x在

点x。处的增量，Ay与dy分别为f(x)在点X。处对应的增量与微分，若AxVO,

则

A.0<dy<△y.

B.0<△y<dy.

C.Ay<dy<0.

D.dy<△y<0.

正确答案：B

［解析］由于dy=f'(xo)的△x,而题中说f'(x)V0,故f'(Xo)VO.又由于-xV

0,所以有dy>0.

由于一妊($)(△不〔而题中说f〃［x)V0,这说明对于定义域内的

-L>o

任意一个点来说，都有f〃(x)V0,所以f〃6)V0.由于2，u,f〃(g)<0,

(AX)2>0,所以犷")(3<°,从而Ay-dyVO,即AyVdy.

又由于Ay=f(Xo+Ax)-f(Xo),题中说AxV0,说明Xo+AxVxo,而f'(x)

<0,说明f(x)为减函数，所以Ay>0.

综上，有0VAy<dy.

4.下列函数中，在［T,2］上不存在定积分的是

小)=产，寸0,

A(0♦x=0.

sin—♦£#0,

/(x)=#

P10,x=0.

/(J)

D.

正确答案：D

［解析］对于D,

f(x)=-sin--------cos-(n#0).

xJ:x

=

—(x„€~L—1*2j),

取加，则f(X，=(T)”"n冗.当nf+8时，f(x)f8,

故f(x)在［-1,2］上无界，因此，f在［-1,2］上不可积.

5.设函数f(x)在x=x。处存在三阶导数，且f(x)'(x0)=0,f，z(Xo)=O,

f'''(x())=a>0,则

A.f(x。)是f(x)的极小值.

B・f(x。)是f(x)的极大值.

C.存在3>0,使得对任意的x0(x「3,XO),曲线y=f(x)是凹的;对任意的x

£(Xo,Xo+8),曲线y=f(x)是凸的.

D.存在6>0,使得对任意的x£(Xo-3,xo),曲线产f(x)是凸的；对任意的x

£(x0,x0+a),曲线y=f(x)是凹的.

正确答案：D

［解析］本题需用到如下结论：

设f(x)在x=x。处n阶可导(也就是说f(x。)，f'(x。)，f〃(x。)，…，f(n)(xo)

z，(n-,>

均存在),且f'(x0)=O,f(Xo)=O,…，f(xo)=O,fg(xo)W0(n22).

情况①：若n为偶数且厂外)区)<0,则x=x。为极大值点;

情况②：若n为偶数且髀(x°)>0,则x=x。为极小值点;

情况③：若n为奇数，则x=x。不是极值点而是拐点.

由于题中说f'(x。)二0,f〃(x°)=O,f'"(x°)=a>0,故根据以上结论可得

x=x。不是极值点而是拐点，所以函数值f(x0)既不是函数f(x)的极大值，也不是

函数f(x)的极小值，所以选项A和选项B都是错误的，

由于题中说f"'(x()=a,故说明函数f〃(x)在x=x。处可导.根据可导的定

义可知

<(x0)=lim一£包).(1)

LfX-Xo

将题中说的f'''(x()=a代入式(1),得

lim『(工S=a.(2)

X-XO

将题中说的1(x°)=0代入式(2),得

Iin)=a(3)

4«r-No

由式⑶可知

…；N_Z>

]•/'(x)

lim上-------=a.

x工一70

由于题中说a>0,所以有

lim^^->0,(4)

T]一工。

lim/(幻>0.(5)

一石工一改

接下来用极限的局部保号性.

首先，对式(4)使用保号性，立刻可得：必存在一个X。的右去心邻域，使

f红)>0

得当X在此邻域内取值时，有/一代,既然X是在X。的右去心邻域内取值，

q、、、f、〃

就是说x>Xo,所以X-Xo>O.由于/—1。，X-Xo>O,所以立刻有：f〃(x)>

0.也就是说：必存在一个X。的右去心邻域，使得当X在此邻域内取值时，有

r(x)>o.

对式⑸使用保号性也是同理.

