2026届北京市西城区高三4月统一测试试卷数学

2026届北京市西城区高三4月统一测试试卷数学一、单选题1.已知集合，集合，则集合（）

A．B．C．D．2.在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.在等比数列中，，则（）

A．16B．32C．64D．2564.，则（）

A．16B．65C．80D．815.若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（）

A．2B．C．D．6.已知函数，则是（）

A．奇函数，且最小正周期为B．奇函数，且最小正周期为C．偶函数，且最小正周期为D．偶函数，且最小正周期为7.设为非零向量，则“对于任意”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.设关于x的不等式的解集为P，若，则实数m的取值范围是（）

A．B．C．D．9.如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（）（参考数据：）

A．8.0分钟B．8.6分钟C．9.4分钟D．10.6分钟10.在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（）

A．B．C．D．二、填空题11.设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______．12.设平面向量，其中，的最小值为_________．13.已知，且，写出满足条件的一组的值_________，_________．14.《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术著作，是中国古代建筑发展到了较高阶段的标志．书中根据不同等级房屋建筑的需要，将建筑中的木方（断面为矩形的木料）的尺寸分为8个等级．记这8个等级木方断面的长与宽分别为与，若对任意，且与都是公差为的等差数列，是公差为的等差数列．已知，，则_________，_________．15.记表示不超过实数x的最大整数．设a，b为正整数，函数，给出以下四个结论：①对于任意的，若，则；②存在正整数a，b，使得曲线关于坐标原点对称；③设，则方程有无数个解；④设，则当时，函数的值域中有且仅有5个元素．其中，所有正确结论的序号是_________．三、解答题16.已知的面积，且．(1)求C的大小；(2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且，E为PD的中点，平面平面．(1)求证：；(2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在，求平面PAE与平面AEC夹角的余弦值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示．

读者类型调查人数年人均借阅量（册）某类读者图书借阅量分类占比情况文学类科技类教辅类社科类其他在职人员60018.535%25%10%20%10%大学生80024.330%40%13%ab中学生50015.225%20%40%cd假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率．(1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由：(2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率；(3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明）19.已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，左右焦点分别为，且，圆经过点B．O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)设圆W的切线与椭圆E相交于C，D两点，点在直线上，且满足，过Q作轴于点P，求证：．20.已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点．(1)求函数的单调区间；(2)设，研究函数的零点个数；(3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积．21.对任意无穷数列，定义从起连续k项的和为：，其中k，i为任意正整数．若无穷数列满足：