*lnx

f(x211—J)=ie'dz红=L

6.设函数f(u,v)满足，Jo,已知。〃2,则

打=

dy

*Inx

e'dz.

B.J-

e’d/—x2+x.

C.J1"

D.0

正确答案：B

［解析］令u:x‘，u-1-x,则心,0P3P.又由于

¥=E「二TC,dr=y-(xr"'&)=[；’&+]・elnx-

=ed+7,

dxdkodx\Jo/JoxJ0

“Za+N,从而第=-17力

JC_立=

故O,)pJ0

7.设3阶矩阵A的特征值为1,T,2,E为3阶单位矩阵，则下列矩阵中可

逆的是

A.E-A.

B.E+A.

C.2E-A.

D.2E+A.

正确答案：D

L解析」由于矩阵A的三个特征值是1,-1,2,所以矩阵2E+A的三个特征值是

3,1,4.由于矩阵2E+A的三个特征值是3,1,4,故矩阵2E+A所对应的行列

式|2E+A|=3X1X4-12.由于|2E+A|#0,所以矩阵2E+A可逆.

8.设A为n阶矩阵，A*为其伴随矩阵，已知线性方程组Ax=0的基础解系为

解向量则A*x=0的基础解系

A.不存在.

B.仅含一个非零解向量.

C.含有n-1个线性无关的解向量.

D.含有n个线性无关的解向量.

正确答案：C

［解析］方阵A的秩与方阵A*的秩的关系如下：

力，r(A)=«»

r(A*)=1,r(A)=〃-I,

,0,r(A)<n—1.

本题中说“线性方程组Ax=0的基础解系为解向量gJ量故r(A)=nT,故

r(A*)=l,故A*x=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量.

二、填空题

1.由直线y=-2x+4与x=l及y=0所围成的封闭图形绕y轴旋转而成的旋转体

的体积为.

正确答案：

［解析］联方(宏)心一名・］2的=£

2.微分方程xy'+x2y〃=y2满足初始条件y1°=2,y'］尸1的特解是

正确答案：

y-ln(l+x2)+2

"=女।2dp_

［解析］令y'=p(x),则_一',于是孙+”渣=〃2，即

或=亿丫_2.

dxJx

〃=上斐=〃+工.业

令z，则p=ux,必d.T,于是

“+工需="2一"•

du=dr

分离变量得♦-2'二"'

两端积分

得知|一|-ln［〃|)=lG|+ln|G|,

/_2z

由y'k-1得C2=T,故*=i+j<于是

J系dLin(L.

y=7

又由yLo=2得C.3=2,故所求特解为y=ln(l+x2)+2.

J+/—"=(),dz

3.已知fze：+zsin/=0,贝ijdy一

正确答案：

______一(2y卜之)(4-2cosi)______

:

()一〃)(e丁MCOSt)+2z/(zc+sint)

［解析］等式两边同时对y求导，有

o.dz.2也,.df

2y十之+v：*i-----1-；-----2zl-7-=0A,

,dWvdvW，dv

.dz.d/।，d?1，d/

zc*--rc'—Isint--F之cosf丁=0,

dydydydv

解得

ck_________(2。qn)(tez+sint)

dv(y—/2)(e*Izcost)\-2zl(r<?Isint)

«

dz_______一(2y+-)(c，+weesI)

dy(y—/2)(cz+zcosI)+2zl(Ze:4-sin/)

正确答案：

V(D

［解析］

原式=d6e-rrdr=—“曲e-rd(-r2)=—21e’jdJ

J。Jo2hJo2JfLJ。

5.设函数r(x)在(-8,十8)内有定义，且对手任意的X,y,r(x)满足关系

式

f(x+y)-f(x)=［f(X)-1］y+a(y),

ya(y)=.

其中a(y)满足匕史y1一"，则f‘(x)与f(x)的关系式为.

正确答案：

f(x)=f(x)-l

［解析］由于a(y)=f(x+y)-f(x)-［f(x)T］y,故

0=［而侬=lim仆_》)一/3一/(.r)+1.

y•<>y.l。y

../(.+—)一/(/)../(.r+Az)—/(.:)b《\

hm^-------*-----工------um4---------r-----七---------/(J)

令y二Ax,则LAyar，△工,故

f(x)=f(x)-l.

6.设n阶矩阵A为反对称矩阵，则对于任意非零n维列向量x,

XTAX=.

正确答案:

0

［解析］x『Ax是一个数，而一个数的转置就是它本身.所以有

XTAX=(XTAX)T.(1)

而

(XTAX)T=XT(XTA)T=X'/VX.(2)

由A为反对称矩阵可知AT=-A,所以有

XTATX=_XTAX.(3)

由式⑵、式⑶得

(XTAX)T=-XTAX.(4)

由式(1)、式⑷得

x,Ax=-x'Ax.⑸

由于x'Ax为一个数，不妨设此数为a.根据式⑸有a=0.

三、解答题

共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1.求微分方程y〃+y=cosax的通解，其中常数a>0.

正确答案：

［解］对于原方程对应的齐次线性方程y〃+y=O,解特征方程1+1=0,得r一二土

i,故它的通解为Y=CiCOsx+C2sinx.

当时，设原方程的一个特解为y*=x(Mcosx+Nsinx).

把y*和y*〃代入原方程得

2Ncosx-2Msinx=cosx.

_2M-0,

1

2—1•.|—,—.tsin/・

列方程组解z得I2故

当aWl时，设原方程的一个特解为y*=Mcosax+Nsinax

把y*和y*〃代入原方程得

(l-aJ)(Mcosax+Nsinax)=cosax.

!(1—，故=］_3。二一

列方程组M=5解得卜=°，°

；cosr-C>>sin卜；~~-~~7cosa.r^aH1,

1-«r

C|cosE-CzsinJI'+~^sinx

所以，原方程的通解为

Jl+7一，l+sin

zVO,

工ln(1—a/?)

/Cr)=1,1=0,

——1)

x<0

2已知函数［sin(tan.r)-sin(sin.z)在x=0处连续，求a,b的

值.

正确答案：

［解］

/(0+)=1而再［王飞山产

L°-.rln(l—a.r')

_________1_________

J\—z+>/1+sinx

洛必达法则1-COSX1v21

---------5■加好F^-=一双4与h=_该.

由拉格朗日中值定理得

sin(tanx)-sin(sinx)=cos€(tanx-sinx)(&介于tanx与sinx之间).

当xf。时，sinx-O,tanx-*O,则gf0,故

f((T)-lim---..----：—-=lim-，1而------------------=lim-g”-=2b,

，了cosqHan々-sin幻cosf,鹏tani-cosz)r,u-3

婷

12。

由仪0)寸(0+)寸(0)得26=1'解得

djrdy

3.计算二重积分噌,其中D是曲线y'x,y2=2x在第一象限所围成

的无界区域.

正确答案：

［解］积分区域D如下图所示.

y

<T>0).

4.证明：—arctani

正确答案：

［证法一］设辅助函数F(x)=(l+x)ln(l+x)-arctanx.

F'Cz)=ln(l+幻+1-总

"⑴=(i+x2)2'

当x>0时,Fz，(x)>0,故F'(x)在(0,+8)内单调递增.

于是F'(x)>F'(0)=0,故F(x)在(0,+8)内单调递增，

因此F(x)>F(0)=0,即

(1+x)In(1+x)>arctanx.

(1+工)1-(1+2)》］

又由于当x>0时，arctanx>0,故arctanx'

［证法二］设辅助函数f(x)=(1+x)In(1+x),g(x)=arctanx.

由于函数f(x)、g(x)在［0,x］上连续，在(0,x)内可导，根据柯西中值定

理，有

――/⑹£⑷

g(x)—g(0)g(f)'

其中&e(0,x).

将

/兴一管=碑整理得/汽一喘+)=(1+/口+、(1+/.

g(x)-g(O)g(f)g(/)—g(O)

i+e2

由于(1+&2)>L[i+in(l+g)]>L所以有(l+J)[i+in(l+g)>l,从

而

——/(O)1

g(N)—必(0)'•

/“二4*/(77。+A)(724+左+1)

5.设〃，G,其中常数a>0,求极限

limx.

.8n

正确答案：

[解]

工之(w+6)41“+A+D.

〃占w\-i

lim4>(na+A)=lim—,na—=lim工方(a+-1—[(a+/)di=a+y.

ir•«n'$=1M—ZnA_jn丘人njVnJJuL

lim](皿+A+1)=lim£*(m+左)+，]=lim2岂Gx+A)=a+《.

…rr—-LM"JM…£2

根据夹逼准则，！g="+参

6.求函数z=f（x,y）=/+y2-2x-4y在区域D=｛（x,y）|x2+y2＜20,y20｝上的最

大值和最小值.

正确答案：

|/x（Xt＞）=2x—2=0,

［解］解方程组I八（力山=2）-4=0,得。内部的驻点（1,2）,且有f（l,2）二-

5.

在D的边界）'一°（一2万＜Y2向上，把尸0代入f（x,丫），得

z=x2-2x=（xT）2-l（-2点＜/＜2商，易知，该函数在（一2痣,2西）内有

最小值-1,无最大值.

在D的边界)=/20T(一2有《2商上，把kJ20一.丁，弋入f(x,

y),得

工=20—2”一4,20—/(-275<x<2Vo).

z=-2+=0

，20T

令，得Xi=2,X2=-2.

由于Z:-2=0，NIL-Z=8,ZL24=20+4.店,2Lv西=20—46,该函数

在［一2指,2底I上有最大值20+4所及最小值0,从而f(x,y)在D的边界上有

最大值20+4.及最小值T.

综上所述，f(x,y)在D上的最大值为

max<—5,20「4四，一1}=20+4五，最小值为min〈-5,20+46,-1}=一5.

7.证明罗尔定理：若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且

f(a)=f(b),则存在&£(a,b),使得f，(&)=0；

正确答案：

［证］由最值定理可知，f(x)在［a,b］上有最大值M和最小值m.

若M=m,则f(x)=M=m,故对于任意x£(a,b),有f'(x)=0.

若MWm,则M和m中至少有一个在(a,b)内的点己处取到.根据费马引

理，f(G=0.

8.设函数f(x)在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0,g(x)在［a,b］上连续,

且在［a,b］上满足

f，，(x)+g(x)f，(x)-f(x)=0.

证明：对于［a,b］上的任意x,有f(x)=0.

正确答案：

［证］采用反证法，

假设在区间［a,b］上，f(x)不恒为0,则由f(a)-f(b)=0可知.f(x)在

［a,b］上存在正的最大值或负的最小值，

若f(x)在［a,b］上存在正的最大值，则设f(x)在x=x。处取得最大值

f(xo),即有

f(x0)>0,f(xo)=0,f"(xo)^0.

把x=x0代入f"(x)+g(x)f'(x)-f(x),得

f〃(x°)+g(x°)f'凤)才仪)二1风)-£(孔)〈0,与已知矛盾，故原假设不成

立.

同理，若f(x)在［a,b］上存在负的最小值，原假设亦不成立,

综上所述，对于［a,b］上的任意x,有f(x)=0.

T

9.求向量组。尸(1,2,1,3)1，a2=(l,1,-1,1),a3=(1,3,3,5),,

T

a4=(4,5,-2,7),a5=(-3,-5,-1,-7)『的秩和一个极大无关组，并将其余

的向量用该极大无关组线性表出.

正确答案：

［解］

rl114

2135

八=(。1・％.a1，。)=

V3157-1)

114一3\I1147)n114-3\

0-11-3101一］3-101-13-1

AfA*

0-22-610000000010

10一22-52/,00010/、00000/

所以矩阵A的秩为3,从而向量组ai，a2,a3，a4,a5的秩为3.

(\1143、<1110-3>020一2]

01一13一101-10-101-10-1

000100001000010

、00000/<00000;to0000;

所以，a1,Q2,Q”是